REL.\T10N DIFFÉRENTIELLE ENTRE LES P

JÜt)it représentée par î’ la fonction elle vérifiera

l.E^:ONS

r»'qnation ilifl’éreiilielU;

fi

que l'on obtient en eliangeant n en ii — i si l’on prend

<!■ = n ft ^ — (

(/te

dans (5). Or

ectte fonction sera égale à Pj"* innitiplié par un facteur

«■onstant. En eCfet, diflerentiant ( 23), ayant égard à ( 22 ) et imilti})liaiU ensuite par i — on a

rfp’

ditléreiuianl un<! seconde fois,^ et se servant encore de ( 22 ), il vient

f’est-à-dire , en réunissant, et d’après (23), , di-

équation différentielle identique avec (5) ; donc qui, d’après sa composition en $, est fini pour p=:o, ne sera

autre cpie l’intégrale particulière Pj''\ multipliée par une

constante..

Soit h cette constante, on aura (24)

idontiquemenl , e’esl-à-diie i|iu'l que soit fi. On a, d’après (lo), cl en sebornani au premier terme de chaqin* parenthèse ,

Pj"’ = ( ' - (f-'- • • ■ ). ‘X’ = (■ - F'f" ( F"--'-' -•••).

fHÿ -—I

substituant dans (24) et réduisant au second membre, il vient

or, les deux parenthèses devant être identiques et, par suite, leurs premiers termes égaux, il faut que k soit 2/1 — I . On a ainsi la relation

( 25 ) (2 - I ) P<"> = // U pf- ’ - ( I - fi’) ,

remarquable par elle-même, et dont se déduisent toutes les suivantes.