HYPOTHÈSE DE M. SEE
87. Pour ^I. See ('), les planètes n'ont pas du tout été l'ormécs par des iVagaicnts de la nébuleuse solaire et la Lune ne provient pas d'un fragment de la nébuleuse terrestre. Les planètes sont, d'après lui, d'origine cosmique extérieure à la nébuleuse solaire; ce sont des corps étrangers qui, venant à ]iasser dans le voisinage du Soleil, ont été captés par lui. De même la Lune a été, à une certaine époque, captée par la Terre.
Gomment s'est produit ce phénomène ? M. Sel: pense qu'autrefois le Soleil était entouré d'une vaste atmosphère, et que c'est par l'elTcl de la résistance de milieu créée par cette atmosphère que la capture a eu lieu.
88. Etudions donc l'clTct d'une résistance de milieu sur le mouvement d'une planète (■). Si la résistance était nulle, le mouvement serait képlérien, l'orbite serait une ellipse d'excentricité d'ailleurs quelconque. La densité du milieu résistant étant par hypothèse très faible, cette orbite variera lentement. >'ous allons étudier les variations de cette orbite par la méthode de la variation des constantes.
Rappelons d'abord quelques formules du mouvement elliptique des planètes.
Appelant r le rayon vecteur et v l'anomalie vraie, l'équation de l'orbite est
^ ' i -\- e cos V
e désignant l'excentricité, et
('1 T. J. J. See : Rescarches on the Evolutionof Ihe Stellor Systems, vol. Il : The Capture Theory of Cosmical Evolution 1 Lynii, Mass , U. S. A., Tlios. P. ^'icllols and Sons; Paris, A. Ilermann, 1910 .
{-J T. J. J. See : Loc. cit., Ch. MI, p. iSj-iôS.
H8 IIYPOTIIKSES COSMOr.ONIQUES
désignant le paramèlre de l'oibilc cllipllque dont sa est le grand axe. Nous avons aussi l'équalion des aires
la constante des aires C ayant pour valeur
G = /My> ,
oii M représente la masse du Soleil. (Nous négligeons la masse de la planète vis-à-vis de celle du Soleil.) Le moyen mouvement n est lié au demi-grand axe a par la troisième loi de IvKPLiiu
(3) nhi' = M.
Enfin l'équation des forces vives donne
/• -la
ï étant la demi-force vive.
Diirérentiant l'équation ( i) par rapport au temps, il vient
dr pe sin v dv
dt (,!"+" <-' ^"os v)- dl pe sin u C
( I -t- <-' cos V) - r-
ne sin y C , , ,
= 7 — r, -9(1 H- « COS l'j-
( [ + e cos j;,r p- ^ '
:^ - e SUl l'.
Or TT est la composante de la vitesse suivant le rayon vecteur. La composante perpendiculaire à ce rayon a pour valeur
do C '■ dl = r
= - ( I -t- ^ cos V).
Des deux composantes de la vitesse V nous déduisons, pour le carré de celle vitesse,
V^ r= — (i -t- 2 e cos V -h e^).
liyPOTUKSE DE M, SEE HJ
Si, pour abréger, nous posons
nous aurons
Les formules ci-dessus conviennent au mouvement képléricn.
Supposons maintenant qu'il existe un milieu atmosphérique donnant une résistance R directement opposée à la vitesse et tonclion de
la valeur \ de cette vitesse. La constante des forces vives — ^— subira,
pendant le temps '//, une variation
cette variation sera égale au travail de la résistance R, travail qui a pour valeur
on a donc
^ '^ = RV aa- dt
d'où l'on tire
da aRpa-
rempla<.-ant M et p par leurs valeurs (2) et (3) dans cette dernière équation, on obtient
/,v da 2R?
dt
A oilà l'équation qui donne la variation du grand axe : le second membre est essentiellement négatif. L'effet de la résistance de milieu est donc toujours de diminuer '/, et par suite, d'après l'équation (3),
I20 HYPOTHESES rOSMOGOSIQUES
d'augmenter n. La \itesse angulaire de la planète s'accélère (') en même temps que sa distance moyenne au Soleil diminue.
Etudions, à présent, l'cfTet de la résistance de milieu sur l'excentricité de l'orbite.
Tout d'abord la constante des aires C aura sa dérivée -„ éj-ale au
al "
moment, par rapport au centre d'attraction, de la force perturbatrice R. Or, cette force R opposée à la vitesse a pour composantes :
suivant le rayon vecteur
perpendiculairement au rayon vecteur
dv
et le moment de la force W par rapport au Soleil est
.dv
On a donc
(5) Rappelons que
rfC R C
dl — V
Prenant les dérivées logarilbmiques des deux membres extrêmes, il vient
rfC i /da 2 ede
oC I /da
(i) La formule (3) montre mùme que na augmente quand a diminue. D'où cette conséquence curieuse : une résistance de milieu a pour eflet d'augmenter la vitesse linéaire de la planète.
llYPOTIIESIi Di: M. SEE
Celle équation va nous pernicllie d'ohlcnir '/<• puisque da et dC viennent d'être calculés. On trouve
ae de i da •?. (/C
1 — e- dt a dl C (//
. , , . , da (W. , / /\ . /-\
cqualion qui s ecril, en remplaçant ^^ et ^ par leursYaieurs(/i)et(a),
le aRo 2K
c- dt ,ia \' i — g2 \
Transformons le second membre de celle égalité. Nous avons trouvé précédemment (p. 119)
/M P na
par suite ce second membre se met sous la forme
na V^i — e- L' ? J
ou encore, en nous rappelant la valeur de 0-, sous cette autre forme
aR 26 cos V H- 2e-
na V I — e r
L'équation (ô) donne donc finalement
, , de 2R v^i — e- , .
(7) j, = (^ + cos V).
^'^ dl nap '
Telle est l'équation qui donne la variation de l'evcentricité de l'orbite.
89. Les formules (4) et (7) permettent de calculer à chaque instant les variations du grand axe et de l'excentricité. Mais ici il importe seulement d'obtenir leurs variations séculdircs, et pour cela de calculer les valeurs de da et de de pendant le temps d'une révolution complète.
Prenant pour variable indépendante l'anomalie vraie v, nous aurons
' da da dl
S dv dt dv ' ^^) . \de dedl
[ dv ~ dt dv '
123 iiypoTHfSEs cos:mogomques
Or, l'équation des aires donne
=:: p- (l + e COSI')"
<lv ~ C
Les formules (4), (7) et ^g) permettront donc d'écrire les valeurs (8
, da de . . , , . . ,
de ^^ et ,- qui, intégrées entre o et :>-, donneront les variations tlu
demi-grand axe et de l'excentricité pendant une révolution.
II y a lieu de faire certaines hypotlièses sur la résistance de milieu R. Cette résistance croît avec la vitesse; nous la supposerons proportionnelle à une certaine puissance de la vitesse V. Elle varie avec la distance /• au Soleil, car la densité (et par suite la résistance) de l'atmosphèie de cet astre croît à mesure qu'on s'en approche; nous admettrons que R est proportionnel à une certaine puissance (négative) de /■. Bref, nous poserons
(10) R = /tV*r-?,
h, a e: 1^ étant des constantes positives. Comme Y est proportionnel
à 0, et /• a — — T~, nous pouvons écrire la lormule (10) ainsi :
i 1 H- e cos u A ^ '
Y\ = hf (1 +ecosi')?, Ji étant une nouvelle constante positive.
Avec cos liypothèses sur R, les valeurs (8) de , et , , calculées au moyen des formules (^j), (7) et (9), peuvent s'écrire
oii n désigne la constante positive
j= — II ( ' — e-) ^ p* ' ( I + e cos I')'' '-'■ {e + cos v) ;
2}rli
rappelons que, dans ces valeurs (i i),
p = ( I -t- 2 e cos /.' + e-) a .
HYl>nTHi:SE DE M. SKE
Pour ('ludicf les varialious séculaires de a et de e, nous devons développer les seconds membres des valeurs (ii)en séries trigonnniétriques suivant les cosinus des niulliples de v, cl intégrer entre )' = o et r = '2T.. A l'intégration tous les cosinus donneront zéro; par suite ce qui nous intéresse, ce sont les termes constants de ces Llé\e!oppenicnts trigonomélriques et surtout le si<jnc de ces termes constants.
da ... , .,. . da
Nous savons déjà que , est cssentielleuicnt negatil, puisque ^j
l'est loujoius. Occupons-nous donc seulement de .;. Nous devons développer en série liigonomélrique l'expression
p*~"' \ -^ e cosv)''~'' {e — cosv).
Or, si nous dévcluppous d'abord le produit des deux premiers termes, nous obtenons :
la) p''""' (i -f- e cosi'"^~- = Aq -t- A, cosf — A. cos2d — ... .
Nous remarquons que Ao est essentiellement positif puisque c'est la valeur movcnne du premier membre dont les deux termes sont toujours positii's. Multipliant ensuite les deux membres de la rormule(i2) par {e -h cosr), il vient
p^~' (i + c cosi')'^~" e H- cosr^ = ( A^e H- -
les termes non écrits au second membre ayant tous leur valeur
moyenne nulle.
La seconde iormule (ii) donne donc pour la valeur moyenne de
de ^ , . .
1 ^ pendant une levolulion
('3) !/' = -" i---Kv + ^)-
Reconnaissons que le second membre de l'équation (i)) est, en général, négatif ; nous en conclurons que la résistance de milieu a pour cITet de diminuer l'excentricité de l'orbite. Cela aura lieu en particulier toutes les fois que A, sera positif. Or, d'après la formule (l'i). on a
Al = ^ I ( I H- 2 e CCS r -I- e-) ^ i -{- e cosr'"~- cosvdv.
124 inPOTUisES COS.MOGOMOUES
Si l'on a en même temps
Al sera positil", car de deux éléments de l'intégiale correspondant aux; deux valeurs i' et tt — v de la variable d'intégration, l'un est positil" et l'autre négatif, mais l'élément positif est plus grand en valeur absolue que l'élément négatif.
D'une façon analogue, on reconnaîtrait que si les deux inégalités
sont satisfaites, on aura de même Ai >• o.
Si nous supposons l'excentricité c assez petite pour pouvoir négliger son carré e'-, nous trouverons des conditions plus larges. La seconde formule ( 1 1) se réduira à
-,- = — H I -h (a — lie ces y -|- ('P — 2) e ces y] (e -h cosv) ;
d'où, en ne gardant que la valeur moyenne du second membre, on lire
de ,, / a -+- B — 3
du \ a
Ile Q ,
Il suffît alors, pour que l'excentricité décroisse, que l'on ait
Dans ce cas, même si |3 = o (c'est-à-dire si la résistance R ne varie pas avec la dislance r au Soleil), il suflira que l'on ait
c'est-à-dire que K croisse plus vite que la simple puissance de la vitesse. Or, on admet souvent, à titre d'approximation, qu'une résistance de milieu est proportionnelle au carré de la vitesse.
90. Cette diminution de l'excentricité par le fait d'une résistance de milieu aurait pu se prévoir, en gros et sans calcul, de la manière suivante. Supposons que la résistance ne se fasse sentir qu'au voisinage du péribélie P [/}(/. ay) ; dans ce cas, la planète subit en ce
HYPOTIIKSE DE M. SEE 125
point P une brusque diminulion de vitesse, d'oiî résulte vinc diminution du jjiiaml axe. Le péiilu'lie reslaul le mémo et l'apliélie se lappiocliant, il est clair (pic Icxccnliicilé tlécroît. Au contraire, si la résistance n'agissait f|u';iu moment de l'aphélie, la nouvelle orbite aurait même a[)liélie (pic l'ancienne, mais son périhélie se rappro-
cheralt du Soleil : l'exciMilricilé augmenterait. Dans la réalité la résistance se fait sentir tout le long do rorl)ite, mais deux raisons font qu'elle est plus importante au périhélie : d'abord, en ce point la vitesse est maxima, puis l'atmosphère étant, en général, plus dense à mesure qu'on se rapproche du Soleil, elle oppose une plus grande résistance [ucs du périhélie.
91. En résumé, l'etlet d'une résistance de milieu sur une orbite képlérienne est de diminuer à la fois le grand axe et l'excentricité ('). Donc, si l'on admet, avec AI. See, qu'autour du Soleil s'étendait primitivement à de très grandes distances une atmosphère résistante, on conçoit qu'un astre d origine cosmique, venant à passer dans la sphère d'action du Soleil, ait pu modifier sa trajectoire. Celle-ci, de parabolique ou hyperbolique qu'elle était, a pu d'abord devenir elliptique ; puis la résistance de milieu continuant à faire décroître le grand axe et l'excentricité de l'orbite, celle-ci s'est rapprochée de la forme circulaire. Lorsque l'atmosphère résistante, peu à peu absorbée par le Soleil, a finalement disparu, l'astre a continué à circuler autour du Soleil dans son orbite voisine d'un cercle. Telle est, d'après AL See, l'histoire de toutes les planètes.
(') On reconnaît aisément que celte résistance ne produit aucun c(Tet séculaire (au moins en preniière approximation) sur la longitude du périliélie. Bien entendu, elle ne modilîe pas le plan de l'orbite, qui garde la même inclinaison et la même ligne des nœuds par rapport à un plan fixe.
laO
HYPOTHESES COSMOGOIQUES
92. Do môme que les planètes ont été captées par le Soleil, de même, selon M. See, les satelliles ont été captés par leurs planèlcs respectives (').
Pour étudier celle capture, plaçons-nous dans le cas relativement simple qu'on appelle le problème reslreinl. Le Soleil S et une planète J (par exemple Jupilcr) décrivent chacun {fi(j. 23) autour de
fuj. 23.
leur centre de gravité commun G une orbite circulaire, avec une vitesse angulaire 0) constante. Il s'agit d'étudier le mouvement d'une petite planète P dont la masse est négligeable par rapport ù celle de la planète principale J et qui par conséquent ne troublera pas le mouvement de celle dernière. Prenons pour origine le centre de gra- \ilé (i du système S-J, pour plan des xy le plan où S et J décrivent leurs orbiles circulaires, et dans ce plan des axes rectangulaires mobiles, l'axe des x étant la droite SGJ qui joint le Soleil à Ju[)iler ; l'axe des z est la perpendiculaire en (! au plan de l'orbite. Les forces agissant réellement sur le point P(x, }', z) sont l'attraction du Soleil et celle de Jupiter. Ces deux forces dérivent respeclivement des deux fonctions de forces ; -)
Ml
Ml, M, étant les masses du Soleil et de Jupiter, <;i, ^^ leurs distances à P. Les axes étant mobiles, il convient d'ajouter à ces forces la force centrifuge et la force centrifuge composée. La force centrifuge a pour
(') T. .T. J. See : Loc. cit. Cliap. VIII, p. i^fj-iSa et Gliaji. X, p. Tii-'i^n.
(-) Nous supposons égale à l'unité la masse i\i de la petite planète P. Plus exactement, cette masse m se trouvant partout en facteur, nous ne l'ccTivons pas clans les l'orniulcs.
IIYI'UTIIKSI-; DE M. SEE l't~
composantes
La force cenlrilnge composée a pour composantes
ilv d.r
Les équations de mou\ement do la planète P relativement aux axes mobiles sont donc
il'x dl\ dl.. , dv
dl- dx dx dl
d-Y (/U, dlj., , dx
dl- dy dy - dl
d': rfU, dU..
Si nous multiplions respectivement ces trois équations par
dx = '!;' dl, dy = '{■' dl, d: = 'î: (//,
dl dl dl
et que nous ajoutions les résultats, novis obtenons une combinaison iuunédiatenienl intégrable qui nous conduit à l'intégrale suivante
i[/dx\'- /dvV- /'l-\-l M, M, io2 ^
connue sous le nom d'iiiléi/fale de jAcom.
Le premier membre de celte dernière équation étant positif, les coordonnées x, y, : du point P satisferont à l'inégalité
Pi ?2 ^
Par suite la projection (x, y du point P sur le plan des xy sera intérieure à la courbe
dans cette équation, Oi et 02 désignent les distances de cette projection du point P aux points 8 et J. Pour les très grandes valeurs de lu
lyS
m POTIUJSES COSJIOGOXIQUES
constante C, celle couibc comprend deux boucles ^désif^nées par i sur la fifj. 2/i) entourant, l'une le point S, l'autre le point J. Lorsque C décroît, ces deux boucles se dilatent et se rejoignent à un certain moment en un point double A (courbe 2). Puis, G diminuant encore, elles n'en font plus qu'une (courbe 3) qui entoure à la Ibis S et J (').
Donc, lorsque la constante C n'est pas trop grande, la [)chte [)Ianètc obligée de rester intérieure à la courbe .') est néanmoins libre d'aller au voisinage, soit du Soleil, soit de Jupiter. Si, au contraire, la constante C est très grande, la petite planète restera à l'intérieur de l'une des deux boucles i : elle sera un satellite soit du Soleil, soit de Jupiter.
Or, l'effet d'une résistance passive telle qu'une résistance de milieu est d'augmenter la constante G du second membre de l'intégrale do Jacoiu. Par suite, la courbe qui encercle la petite planète se rétrécit sans cesse. Si elle était initialement la courbe 3, elle deviendra à un certain moment la courbe à point double 2. Si h ce moment la planète est voisine du Soleil, jamais elle ne retournera au voisinage de Jupiter : elle est captée par le Soleil. Si, au contraire, elle est voisine de Jupiter, elle ne reviemlra jamais près du Soleil : elle est captée par Jupiter dont, à partir de cet instant, elle devient un satellite.
93. La tliéorie de M. See rend bien compte de la faiblesse des excentricités des orbites des planètes et des satellites (^). Mais pour-
(') Nous ne nous occupons pas de certaines portions de courbes pouvant se trouver très éloignées de l'origine.
{-) La diminution tic l'excentricité du fait d'une résistance de milieu n'est pas seulement capitale dans la théorie de M. See : elle intéresse aussi les tliéories de Faye et de ^L uu Lico^ois.
IIYl'OTIlilSE DE M. 5EE 1 29
quoi les mouvemonts de presque tous ces astres sont-ils directs et pourquoi leurs orbites ont-elles de faibles inclinaisons mutuelles ;* Ces deux questions restent, dans l'iiypothèse de M. See, sans réponse bien satisfaisante. Pour essayer d'expliquer la faiblesse des inclinaisons, on peut supposer que l'atmosphère résistante du Soleil a une forme lenticulaire très aplatie : alors un astre dont l'orbite est très inclinée sur le plan de ce disque subit une icsistance beaucoup moindre qu'un astre qui se meut dans le plan même du disque. Le premier astre a donc beaucoup moins de tendance à être ca[)té que le second, et c'est surtout dans le plan du disque que se feront les captures des planètes.
On pourrait aussi supposer que le milieu résistant est lui-même en rotation : il tendrait alors, non pas à annuler la vitesse de la planète qui s'y meut, mais à imprimer à celte planète une vitesse d'un certain sens : on se retrouverait donc dans des conditions analogues à celles qui ont été étudiées au Chapitre précédent (n" 83, p. ii3 et ii4). La résistance n'étant plus directement opposée à la vitesse, le plan de l'orbite pourrait varier et tendre à diminuer son inclinaison sur le plan équatorial de l'atmosphère solaire.
PomcA
