FORMES DE LA DOUBLE SÉRIE V

Les trois facteurs Q , P, R de U vérifient respectivement , les équations différëntielles (3), (5), (4)- On peut prendre pour Q l’intégrale générale de (3), qui est

Q = G cos /i}i -I- H sin /il/ ,

G et étant deux constantes arbitraires. Mais P(io) et

R = ne sont que des intégrales particulières de (5) et

(4); la nature de la question, et les propriétés restrictives qu’elle impose à la fonction cherchée, éloignant les inté- ■grales générales.

Réunissant les termes simples qui correspondent à toutes les valeurs admissibles des entiers l et «, la fonction V se présente sous^la forme

V = S (g)"’ COS/ 4 . + h'"’ sin /,[/) ^

les indices donnés à P et aux constantes indiquant les va- leurs des entiers l ei n qui particularisent chaque terme simple. La double sommation S peut se faire de deux manières. On peut écrire . -,

n=:ec i=n * '

Le sigma relatif à n s’étend depuis zéro jusqu’à l’infini. Le sigma relatif à l est subordonné au premier, il s’étend depuis /=o jusqu’à /= n , limite supérieure infranchissable ; il ne contient donc que w -t- i termes simples et

a « 4 - I constantes arbitraires, n’existant pas. On peut

encore écrire

n=co

Le sigma relatif à l s’étend depuis zéro jusqu’à l’infini. Les sigmas relatifs à n sont subordonnés au premier, et servent de coefficients généraux à cos/i|/ et sin/tp-, dans chacun d’eux le nombre l est fixe et constant ; ils s’étendent depuis n = 1, limite inférieure infranchissable, jusqu’à «= oo •, y ils contiennent donc des nombres infinis de termes' et de. constantes arbitraires.

Dans la question qui nous occupe , c’est la seconde forme ( 12 ) qu’il faut prendre. La fonction V devant se réduire à F (<|/, ft) quand p = r, on doit avoir

et il s’agit de déterminer les coefficients Hj"’ , pour qu’il en soit ainsi.

§ CLXVIl.