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KONCTIONS ISOTHERMES COMPARÉES.

Les recherches que nous avons dû faire dans le but de reconnaître et de définir les 2 n -i - 1 fonclion.s isothermes du degré «, appartenant au système des coordonnées elliptiques (*, (3, y), ont pris un tel développement, qu’il est impossible d’achever l’exemple actuel dans celte leçon. Terminons-la par une comparaison des groupes de fonctions isothermes, appartenant à tous les systèmes de coordonnées que nous avons employés.

Dans le système des coordonnées rectilignes ou du prisme rectangle, les fonctions isotliermes sont données par l’expression

Les deux premiers facteurs ont seuls la même forme, sans être cependant identiques par suite de la diversité de m et n. Toutefois, en désignant à la fols par Q(u) le sinus et le cosinus d’un arc u, on peut écrire ainsi la fonction iso-

Ul)(>

llieniie picicdeuU'.

Q(;w.»:).Q («/).Q( vm’-t-

et les trois facteurs sont raincncs au même type. Leur pro- . duit contient deux constantes , (|ui entrent séparément dans les deux premiers facteurs, et se réunissent dans le troisième.

Pour le système des coordonnées spliériqucs , les fonctions isothermes ont l’expression suivante

Ici les trois facteurs ont des formes différentes , et il parait impossible de les ramener au même type. Leur produit contient deux nombres constants, qui entrent séparément dans les deux facteurs extrêmes, et se réunissent dans celui du milieu.

Pour les deux systèmes des ellipsoïdes de révoluliou, les fonctions isothermes ont les expressions

Dans chacune d’elles , un des trois facteurs a la forme tyj>o du prisme rectangle ; lesdeux autresonturte forme identique, qui rappelle la fonction P (p). Leur produit contient deux nombres constants, qui se réunissent de la même manière, dans les deux facteurs identiques, tandis que le troisième n’emploie qu’un seul de ces nombres.

Enfin dans le système des coordonnées elliptiques, l«^s fonctions isothermes s’expriment ainsi :

Les trois laclettrs sont des polynômes identiques, qui réu-

StIU I.RS FONCTIO>S INVERSES, ETC. 29 1

lùs.seiit et emploient «le la même manière ileux nombres eonstanis.

ORIGINE COM.MUNlî.

Si l'on considère que cette dernière expression appartient à une infinité de systèmes coordonnés dilTérents, correspondants à toutes les valeurs du module A , comprises entre O et I , tandis que le groupe des ellipsoïdes de révolution ne conqirend que les deux cas particuliers aux limites de ce module, on peut dire que le système de rellipsoïde à trois axes est la source naturelle de toutes les fonctions isothermes appartenant à des sphéroïdes; que ce type originel subit une première déformation dans les ellipsoïdes planétaire et ovaire; puis une seconde dans le système habituel des coordonnées sphériques , rjui achève de faire disparaître toute symétrie, touU' identité de composition, entre lt“S facteurs d’une même fonction isotherme.

Mais, dans ce système si déformé d<! la sphère , il reste encore une trace de filiation, la fonction P(|2), et cette trace nous a suffi pour reconstituer le système complet : pour retrouver d’abord deux facteurs de mémo forme dans les fonctions isothermes des ellipsoïdes de révolution, et reconnaître ensuite, par le rapprochement de ces nouveaux systèmes , la forme coinplétemetit symétrique des trois facteurs de toute fonction isotherme appartenant à l’ellipsoïde à trois axes inégaux. Je ne sais s’il existe, en mathématiques ou ailleurs , un exemple plus remarquable de cette marche ascendante, par laquelle on parvient à déduire le cas général d’un cas particulier.

Remarquons enfin que les neuf fonctions inverses (A,-, n, , C, ) , qui toutes résolvent les problèmes d’Euler, d’Abel, de Jacobi , à l’aide d’une seule formule jxinr chaque solu-

aya i.kçoks

lion, ramèneiil aussi à une Ibriiie unicjue les trois fadeurs de chaque fonction isolhernte du syslcnic des coordonnées elliptiques. Une faculté aussi constamment active, et dans la théorie, et dans les applications, donne à l'introduction de ces fonctions un caractère plus important quecelui d’une simple notation. Elle constate que ce sont bien l.à les véritables fonctions inverses des transeendantes elliptiques de première espèce , celles dont il était essentiel d’établir les propriétés. Toute atitre peut servir, soit à lever quelque difficulté de détail, soit à établir un lien cominode avec la méthode des quadratures ; mais ce n’est qu'une fonction inverse intermédiaire, dont l’abandon est itidispcnsable quand il s’agit d’énoncer les résultats obtenus.

SI n Ï.FS FO>CTIO.\S IiNVFRSES, ETC.