HYPOTHÈSE DE M. SEE

87. Pour M. See ('), les planètes n'ont pas du tout été lormécs par des iVa^ments de la nébuleuse solaire et la Lune ne provient pas d'un fragment de la nébuleuse terrestre. Les planètes sont, d'après lui, d'origine cosmique extérieure à la nébuleuse solaire ; ce sont des cor|)s étrangers qui, venant à passer dans le voisinage du Soleil, ont été caplcs par lui. De même la Lune a été, à une certaine époque, captée par la Terre.

Comment s'est produit ce pbénomène ') M. See pense qu'autrefois le Soleil était entouré d'une vaste atmosphère, et que c'est par l'efTet de la résistance de milieu créée par cette atmosphère que la capture a eu lieu.

88. Etudions donc l'elTet d'une résistance de milieu sur le mouvement d'une planète (-). Si la résistance était nulle, le mouvement serait képlérien, l'orbite serait une ellipse d'excentricité d'ailleurs quelconque. La densité du milieu résistant étant par hypothèse très faible, cette orbite variera lentement. Nous allons étudier les variations de cette orbite par la méthode de la variation des constantes.

Rappelons d'abord quelques formules du mouvement elliptique des planètes.

Appelant /• le rayon vecteur et v l'anomalie vraie, l'équation de l'orbite est

^ ' I -h e cos V

c désignant l'excentricité, et

(' T. J. J. See : liesearchcs on Un' EfnhUionof l\ie Stellar Systems, vol. Il : The Capture Theory of Cosinical Evolution I.miii, Mass , U. S. A., Tlios. l^. Mcliols and Sons; Paris, A. Ilermann, 1910 .

2 f. J. J. See : Imc. n/./ci.. \ll. [.. lo'i-iJS.

iiS

iiYPOTiiKSEs cosMO.;o>i<>i;rs

désignant le pnramèlic de l'orbilc clli[)liqiic dont -ia est le grand axe. Nous avons aussi l'équation des aiics

'■■ dl =^ ^la constante des aires (' avant pour valeur

oi'i M représente la masse du Soleil. (Nous négligeons la nia.s<c de la planète vis-à-Nis de celle (lu Soleil. ) J.e niuvcn mouvement // est lié au demi-grand axe <i par la troisième k»i de Kki'i.kk

Enfin l'équation des forces vives donne

T étant la demi-lorce vive.

DilTérentiaut l'équation ( i ) par rapport au temps, il vient

dr pe s'in V dv

dt (1 -i- e cos v)- dt

pe sin V C

( I -t- t; cos V) - }•'

pe sin u i] , , ,

= 7 9 -, ( ' -+- ^ ces l')-

([ -h e cos vr [t-

= — e Sin V.

Or -77 est la composante de la \itcsse sui\ant le rayon vecteur. La composante perpendiculaire à ce ravon a poui- valeur

di' C '■ dl = r

= - ( I -h e cos v).

Des deux composantes de la vitesse Y nous déduisons, pour le carré de celle vitesse,

V^ = — „ ^i -I- 2 e cos V H- e^).

IiyPOTHESE. DE M. SEE lIQ

Si, pour abréger, nous posons

p- = i -T- 2 e cos u H- e^, nous aurons

Les formules ci-dessus conviennent au mouvement képlérien.

Supposons maintenant qu'il existe un milieu atmosphérique donnant une résistance K directement opposée à la vitesse et fonction de

la valeur ^ de cette vitesse. La constante des lorces vives — — subira.

pendant le temps '//, une variation

— , da ;

cette variation sera égale au travail de la résistance R, travail qui a ]iour valeur

— YW'dt;

on a donc

M da „,.

2a- dl

<roù Ion tire

da aRpa-

remplaçant ^I et p par leurs valeurs (2) et (3) dans cette dernière équation, on obtient

,,. da aRo

ny i — e-

A oilà l'équation (pii tlonne la variation du grand axe : le second membre est essentiellement négatif. L'etVet de la résistance de milieu est donc toujours de diminuer a, et par suite, d'après l'équalion (3),

i20 ini'Oi iii:¥i;s cosMOfJOSiQUES

(l'augmenter n. La \itcsso angulaire de la planclc s'accélère (') en mcnie temps que sa distance moyenne au Soleil diminue.

I^tudions, à présent, l'efTet de la résistance de milieu sur l'excentricité tle l 'orbite.

le Ti>ul d'abord la constanle des aires C aura 'sa dérivée -..- égale au

moment, par rapport au centre d'attraction, de la force perturbatrice R. Or, cette force R opposée à la vitesse a [)nur com|)Osantcs :

suivant le rayon vecteur

perpendiculairement au rayon vecteur

et le moment de la force II par rapport au Soleil est

, dv '" It ,, C

On a donc

(5) Rappelons que

dC HC dl ~ \

V/My,

Prenant les dérivées logarilbmiques des deux membres extrêmes, II vient

dC X /da 2 ede

i) La formule (3) montre mcme que nû augmente quand a diminue. D"où cette conséquence curieuse : une résistance de milieu a pour eflet d'augmenter la vitesse linéaire de la planète.

U"ÏI'0TIIE5E DE M. ï^EE

Celle équalion va nous pcraicltie d'oblcnir (h- puisque (hi et dC viennent d"ètre calculer. Un trouve

'2e de \ da 2 (/C

I e2 dt a dl C dl

• , f ' I (la iHj , , / f /~\

(■qualionqui seciil.cn remplaçant , et -y par leurs valeurs (Zt) et (o),

2e (/e aRp 2R

^ ^ I — «■■^ dt ~ na \'i — e- ^

Transformons le second membre de celte égalité. Nous avons trouvé précédemment (p. 119)

par suile ce second membre se met sous la forme

na V^i — e- L' ? J

ou encore, en nous rappelant la valeur de 0'-, sous celte autre forme

2R 26 cos V -+- ie-

na \/i — e' L'équation (G) donne donc linalement

. . de 2 R \ I — e- , .

(7) /, = (^ + cos V).

^" dl nap ^ '

Telle esl léqualidn (jui donne la variation de rexcentricité de lorbilc.

89. Les formules (4) et (7) permettent de calculer à cliaque instant les variations du grand axe et de l'excentricité. Mais ici il importe seulement d'obtenir leurs variations séculaires, et pour cela de calculer les valeurs de da et de de pendant le temps d'une révolution complète.

Prenant pour variable indépendante l'anomalie vraie e, nous aurons

da da dt \ dv "^ dl dl' ' ^^^ 1 de dedl

[ dl) ~ dt dv '

IIYPOTHKSES COSMOfiOMQL'ES

Or, l'rqnalioM des aires donne

= '^v (l -h e cosi')"'-'.

Les formules (/j), '7) et ^9 permettront donc dY'crire les valeurs (8) , da de . . , , . .

dïi ^^ dv ^1'"' l'^^t^orses entre o et a-, donneront les variations du

demi-grand axe et de l'excentricilc pendant une révolution.

Il y a lieu.de faire certaines hypothèses sur la résistance de milieu R. Cette résistance croît avec la vitesse; nous la supposerons proportionnelle à une certaine puissance de la vitesse V. Elle varie avec la distance r au Soleil, car la densité (et par suite la résistance) de ratm(ts[)hèie de cet astre croît à mesure qu'on s'en approche; nous admettrons que R est proportionnel à une certaine [)uissance (négalive) de /•. Bref, nous poserons

(ro) R = /tV^--?,

h, a c\ fj étant des constantes positives. Cor»me Y est proportionnel

à 0, et /• à j , ^ ^Qg ^^ , nous pouvons écrire la formule (10) ainsi :

R = J<p^ ' i H- e cos V '^ , k étant une nouvelle constante positive.

Avec ces hypothèses sur R, les valeurs (8) de , et ■ , calculées au moyen des formules (\), (7) et (9), peuvent s'écrire

\ dv

I de 1

f j,j = — n(i— e2)2 0=" '(i+^-cosJ')

où II désigne la constante positive

" ~ naC '

rappelons que, dans ces valeurs (it),

p ^ ( [ H- 2 e cos V -j~ e- ri .

HYPOTm:sE DE M. SEE lU->

Pour éludicr les variations séculaires de a et de <?, nous devctns développer les seconds membres des valeurs (ii) en séries trigononiélriques suivant les cosinus des mnlliples de v, et intégrer entre ï« = o et r ^^ 2-. A rintcgralion tous les cosinus donneront zéro: par suile ce qui nous intéresse, ce sont les termes constants de ces développemenls trigonométriques et surtout le sirjue de ces termes constants.

Aous savons déjà que , ^ est essentiellement negatii, puisque -.r

lest toujours. Occn[)ons-nous donc seulement de , . ^Dus devons développer en série trigonomélrique l'expression

p'~* t — e cosy)'^ ^ (<' -i- cosi').

Or, si nous développons d'abord le produit des deux premiers termes, nous obtenons :

'12) p^ ~ ' ( I H- e ces v] '"^ ~ ^ ^ Au -+- A 1 cos i' -f- A., cos 2u -(- ... .

Nous remarquons que A^ est essentiellement positif puisque c'est la valeur moyenne du premier membre dont les deux termes sont toujours positifs. Multipliant ensuite les deux membres de la rormule(i2) par (e -f- cosr), il vient

p*~"' (1 -+- e cosi')'^~^ 'e -f- cosî'; = ( A^e ~+" V^ ) + ••• ■>

les termes non écrits au second membre ayant tous leur valeur

moyenne nulle.

La seconde l'ormule ( 1 1 ) donne donc i)our la valeur moyenne de

lie , , , .

. pendant une icvolulion

(13) j^ = -nii-e^:'(A,c4-^

Heconnaissons que le second membre de l'écpialion (l'i) est, en général, négatif ; nous en conclurons que la résistance de milieu a poui- cll'et de diminuer l'excentricité de l'orbile. Cela aura lieu en particulier toutes les fois que Ai sera positif. Or, d'après la formule { 12). on a

Al = - I ( I + 2(î cos y 4- e-)

124 IIYPOTuiiSES COSMOGOMQfES

Si l'on a en nirnie temps

Al sera positif, car de deux éléments de l'intégrale correspondant aux deux valeurs î' et t: — v de la variable d'intégration, l'un est positif et l'autre négatif, mais l'élément [)Ositif est plus grand en valeur absolue que l'élément négatif.

D'ime façon analogue, on reconnaîtrait que si les deux inégalités

sont satisfaites, on aura de même Ai >- o.

Si nous supposons l'excentricité c assez petite pour pouvoir négliger son carré e'^, nous trouverons des conditions plus larges. La seconde formule ( 1 1 ) se réduira à

de iT - / r, ■

, - = — H [ H- (a — lie cos i; + 8 — 2 ; e cos v e -{- cos l' i :

ilv - \ y ,1 >

d'où, en ne gardant que la valeur moyenne du second membre, on lire

t = -ll dv

Ile r, N

Il sullil alors, pour que l'excentricité décroisse, que l'on ait

Dans ce cas, même si ^3 = 0 (c'est-à-dire si la résistance R ne varie pas avec la distance r au Soleil), il sulTira que l'on ait

c'est-à-dire (|ue Iv croisse plus \\\.c que la simple puissance de la vitesse. Or, on admet souvent, à titre d'ap[)roximation, qu'une résistance de milieu est proportionnelle au carré de la vitesse.

90. Cette diminution de l'excentricité par le fait d'une résistance de milieu aurait pu se prévoir, en gros et sans calcul, de la manière suivante. Supposons que la résistance ne se fasse sentir qu'au voisinage du périhélie P (fiff. 22); dans ce cas, la [danile subit en ce

IlYPOTllKSE DE M. SEE

])oint P une brusque diiuinulii)n de vitesse, d'où résulte une diminution du giiind axe. Le péiiliélie restant le même et Tapliélie se ranprocliant, il est clair que rexcentricilé décroît. Au contraire, si la résistance n'agissait f|u'au moment de l'aphélie, la nouvelle orbite aurait même aphélie que l'ancienne, mais son périhélie se rappro-

Ji'j- 3y.

chcrail du Soleil : lexccntricité augmenterait. Dans la réalité la résistance se lait sentir tout le long de l'orbite, mais deux raisons font qu'elle est plus importante au périhélie : d'abord, en ce point la vitesse est maxima, puis l'atmosphère étant, en général, plus dense à mesure qu'on se rapproche du Soleil, elle oppose une plus grande résistance près du périhélie.

91. En résumé, lellet d'une résistance de milieu sur une orbite képlérienne est de diminuer à la fois le grand axe et l'excentricité ('). Donc, si l'on admet, avec M. Sef., qu'autour du Soleil s'étendait piimitivement à de très grandes distances une atmosphère résistante, on conçoit qu'un astre d origine cosmique, venant à passer dans la sphère d'action du Soleil, ait pu modifier sa trajectoire. Celle-ci, de parabolique ou hyperbolique qu'elle était, a pu d'abord devenir elliptique ; puis la résistance de milieu continuant à faire décroître le grand axe et l'excentricité de l'orbite, celle-ci s'est rapprochée de la forme circulaire. Lorsque l'atmosphère résistante, peu à peu absorbée par le Soleil, a finalement disparu, l'astre a continué à circuler autour du Soleil dans son orbite voisine d'un cercle. Telle est, d'après ^L See, l'histoire de toutes les planètes.

(') On reconnaît aisément que celte résistance ne produit aucun elTet séculaire (au moins en premiùro approximation) sur la longitude du périhélie. Bien entendu, elle ne modilîe pas le plan de 1 orbite, qui garde la même inclinaison et la lucme ligne des nœuds par rapport ù un plan fixe.

Ilf)

IIVPOTHESES C0SMOR05I<>L'i:i

92. De mômo fjiie les planâtes ont été captées par le Soleil, de même, selon M. Si:i., les satellites ont été captés par leurs planètes respectives (' i.

Pour étudier celle capture, plaçons-nous dans le cas relaliveuient simple qu'on appelle le proh/cme restreint. Le Soleil S el une planète J ([)ar exemple .lu])ilcr) décrivent chacun {Ji'j. 2.) autour de

Juj. .3.

leur centre de gravité commun G une orbite circulaire, avec une vitesse angulaire 0) constante. Il s'agit d'étudier le mouvement d'ime petite planète P dont la masse est négligeable par rap[)ort à celle de la [lianète principale J et rpii par conséquent ne troublera pas le mouvement de celte dernièie. l'renons pour origine le centre de gra- \ité n du système S-J, pour plan des xy le plan où S et J décrivent leurs orbites circulaires, et dans ce plan des axes rectangulaires mobiles, Taxe des x étant la droite SGJ qui joint le Soleil à Jupiter; l'axe des z est la perpendiculaire en (I au plan de l'orbite. Les l'orces agissant réellement sur le point P x. y, :) sont l'attraction du Soleil et celle de Jupiter. Ges deux forces dérivent respectivement des deux l'onclions de forces -)

Ml, Mo étant les masses du Soleil et de Jupiter, '/i, 0., leurs distances à P. Les axes étant mobiles, il convient d'ajouter à ces forces la lorce centrifuge et la force centrifuge composée. La force centrilïige a pour

(') T. J. J. Sek : Loc. cit. Cliap. VIII, p. iTicj-iSa et Cliap. X, p. 2ii-^3i].

(-) Nous supposons égale à l'unllc la masse m de la pelile planète P. Plus exactement, cette masse m se trouvant partout en facteur, nous ne IWrivons pas ilan» les ibrmulcs.

lITPOTHESIi 1>E M. SEE

composantes

«o-J-, Oj-V, O.

La force ccnUiluge composée a pour composantes

dv dx

'"' dt' -'""dl' ""'

Les équations de niou\enicnt de la planélc P relalivemenl aux axes mobile; sont donc

dV, dx

lu-.r

dv dl

di'

dU, dv

oj'-y

dx '" dl

dl,

JLo

dr-

Si nous multiplions respectivement ces trois équations [)ar

, ilr , , dv , , d: ,,

et que nous ajoutions les résultats, nous obtenons une combinaison immédiatement inlégrable qui nous conduit à l'intégrale nuisante

A[dt ) ^ [cu) -^ \di) I = TT "^ 77 "" ^ ^■'■' ^ -"^ ~ ^'

connue sous le nom à' 'uilcfjralc de Ja<:obi.

Le premier membre de cette dernière équation étant positif, les coordonnées x, y, z du point P satisferont à l'inégalité

pi ~^ 2

Par suite la projection (a", v du point V sur le plan des xy sera intérieure à la courbe

dans cette équation, •Si et Sj désignent les distances de cette projection du point P aux points S et J. Pour les très grandes valeurs de la

laS

ll^ l'OTlli:sES COSMOCOMOLES

constanle C, 'celle courbe comprend deux boucles ^désignées par i sur la fifj. a4) enlouranl, l'une le poinl S, l'antre le point,!. Lorsque C décroît, ces deux boucles se dilatent et se rejoignent à un certain moment on un poinl double A (courbe 2 . l^uis, C diminuant encore, elles n'en font jilus qu'une (courbe W) qui entoure à la Ibis S et .1 (').

Donc, lorsque la constante C n'est pas trop grande, la pelitc planète obligée de rester intérieure à la courbe o est néanmoins libre d'aller au Aoisinage, soit du Soleil, soit de Jupiter. Si, au contraire, la constante G est très grande, la petite planète restera ;\ l'intéiieur de l'une des deux boucles i : elle sera un satellite soit du Soleil, soit de Jupiter.

Or, l'elTel d'une résistance passive telle qu'une résistance de milieu est d'augmenter la constante G du second membre de l'intégrale de Jacoiu. Par suite, la courbe qui encercle la petite planète se rétrécit sans cesse. Si elle était initialement la courbe 3, elle deviendra à un certain moment la courbe à point double 2. Si à ce moment la planète est voisine du Soleil, jamais elle ne retournera au voisinage de Jupiter : elle est captée par le Soleil. Si, au contraire, elle est voisine de Jupiter, elle ne reviendra jamais près du Soleil : elle est captée par Jupiler dont, à partir de cet inslant, elle devient un satellite.

93. La tliéorie de M. See rend bien compte de la faiblesse des excentricités des orbites des planètes et des satellites ^). Mais pour-

(') Nous ne nous occupons pas de certaines portions ilc courbes pouvant se trouver très éloignées de l'origine.

(-) La diminutiou de rexcenlricltc du fait d'une résistance de milieu n'est pas Seulement capitale dans la théorie de M. See : elle intéresse aussi les lliéories de Faïe et de M. du Ligondls.