QUESTIONS SUR LES FONCTIONS ISOTHERMES

Les fonctions isothermes du système ellipsoïdal pourraient-elles s’exprimer par les produits des fonctions inverses de certains multiples des transcendantes (a, (3,7), appartenant au module h ou à un autre, avec ou sans addition de compléments constants? Cette question a été agitée par plusieurs géomètres et entre autres par Jacobi. Diverses observations paraissent conduire à une réponse négative; telles sont les deux suivantes :

I. Si la forme présumée existait, elle se retrouverait dans les deux systèmes des ellipsoïdes de révolution et dans le système sphérique; le facteur relatif à l’angle azimutal '

a, il est vrai, la forme cherchée; mais la fonction de

l’ellipsoïde planétaire, de l’ellipsoïde ovaire, ou P (p)

de la sphère, ne l’a pas et ne saurait la prendre : car cette fonction n’est pas égale généralement au sinus ou au cosinus d’un multiple de la latitude.

II. Si tout facteur des fonctions isothermes de l’ellipsoïde était une fonction inverse, appartenant au module A ou à un autre, delà transcendante multipliée par un nombre constant, les solutions générales des problèmes de la mul-

tipUcatiou cl de la transformation des transcendantes elliptiques , montrent que ce facteur ne pourrait s’exprimer à l’aide des (A., B, , C,) que par une fraction algébrique; et les facteurs qu’il s’agit d’interpréter sont essentiellement dépourvus de tout dénominateur variable.

Tout porte donc à considérer les fonctions isothermes du système" ellipsoïdal, et leurs facteurs, comme des fonctions nouvelles, ou différant de celles qui ont été découvertes et étudiées par Jacobi. Quoi qu’il en soit, ces fonctions sont clairement établies par le problème de physique mathématique qui les a signalées, et dont elles expriment la solution. Cette origine même est leur définition physique. On reconnaît aussi leur définition géométrique dans le nombre infini de familles de surfaces isothermes algébriques , dont elles assignent les formes et les propriétés. Ont-elles encore une troisième définition, appartenant à la théorie pure des transcendantes elliptiques.^ Question épineuse et difficile, que le digne émule d’Abel et de Jacobi , dans la découverte des lois analytiques qui régissent les fonctions inverses, pourrait seul résoudre.

C6A/ 60T5êO