VALEUR DE LA FONCTION P

Ainsi les deux entiers, essentiellement positifs, n et l, qtii semblaient tout à fait indépendants l’un de l’autre , doivent être tels, que la difl’érence n — l ne soit pas négative. Et c’est cette différence, entière et positive, qui sera l’exposant du premier terme de M. On reconnaît d’ailleurs à l’inspection de l’équation (7) que les réductions ne peuvent s’opérer qu’entre des termes consécutifs du développement substitué qui auront une même parité, c’est-àdire que le polynôme M ne contiendra que des puissances paires ou impaires, quand la différence n — l sera ellemême un nombre pair ou impair.

D’après cela , M ne peut être que de la forme suivante ’

et il s’agit de trouver la loi des coefficients k,. Or, lorsqu’on effectue la substitution de ce polynôme ( 8 ) à la place de M, dans l'équation (y) , les termes contenant p. avec l’exposant (n — l — 25) se réunissent avec le coefficient

k,\{n — l)[n+l+i) — 'i(l-hx)(n — l — 2.t) — [n — l — ■xs)(n — l — 2s — 1)] i,—, (n — l — 2f -t- 2) (n — l — 2 i -I- i).

La parenthèse qui sert de facteur à k, se réduit d’abord à

par la fusion des deux dernières parties, et devient déCiiitivement

SUH LES FONCTIONS INVERSES, ETC. t35

donc , après la substilalion , le terme en .p"-'-*' sera ' -)-[2ï(2« -)-l — 2.f)A-j4- (/? — /— 2f-(-2)(« — /— 2.ï+l)^,,]fl"-'- ’*

et , en l’égalant à zéro , on aura

(« — / — 2 , s -4- 2 ) tn — / — 2 .5 ■

Cette valeur générale de k, s’annule, (]uel que soit A,, , / ,n — /-f-i-

pour s égal a — ^ 1- t , ou a ; une de ces deux

valeurs est entière , ce sera la première si n — l est pair, la seconde si w — l est impair; et puisque l’indice de k, indique le nombre des termes qui précèdent celui qui multiplie ce coefficient, il en résulte que le polynôme se terminera dans les deux cas , et que le nombre de ses termes sera