EXCEPTION RELATIVE AU SYSTÈME SPHÉRIQUE

Les cas extrêmes de la sphère et des ellipsoïdes de révolution font exception. Les développements en séries qui en

SUR LES FONCTIONS INVERSES, ETC. 3ly

pi'ovieniienliic sonique la superposition du développement simple dû au prisme rectangle, qu’introduit la famille isotherme des plans méridiens, et du développement, simph;

aussi , en série des fonctions P*"' (p). Pour ce dernier, le

théorème fondamental consiste en ce que , P et P' étant deux ■facteurs en p seul , pris dans deux fonctions isothermes différentes, mais correspondant au même entier/, leur produit, multiplié par dfx, puis intégré de — i h -f-i, donne une intégrale définie' simple, qui est identiquement nulle.

Il faut remarquer que cette superposition , quand elle est successive, doit se faire nécessairement dans l’ordre di? l’exemple IV, On ne pourrait pas finir par le développement en cos /(|/ et en sin et commencer par le développement

en P)"’ (p) ; à moins que le nombre / ne fût nul , mais alors

la fonction à développer n’auràit d’autre variable que p. Il serait au contraire impossible de développer celte fonction , si elle ne contenait d’autre variable que l’angle azimuial des plans méridiens.

Quand la superposition est simultanée , le théorème fondamental cstcelui-ci : les produits partiels P*"^ (p) Q (/<p) ,

P*"^ (p) Q(/^<|<) , différant par l’un des indices / cl n, ou

par les deux à la fois, leur produit total, multiplié par r/p ou par l’élément de surface de la sphère de rayon i, puis intégré entre les limites de p et de' , donne une intégrale double, qui est identiquement nulle. C’est exactement la loi du système ellipsoïdal.

Ainsi, pour isoler le coefiicienl général de la double série, si l’on emploie fa superposition successive, l’ordre de succession n’est pas indifférent, comme dans le système des coordonnées rectilignes; et si l’on emploie la superposition simultanée, c’est comme si l’on appliquait la méthode de

3aO LEÇONS

l’ellipsoïde à trois axes. L’exception est donc fort inconi-, plète, et l’on peut dire que les développements en séries, provenant de la sphère et des ellipsoïdes de révolution , appartiennent beaucoup plus à la seconde classe qu’à la première. On reconnaît facilement que la méthode d’élimination, si fréquemment employée par Laplace dans la Mécanique céleste, se ramène à celle de la superposition simultanée.

§ eexx.