CLXIV

FORME ESSENTIELLE DE LA FONCTION P(i*).

Ainsi P est nécessairement de la forme

M étant uuc fonction de fx qu’il faut chercher. Posant, pour simplifier,

, dm a

V’i — }d — m, d ou -7- = — '-f

’ du m

on a, par la valeur (6), et une première différentiation.

P = m'M, t ix/n'M ;

dfi ■ • dfx

DigitizeciJîy Cooglc

SVH LES FONCTIONS INVEKSES , ETC. a33

puis, à l’aide d’une seconde diirérentlation, l’expression rfP

dm}

ou le premier membre de l’équation (5), devient

,rfM

+- [P — lm‘ + /î (« -H I ) //i^ — Pm'~’ ) M ;

or les deux termes extrêmes de la parenthèse qui multiplient M donnent — /*m' en les réunissant, et l’expression totale, qui doit être nulle d’après (5), est divisible par ■ m'; ce qui donne défînitivement , en replaçant (i — fi’) au lieu de m*,

pour l’équation diiTérentielle que doit vérifier M.

La fonction M étant conçue développée suivant les puissances entières de sa variable fx, les exposants de ces puis- > sauces doivent être essentiellement positifs : sinon V serait infini pour p = o, c’est-à-dire pour tous les points du solide situés sur l’équateur du système sphérique; ce qui est inadmissible. Soit i l’exposant le plus élevé ; lors de la substitution du développement de M dans l’équation ( 7 ) à vérifier, le premier terme devra avoir, comme tous les autres, un coefficient nul; or on voit facilement que ce coefficient sera

ou, par transformation,

il faut donc que i soit égal ou à — («4- / 4-i), ou à ;t — /.

Diniti“T' by C*»

-La première vahîur étaut négative doit être rejetée’, et pour que la seconde soit positive, il faut que n ne soit pas infé-, rieur à /. • , ■

§ CLXY.