I. — Généralités
94. Dans l'hisloire, lanl passée que future, des astres du système solaire, Sir G. II. Dahavin attribue un rolc essentiel à l'influence des marées (').
Considérons les marées produites sur une planète T par im astre troublant L ( /?ry. 25 : la planète sera, par exemple, la Terre (M l'astre
fig. 35.
troublant la Lune. Rendons-nous compte de l'action du frottement de la marée sur la rotation de la planète et de la réaction qui en résulte sur le mouvement de l'astre producteur de la marée. Si la théorie statique des marées pouvait être appliquée, la surface des océans terrestres serait un ellipsoïde allongé vers la Lune L. Mais les trottements dus à la viscosité ont pour effet de produire un décalage, un retard de la marée sur l'instant du passage de la Lune au méri-
(i I I.es travaux de Sir (î. H. Darwin sur ce sujet forment l'objet d'une série de Mémoires ijubliés dans les Philosopldcal Transarlions et dans les Proccedinqs of the Royal Society de 1879 à 1882. Ils se trouvent réunis dans (t. H. Darwin' s Scienùjir Papers, dont ils forment l'ensemble du Volume II intitulé Tidal Jriction and Cosmofjony (Cambridge, 190S). A'oir aussi C. Wolf : Les Ilypolkcses Cosmogotiqucs, Cliap. VI, p. ~5.
l32 llYPOTntsES COSMOGOMOUrS
dien. Le grand axe de l'ellipsoïde terrestre fera donc un certain angle avec la ligne TL qui joint les centres de gravité des deux astres ('). Par conséquent, la résultante R des attractions de la Lune sur les molécules terrestres ne passe pas par le centre de gravité T de la Terre, mais est appliquée à un certain point A : cette résultante a donc un moment par rapport au point ï et tend, par suite, à ralentir le mouvement de rotation de la Terre.
De même, l'attraction R' de la Terre sur la Lune n'est pas dirigée suivant le rayon vecteur LT : ce n'est plus rigoureusement une force centrale : elle a une petite composante tangentielle qui va troubler le mouvement orbital de la Lune. Cette composante tangentielle, dirigée dans le sens même du mouvement de la Lune sur son orbite produira évidemment un elTet inverse de celui d'une résistance de milieu, cette dernière étant une force tangentielle dirigée à lopposé du mouvement orbital de la Lune. Il y aura donc augmentation du gTand axe de l'orbite lunaire et, conséquemment, diminution de la vitesse angulaire de révolution.
Cette augmentation du grand axe de l'orbite lunaire pouvait encore se prévoir autrement. L'effet de freinage des marées est de diminuer la vitesse angulaire de la Terre et par suite son moment de rotation. D'autre part, le moment de rotation total du système Terre-Lune doit rester constant. Donc le moment de rotation dû au mouvement orbital de la Lune doit augmenter, c'est-à-dire que la distance de la Lune à la Terre doit s'accroître.
Nous prévoyons donc dès maintenant et sans calcids que les deux principaux effets du frottement des marées sont la diminution de la rotation terrestre et l'augmentation corrélative de la distance de la Lune. En d'autres termes, la durée du jour augmentera, ainsi que celle du mois.
95. Pour expliquer l'accélération séculaire du moyen mouvement de la Lune dont la gravitation, comme on le sait, ne paraît pas rendre entièrement compte, Delaunat avait déjà proposé d'admettre une augmentation de la durée du jour sidéral, due précisément à l'action du frottement des marées sur le fond des océans. Dans cette hypothèse, l'accélération séculaire de la Lune ne serait pas réelle; ce
'M Ici, la Lune L est regardée, pour simplifier, comme un simple point matériel sans dimensions.
Tiii'oniE DE SIR a. II. uvinviN l33
ne serait qu'une apparence tlne à ce que notre unité de lem[)S, le jour sidéral, augmenterait peu à peu. Bien plus, l'clTet des marées, loin de produire réellement une accélération du moven mouvement de la Lune, au^mienterait au contraire la distance de cet astre à la Terre et sa période de révolution, comme nous venons de le remarquer. iN'est-il pas à craindre alors que ce retard elTectif ne l'emporte sur l'accélération apparente 1' Pour répondre à cette objection, Delalnav soutenait que le coefficient du relard imprimé à la Lune est moindre que celui du relard de la rotation de la Terre, ce qui se trouve être exact, seml)le-t-il. Mais, si l'on ne tient compte que du frottement des océans actuels sur leur fond, l'cU'el total est tout à fait minime et insignifiant. Il faudrait supposer que l'intérieur du globe terrestre n'est pas rigide, qu'il est plus ou moins visqueux, et que, par conséquent, les marées internes y produisent des frottements intenses.
II. — L'excentricité et l'inclinaison de l'orbite lunaire sont supposées nulles.
96. Quoi qu'il en soit, et [lour en revenir au point de vue cosmogonique, on doit siq)[)oser, avec Sir G. 11. Daiuvin, que dans ses étals antérieurs la Terre était lluide et visqueuse. Elle a alors subi des marées dans toute sa masse (boflily liclcs , et les fiolternenls dus à ces marées internes étaient incomparablement plus énergiques que ceux qu'on peut attribuer actuellenient aux marées océaniques.
97. Nous nous proposons d'étudier de plus près les variations que subissent, du fait de ces marées, la distance de la Lune el la rotation terrestre.
Pour simplifier, nous supposerons tout d'abord que le plan de l'orbite lunaire coïncide avec celui de l'équaleur terrestre et que cette orbite est circulaire. Il est bien clair que, par raison tle symétrie, l'orbite restera alors indéfiniment dans le plan équatorial. Mais restora-t-elle toujours circulaire? Montrons qu'il en sera bien ainsi et que. si l'excentricité est initialement nulle, elle le restera toujours. Soient F la force perturbatrice perpendiculaire au rayon vecteur (') et
' L'allraclion U' de la Terre siir la Lune Juj. y,'>; se décompose en : i" une forrc centrale- presque égale à la force entière et donnant le mouvement képlérien, el a" une force perlubalrice F perpendiculaire au ravon vecteur.
l34 HYPOTHÈSES COSMOGONIQl ES
ds le chemin parcouru par la Lune pendant le temps dl : le travail de la force perturbatrice est
</T = F ds cos a, OÙ a désigne l'angle de F avec f/.s\ Soit .Ib le moment de rotation : sa dérivée -jr- est égale au moment de la force perturbatrice ; on a donc l'égalité
où /' désigne le rayon vecteur et [-:> l'angle de F avec la perpendiculaire à ce rayon vecteur.
Dans le cas d'une orbite circulaire, cos a et cos ,'5 sont tous deux égaux à I, et Ton a
ds = rndl,
n étant le moyen mouvement. Nous tirons alors des formules précédentes
(i) dT = ndÀh.
Or. d'Y csl la différentielle de la constante des forces vives ( ):
\ ia l
\ 2a J 2 aet le moment de rotation Mo a pour valeur
Jb = V/Ma(i —e^):
M désigne la masse de l'ensemble Torrc-Lune, •la et e sont le grand axe et l'excentricité de l'orbile lunaire. L'écpiation (i) s'écrit donc
Mc/« ./IT(i- — e-)da — ad(e^)
L'orbite étant supposée circulaire, nous faisons c- = o; il \icnl
/ N Wda /., da . /,, \ a ,, ,^
Or, on a
THÉORIE DE SIK G. 11. DAKWIN l3j
les termes en du se détruisent donc dans l'équation 2 qui donne alors
L'excentricité ne subit donc |)as de variation : nulle au début, elle restera nulle.
On pourrait l'aire ici une objection. Il n'est pas étonnant, dira-l-on, que d[e-) soit nul, et d'ailleurs cela ne prouve rien ; en effet
d{e-) := 2 e de,
et, pour une orbite circulaire, c est nul. Mais il est facile de reconnaître que, dans le calcul ci-dessus de (/(e^) (ou pour être plus précis, de sa partie séculaire), tioiis n'avons néf/ligé que des termes en e-. Donc d{e'-) est de l'ordre de e- et de est de l'ordre de <? : il est par suite nul pour une orbite circulaire, et l'objection n'a pas de portée.
98. Considérons donc la Lune décrivant autour de la Terre une orbite circulaire dans le plan de l'équateur. Désignons par y la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son a.\c, par Ù la vitesse de révolution de la Lune autour de la Terre, et posons
Nous allons écrire que le moment de rotation du système est constant (principe des aires), et que l'énergie mécanique diminue par suite du frottement (principe de dégradation de l'énergie).
Soit G le moment d'inertie de la Terre autour de son axe. Le moment de rotation de la Terre est Cj et sa demi-force vive est
Tenons compte à présent du mouvement de révolution de la Lune et de la Terre autour de leur centre de gravité commun. Le moment de rotation dû à ce mouvement est proportionnel à x, car il a pour valeur
\/Ma;
il est donc proportionnel à y/« qui lui-même est proportionnel à
I 1} 3 , d'après l'équation
l36 HYPOTHÈSES COSMOGOMQLES
et la constante des forces vives ( — — I est proportionnelle à , c'csta-dire a -, .
Nous choisirons les unités de façon à simplifier les coefficients de proportionnalité. Nous prendrons tout d'abord les unités de masse et de longueur de manière que G = i. Ensuite nous choisirons l'unité de temps de telle sorte que, pour û = i, le moment de rotation du système Terre-Lune dans sa révolution autour de son centre de gravité soit égal à C, c'est-à-dire à i. Alors, le moment de rotation dû au mouvement orbital est non seulement proportionnel, mais égal à X. D'ailleurs, l'équation du viriel (n" 74, p. 91)
2T-t-V=o, qui, puisque le mouvement est circulaire, s'écrit ici
nous apprend que l'énergie totale T -h Y est égale à — T, c'est-àdire à la demi-force vive changée de signe. On en conclut immédiatement qu'avec les unités choisies, la constante des forces vives, proportionnelle à —2 r est égale à — — 2 •
Pour l'ensemble du système Terre-Lune, nous avons donc le moment de rotation total
et l'énergie totale
Le moment de rotation reste toujours constant : nous écrivons donc
Quant à l'énergie, elle va constamment en diminuant, absorbée qu'elle est par le frottement qui la transforme en chaleur : si donc nous posons
Y ira toujours en décroissant.
THEORIE DE SIH <;. 11. DAKWIN
Si nous remplaçons y par sa valeur // — x tirée de l'équation (3), ^ devient l'onction de x. Nous obtiendrons ses maxima et ses mininia
en annulant
dv
dx ^ dx x^
Annuler , revient donc à écrire arc
ou encore, se rappelant la définition de x,
Ainsi, lorsque l'énergie est maximum ou minimum, la vitesse angulaire de rotation de la Terre est égale à la vitesse angulaire de révolution de la Lune.
fig. 36.
99. Prenons, avec Sir G. H. Dakvvin, x pour abscisse et y pour ordonnée; et traçons (/?y. 2O) la droite
et la courbe
HYPOTHESES COS.MOGONIQUES
Cette courbe, Sir G. 11. Dahwin la nomme courbe de rù/iflité, [)arce que si le point représentatif (a;, j) est sur cette courbe, la durée de rotation de la Terre égale la durée de révolution de la Lune, et l'ensemble Terre- Lune tourne d'un seul bloc à la façon d'un corps solide.
Deux cas sont à distinguer suivant la valeur de la constante h. Ou bien la droite (3) coupe la courbe de rigidité (4) en deux points G et D ; ou bien la droite (3) ne coupe pas la courbe (4).
Prenons d'abord le premier cas, et étudions Y en fonction de x. Nous avons
Si nous prenons x pour abscisse et Y pour ordonnée, cette équation représente une courbe telle que celle de la figure 27 : les points C/ et
D' où Y passe par un maximum et par un minimum correspondent aux mêmes abscisses que les points G et D de la figure 26 situés sur la courbe de rigidité.
Dans le second cas, où la droite (3) ne coupe pas la courbe de rigidité (4), la fonction \ de x ne présente plus ni maximum ni minimum, et la courbe de la figure 27 est remplacée par celle de la figure 28.
Nous pouvons maintenant suivre les cbangements subis par le svstème formé par la planète et son satellite.
Supposons que l'état initial soit représenté par un point de la droite AHGDE {fi(/. 2()) : alors le point représentatif {x, y) restera toujours sur cette droite, mais de telle façon que Y aille toujours en décroissant.
ïiitoiiiE Dr siu (;. M. iiMiwiN
Si le point repicsentalit'(a:, y) initial eslsiliiéenlre A et U (J'nj. -îô), le point (x, Y) {J'kj. 27) est situé sur la hranche A'B' et, puisque V diminue toujours, il décrit cette branche en allant de V vers B'. Le point (.r, y) {fifj. 2()) décrit donc la portion de droite AB en aYan(:anl toujours à droite, jusqu'au point B cpii représente l'état final. En ce point on a x == o, c'est-à-dire 12 = x ; autrement dit, le satellite finira par tomber sur la planète. Beniarquons que, dans ce cas, le satellite circule toujours autour de sa planète dans un sens inverse de celui de la rotation de celle-ci (x <C o, J > o).
fi'.h 28.
\ous arriverions à une conclusion analogue — le satellite tomberait finalement sur la planète — si le point représentatif (x, y) initial était situé entre B et C, car alors le point (x. Y) {fifJ. 27) décrirait la branche de courbe G'B" en allant toujours vers B". Cette fois, les deux mouvements de rotation de la planète et de circulation du satellite sont de même sens (x >> o, y >> o) ; mais puisqu'on a
c'esl-à-dire
rV< 1,
le mouvement angulaire du satellite est plus rapiilc (pie celui de la planète : le mois est plus court que le jour.
Supposons maintenant que le point représentatif (x, y) soit entre C et D {fig-. 26). Les deux mouvements sont alors directs (x > o, }' > o), et le mois est plus long que le jour (x'y > i) : c'est le cas
140 iiiPOTiiiiSEs cosMa(jO>'iQLi:s
oflert par ic système Terre-Lune. Alors le point {x, \ ) ifig. '2') décrira l'arc CD' en marchant vers D' puisque \ décroît. L'état final est représenté par le point D de la courbe de rigidité (/?//. 126), pour lequel les deux durées de rotation et de révolution sont égales.
Enfin, si le point représentatif (x, y) était situé entre D et E. l'état final serait encore le point D, puisque le point {x, \ ) {Ji'j- 27) décrirait alors la branche E'D'. Dans ce cas, le mois est toujours plus court que le jour [x^y < i), le mouvement du satellite est toujours direct (x > o), mais celui de la planète a pu commencer par être rétrograde (j<o).
Dans le cas 011 la droite
ne couperait pas la courbe de rigidité, la figure 27 serait remplacée par la ligure 2S. L'état final serait toujoius le point IV ou B", c'està-dire que le satellite finirait toujours par tomber sur la [)lanèle.
La plupart des satellites connus correspondent au cas où les deux mouvements sont de même sens, mais avec le mois plus long que le jour : le point représentatif {x, y) est alors (Ji<j- 2O) entre C et D.
100. l'^tudions s[)écialement le sNstènie Terre-Lune. Pour ce système, on a les valeurs numériques suivantes
et le point représentatif se trouve dans une position telle que P. Ce point se déplace lentement vers le point D qui représente l'état final. Si, au lieu de chercher à prévoir l'avenir, nous remontons dans le passé, nous pouvons dire que le système Terre-Lune est parti de l'état initial représenté par C. Dans cet élal initial, le mois égalait le jour et leur durée comnnine était de .")'', 30. La durée du mois et celle du jour se sont mises ensuite à croître, la première plus vite que la seconde, en même temps que la Lune s'éloignait de la Terre. Lorsque l'étal final D sera atteint, le mois sera redevenu égal au jour, leur durée commune étant d'environ 55 jours actuels.
Cet état final serait définitif si la Terre et la Lune existaient seules. Mais le Soleil produit aussi sur la terre des marées qui continueront à retarder sa rotation : le jour et le mois continueront donc à croître, quoique lentement, et la Lune s'éloignera de plus en plus delà Terre, qui pourra finir par perdre son satellite.
TlIKOUin DE SIU G. It. DARWIN l4l
Dans lY'lat Initial, la durée Je rcvolulion de la Lune, ,")'', oli, était courte et par suite la distance de cet astre à la Terre était faible : le
calcul montre que cette dislance était de 2 rayons terrestres. Donc,
d'après les idées de Sir G. I[. Darwin, la Lune aurait pris naissance tout près de la Terre, et son orbite se serait peu à peu élargie et dilatée. Nous remarquons là un contraste complet avec la théorie de Faye selon laquelle, nous l'avons vu, le satellite se formerait très loin de l'astre central, son orbite se rétrécissant [)eu à peu h mesure que la masse de l'astre central augmenterait par suite de la condensation.
101. Dans tout ce <|ui précède, nous avons regardé G, moment d'inertie de la Terre, comme constant. Or, la Terre, en se contractant par suite du refroidissement, diminue de volume et G décroît. Nous étudierons un peu plus loin l'ellet qui en résulte. Gependant disons dès maintenant que, pour la Terre, cet elTet paraît [)eu important et ne change pas beaucoup l'allure générale des [)hénomènes.
102. Pour le système Terre-Lune, le point représentatif actuel P {Jif/- 26) est assez voisin du point D, puisque x = 3,2 est sensiblement plus grand que y = 0,8. Par conséquent, ce système est relativement assez près de son état final.
Si nous nous occupons maintenant des systèmes formés par les autres planètes et leurs satellites, nous constatons, au contraire, que le
rapport ~ se trouve être extrêmement petit. Par conséquent, leur point
représentatif, au lieu d'être voisin du point D, est voisin du point G. Ges systèmes sont donc beaucoup plus près de leur état initial que de leur état final. Gela tient à ce que, pour ces systèmes, la masse des satellites est extrêmement faible par rapport à la masse de la planète; les marées sont donc peu importantes et n'ont pas encore eu le temps de produire un effet considérable.
Pour le système formé par le Soleil et l'ensemble des planètes, la masse des planètes est sans doute fort petite par rapport à celle du Soleil, mais les rayons de gyration sont très grands, et l'on constate
que le rapport- est aussi très grand. Il semble donc que ce système
doive être très près de son état final. Mais cette affirmation ne supporte pas l'examen. Les planètes, en effet, produisent sur le Soleil des marées qui retardent sa rotation ; et c'est de ces marées qu'il faut
l/|a HYPOTlIKïSliS COSMOIJOMQUES
tenir compte si l'on cherche les variations de la rotation du Soleil. Mais, inversement, le Soleil produit des marées sur les planètes, et ces dernières marées sont beaucoup plus fortes que les premières : leur effet devrait donc s'être produit depuis longtemps, c'est-à-dire que les ]>lanètes devraient toujours tourner une même face vers le Soleil, ce qui n'a pas lieu.
