W / O ON

le potentiel total est

eo représentant le potentiel dû à l'action perturbatrice du Soleil, situé en C sur l'axe des y (potentiel que nous avons appelé plus haut V.). Les surfaces de niveau ont pour équation

U =^ const.

Lorsque;'^ est nul, nous retrouvons l'équation déjà discutée (Section I), et les surfaces sont de révolution : l'une d'elles présente un cercle double équatorial formant arête saillante. Mais il n'en est plus de même lorsque zO n'est pas nul. Dans ce cas, l'une des surfaces acquerra un point double si l'on a à la fois

d\] dU dU

dx dv dz

La première de ces équations est vérifiée dans le plan x = o, par raison de symétrie ; les deux autres, en prenant des coordonnées polaires, c'est-à-dire en posant

r == r cos fi, z ^ r sin 0, sont équivalentes à

dU dl]

Ces deux dernières nous donneront les coordonnées polaires du point double ; on aura

dU M , d'^

dr r- dr '

ANALYSE DE L'nTPOTIn':SE DE LvPLACE fil

c étant très petit, celte équation donne appioximalivcment

Ayant ainsi la distance /', nous la portons dans l'équation

qui donnera l'azimut 5 du point douide. Comme

dU (h dH "~ '(TÔ '

nous voyons qu'en ce point double la fonction o passera (en tant que l'onction de 0), par un maximum ou par un minimum : on reconnaît aisément qu'elle passera par un maximum.

Dans le cas actuel, la fonction perturbatrice £'^ due à l'action solaire a pour expression

M' désignant comme plus haut la masse du Soleil et / sa distance au centre. Elle présente, pour une valeur donnée de /•, deux maxima égaux, en deux points de l'axe des j.

Donc l'une de nos surfaces de niveau présente deux points doubles ou points coniques ; les surfaces de niveau extérieures à celle-là ne sont plus fermées.

50. Jusqu'ici la durée de rotation de la nébuleuse planétaire a été supposée égale à sa durée de révolution, et nous avons dit (n" 43) que, pendant toute la période olx s'est maintenue cette égalité, la nébuleuse n'a pas du former de satellites. Lorsque, par suite de la condensation, la marée solaire est devenue plus faible, la rotation s'est accélérée, et la nébuleuse planétaire a cessé de présenter constamment au Soleil les mêmes points de sa surface. Roche admet que, dans cette seconde période, l'atmosphère planétaire prend à chaque instant la figure avec laquelle elle pourrait être en équilibre sous l'action du Soleil : sa surface libre est allongée vers le Soleil, et peut acquérir, aux sommets du grand axe, deux points coniques comme ceux dont nous parlions plus haut. C'est par ces deux pointes opposées que la contraction laissera s'échapper l'excès de fluide atmosphérique, et

02 UïI'OTllKSES COS.MO(;OMyLES

non plus par tonte nne anHc saillante équatoriale, comme il arrivait pour la nébuleuse solaire de révolution. Donc, au lieu d'un anneau régulièrement disposé autour de la planète, nous aurions une émission de matière s'efTectuant par deux points opposés. Roche pense que les diverses masses ainsi délaissées ne présenteraient aucune condilion de stabilité ni de durée, et qu'en réalité les satellites ne se sont pas formés dans cette seconde période : ils appartiendraient à une pliase bien postérieure où la durée de la rotation se trouvait déjà tellement réduite que l'allongement de la nébuleuse planétaire vers le Soleil était presque négligeable. La nébuleuse planétaire, devenue alors tout à fait comparable à la nébuleuse solaire, aurait abandonné des anneaux ordinaires de Lapt.ace qui auraient engendré les satellites.

Dans ce cas, aucun satellite ne se serait formé avant que la nébuleuse planétaire ne soit assez contractée pour que la différence R' — R', entre son plus grand et son plus petit rayon équatorial, soit descendue au dessous d'une certaine limite 0. Estimant assez arbitrairement cette limite Ù à /i,5 rayons terrestres, Roche en conclut, pour le rayon R' des différentes nébuleuses planétaires, au moment où ellesont pu commencer à abandonner des anneaux équatoriaux, les valeurs suivantes (exprimées en rayons de la planète correspondante :

Juj)itcr Saturne Lranus INeptune

C'est seulement en deçà de ces distances qu'on doit s'attendre à trouver des satellites. Les satellites anciennement connus satisfont bien à cette condition. Mais il n'en est plus de mrme pour certainssatellites récemment découverts : pour Jupiter, par exemple, on connaît un satellite à une distance de la planète égale à 35- rayons. Il y a donc lieu de penser que, contrairement à l'opinion de Roche^ les masses gazeuses abandonnées par les deux points coniques de la nébuleuse dans la seconde jiliase de son existence ont pu concourir à la formation de satellites. Cela, en effet, ne paraît pas impossible à imaginer : les masses successivement abandonnées auraient pu se répartir sur un anneau ; mais si, ce qui est le plus probable, aucun anneau n'avait pu se former, on se serait précisément trouvé dans les mêmes conditions qu'après la rupture de l'anneau devenu instable^ Que cet étal ait été atteint en passant par une phase d'anneau stable.

ANALYSE DE l'hYPOTHÈSE DE LAPLACE G3

OU sans passer par cette phase, la formation d'un satellite aurait toujours pu en résulter par un mécanisme identique.

51. Cas de la Lune. — Roche estime que la Lune se présente, à divers points de vue, comme un satellite exceptionnel :

{( Elle se distingue, dit-il, par la grandeur de ses dimensions et de sa masse comparées à celles de la Terre, par l'excentricité de son orbite, surtout par sa distance à la Terre. Saturne et peut-être Lranus en ont un aussi éloigne comparativement au rayon de la planète, mais c'est alors le dernier d'une série de satellites. Ici le satellite est unique. » [Essai sur la constiUiliuii et iorifjiiic du système solaire, n' 52.)

Ces raisons lui font attribuer à la Lune une origine spéciale :

« Il a pu arriver aussi exceptionnellement, et telle est l'origine probable de la Lune, qu'un amas de vapeurs déjà refroidies s'étant forméau dedans de la nébuleuse terrestre, dans la région équatoriale et à une certaine profondeur, cet amas soit devenu un centre de condensation autour duquel se sont groupés d'autres amas semblables. De cette agglomération est résultée, dans l'atmosphère même de la Terre, une nouvelle nébuleuse, origine de la Lune. » (loc. cit., n° 58.)

Le système Terre-Lune serait donc comparable, dans cette manière de voir, à une sorte de planète double. Nous sommes donc très loin des idées de Laplace.

52. Anneau de Saturne. — Pourquoi le dernier anneau équatorial abandonne par la nébuleuse de Saturne est-il resté sous forme d'anneau et n'a-t-il pas donné un satellite ? C'est, d'après Roche, parce qu'à une aussi faible distance do la planète, une masse fluide ellipsoïdale n'aurait pas pu être en équilibre. Rappelons-nous en elfet ce que nous avons dit relativement à une masse fluide homogène, soumise à l'attraction d'un astre central éloigné (ici Saturne) et animée d'une rotation uniforme d'une durée égale à celle de sa révolution. Lorsque la masse fluide est très petite par rapport à celle de l'astre central (cas de y, = o', nous avons vu (n" 48) qu'il faut avoir

- " - <; o,oZ|0

C4 IIÏPOTIIKSES COSMOGOMQUES

pour qu'une forme ellipsoïdale d'équilibre soit possible. Mais la lioisième loi de Képi.eh donne

Al' désignant ici la masse de Saturne et / sa distance à la masse fluide; il faut donc que

2 nrp r

Remplaçons M' par .. zr''ù, r et ù étant le rayon et la densité de Saturne, l'inégalité précédente devient

Si, pour fixer les idées, on suppose les deux densités égales, d^ = (5, la condition d'existence du satellite lluide est simplement

D'où cette conclusion : à une distance de la planète inférieure à deux fois et demie son rayon, un satellite de même densité à l'état fluide ne saurait se maintenir sous forme ellipsoïdale. Comme le rayon moyen de l'anneau de Saturne est inférieur à cette distance, sa matière n'a donc pas pu s'agglomérer en un corps unique. Cela appelle les observations suivantes : à cette distance une forme annulaire fluide ou solide est instable ; nous l'avons vu et nous en avons conclu que l'anneau se composait de satellites très petits et ellipsoïdaux. Mais d'après Roche, une figure ellipsoïdale (en supposant l'égalité des vitesses de révolution et de rotation) est également instable. Nous devons donc conclure que les pelils satellites dont est composé l'anneau ne présentent pas toujours la même face à Saturne.