AXVLYSE DE L HYPOTHESE DE LAPLACE

nous tiouvons qu'elle a la forme représentée sur la figure i.j : elle se compose de deux branches AB el OD. Pour la branche AB, nous avons t "> s : l'ellipsoïde a son grand axe dirigé vers le Soleil, ce qui

•vj

fifj. i5.

correspond a des formes stables. Au point A l'ellipsoïde se confond avec une sphère, au point B c'est une aiguille infiniment allongée, à section circulaire. La branche OD pour laquelle t <C s, correspond à des ellipsoïdes allongés dans une direction perpendiculaire à celle du Soleil ; ces ellipsoïdes sont des figures toutes instables. Au point D l'ellipsoïde est une aiguille très allongée à section circulaire, au point 0 c'est une aiguille très allongée et à section aplatie. Si l'on examine comment varie

lorsqu'on chemine sur ces deux branches de courbe, on reconnaît que V partant de o au point A, commence à croître, passe par un maximum, puis reprend en B la valeur o. De même ^ part de o au point D, passe par un maximum et s'annule de nouveau au point 0.

Si l'on considère le moment de relation, on constate que, nul en A, il ne cesse de croître le long de la branche AB et devient infini en lî (en ce point B, le moment de rotation est infini, bien que la vitesse angulaire soit nulle, car le moment d'inertie de i'aiguillc infiniment allongée est infini).

47. Etudions spécialement deux cas particuliers. Soit d'abord 1^ = ce , c'est-à-dire que la masse M' de l'astre perturbateur G est

OO HYPOTUKSES tnsMOGOMQLES

supposée négligeable par rapport à la masse liquide M en rotation. La question revient alors à chercher les formes d'équilihre d'une masse fluide homogène animée d'une rotation uniforme et soustraite à toute action extérieure, problème connu : les deux branches de courbe Alî et OD de notre représentation graphique se rejoignent alors en un point II, et la hgure i5 se transforme en la figure iG; la ligne OV bissectrice des axes de coordonnées correspond à des ellipsoïdes de révolution (ellipsoïdes de Mac-Lai un) ; la ligne DB correspond à des ellipsoïdes à trois axes inégaux (ellipsoïdes de Jacobi).

48. Le second cas particulier que nous envisagerons est celui de ,'-'. = o. La masse fluide en rotation est alors très petite par rapport à la masse de l'astre troublant G (c'est le cas d'une nébuleuse planétaire dont la masse est très petite par rapport à celle du Soleil). Dans ce cas, la branche OD de la figure i5 vient ;^'ai)latir contre l'axe des /, tandis que la branche AB subsiste. Quand on parcourt celle branche AB, la quantité ^ part de o, passe par im maximum égal à o,o40, puis décroit jusqu'à o. Pour qu'une forme ellipsoïdale d'équilibre soit possible, il est donc nécessaire que l'on ait

\ = < o.o/iO.

Cette inégalité va fournir une limite supérieure que n'a pas pu dépasser le diamètre d'une nébuleuse planétaire (supposée ellipsoïdale et homogène). Prenons, par exemple, la nébuleuse planétaire qui a engendré Jupiter. Si v désigne un ra}on nioven de l'ellipsoïde qu'était initialement cette nébuleuse, la masse IM de celle-ci (^I est

ANALYSE DE l'hTPOTHÈSE DE LAPLACE OQ

approximativement la masse de Jupiter) est égale à

(21) M = ^T:pr';

d'ailleurs, / désignant la distance de Jupiter au Soleil dont la masse est M', on a

La comparaison de l'égalité (21) et de l'égalité (22) donne 'r\' Sto^M 3 M

Puisqu'il faut que et que

V < oMG M

devait satisfaire à l'inégalité

environ, on voit que le rayon moyen r de la nébuleuse de Jupiter

. j < - X coor X 0,046,

d'où l'on tire

Or /= 5,2 (le rayon de l'orbite terrestre étant pris pour unité);

donc

Prenant pour unité le rayon de Jupiter, cette inégalité signifie que /• doit être inférieur à /i4o rayons de Jupiter.

Ainsi la nébuleuse planétaire qui a engendré Jupiter et son cortège de satellites n'a pas dû avoir initialement un rayon moyen supérieur à /l/io rayons actuels de Jupiter. Les satellites n'ont donc pas dû se former à une distance plus grande. En effet, le plus éloigné des satellites actuellement connus est à une distance de la planète égale à 357 rayons. Mais, si l'on venait à découvrir un satellite à une dislance notablement (') supérieure à 44o rayons, il y aurait làun sérieuv argument contre la tliéorie.

[^ j Je dis nolablemcnl, car r est le rayon moyen de la nébuleuse; or, celle-ci est allongée vers le Soleil, donc son plus grand rayon peut dépasser scnsiblemeiil v.

IIYPOTlIliSES COSMOGONIQUES

49. Cas d'une masse à Joiie condensation. — Envisageons à présent riiNpolhcsc où la nébuleuse planétaire, qui tourne autour du Soleil en un temps égal à celui de sa rotation, présenterait une très forte condensation centrale de masse M, et cherchons la figure d'équilibre relative de son atmosphère.

Adoptons les mêmes axes de coordonnées que précédemment (//^. i4).

Le potentiel d'allraclion dû à la condensation est— (nous négligeons

l'attraction mutuelle des molécules de l'atmosphère); le potentiel dû à la force centrifuge est