HYPOTHÈSE DE M. DU LIGONDÈS

Conslcléions, en efTet, le plan du maximum des aires, perpendiculaire ^u moment de rotation résultant du système. Parallèlement à co pbn il y a (pour ainsi dire par délinition une légère prépondérance de molécules tournant dans un certain sens, tandis cpie parallèlement à un plan perpendiculaire à celui-là, cette prépondérance n'existe })as. Les chances de chocs seront donc moins nombreuses dans le plan équalorial du maximum des aires, où le mouvement est nn peu orienté, que dans un plan méridien, où les mouvements se font indifféremment dans tous les sens. 11 en résulte évidcnmient une tendance du sphéroïde à s'aplatir suivant la perpendiculaire au plan du maximum tles aires.

71. Montrons que cet aplatissement, une fois Gommencé, va s'ac- •centuer. Assimilons la nébuleuse aplatie à im ellipsoïde homogène. A l'intérieur d'un tel ellipsoïde, l'attraction au point x, y, z a pour •composantes

(/}, jS", Y" étant trois constantes ('). La trajectoire d'une molécule ■quelconque sera définie par les équations diilérentielles

■dont les intégrales générales sont

a; = A cos 'xt -+- 15 sin a/, j = Al cos p/ -f- 15, sin '^t, z-= A-, cos ';t -+- Bo sin -(L

La trajectoire donne donc, en projection sur chaque axe. un mouvement pendulaire simple, mais les périodes de ces trois mouvements pendulaires ne sont pas égales. On aura donc dans l'espace une courbe analogue aux courbes connues, dans le plan, sous le nom de courbes de Liss.i.ioDS.

(<) Les axes de coordonnées sont les axes principaux de l'ellipsoïde; a-, p*, '(^ sont les trois constantes que nous avons appelées P, Q, R au Chap. III, Section VII (p. fif) .

88 llYPOTIlioSES COSMOOOMQLES

Dans le cas actuel les trois constantes a, fi, '/ varient Icnlemcnl avec le temps, puisque rdlipsoïdc commence par s'aplatir. .Nous sommes donc en présence d'une question analogue à celle qui a été étudiée au Chapitre précédent l'n" 64, p. 7.")). Si nous posons

la première équation (i) s'écrit

(P.T dïl

tU- dx

dx . , , Si II ne dépendait pas de /, cette équation multipliée par ^^^ et intégrée

donnerait l'équation des l'orces vives

= (tV ->' = •'■■

où T serait une constante. Ici, où II varie lentement avec /, nous posons cette même équation, qui servira de définition à T. La dérivée de T par rapport au temps est alors

t/T dll .T^ (/(O^)

dt dl 2 dt

Pendant une oscillation - ,.— peut être regardé comme constant, et x^ a pour valeur moyenne ~ , x^ désignant 1 élongalion maxima ; on a donc pour la valeur moyenne de ,7 pendant une oscillation

. . d\:xid(^)

■> df — j-dF

4 dl ■

D'autre part, ^j^ s'annulant pour x = x^, la constante des forces vives T a pour valeur

T — II — — " d'ot'i

^ ' dl ~ 2 dt ~^ 2 dl '

La comparaison des équations (2) et (3) donne

2 dl ' U dl ~ '

inpoTHKSE Dt: yi. du ligondks 8g

U-à-di

xf, ,, = o,

ou encore

dl '^''■'dt

const.

Donc, quand a augmente, l'amplitude des oscillations parallèlement à l'axe des x diminue. Or, quand rdlipsoïde, en gardant la même masse, s'a[)latit suivant l'axe des .r, a augmente visiblement. En réalité, dans le cas actuel, a, [l> et y vont tous trois en augmentant, mais c'est a qui augmente le plus vite si l'axe des a? est perpendiculaire au plan du maximum des aires. L'aplatissement commencé s'accentuera donc de plus en plus.

72. C'est ainsi que ^I. dc Lioondks rend compte du double fait d'une condensation centrale et d'une tendance à l'aplatissement; le novau central donnera le Soleil, et les matériaux extérieurs formeront autour de lui une sorte de disque lenticulaire équalorial qui, s'aplatissant de plus en plus, deviendra lui-même instable : ce disque pourra se résoudre finalement en anneaux qui se transformeront en planètes.

\ous avons ainsi expliqué la tendance des trajectoires à s'orienter parallèlement au plan équatorial du maximum des aires. ^lais pourquoi les trajectoires des dilTérents projectiles tendent-elles à devenir et à rester circulaires '* Lorsqu'un projectile en beurte un autre, il y a perle de force vive se traduisant par une diminution du grand axe de l'orbite de ce projectile. Celte diminution du grand axe est-elle accompagnée d'une diminution ou d'une augmentation de l'excen- Iricilé? Pour nous en rendre compte, supposons qu'un de nos projectiles soit très gros (ce sera, si l'on veut, une planète déjà presque formée I, les autres étant relativement [)etits : le gros [)rojectiIe subira alors, du fait de ses cbocs contre tous les petits, un elTet analogue à celui d'une résistance de niilica. Or, nous verrons au Gbapitrc suivant qu'une résistance de milieu a en général pour elTet de diminuer l'excentricité de l'orbite de la planète qui la subit, c'est-à-dire de rapprocher celte orbite de la forme circulaire.

73. Si l'on compare la conception de M. m Lic.i^xdks à la théorie cinétique des gaz, on ne peut s'empêcber de remarquer un contraste

OO IIVPOTIIKSES COSMOGONIQLES

frappant. M. ni Ligonuks rcm[)lit l'espace de piojeclilcs rpil le silloniu'iit en lous sens. Les chocs de ces [)rojecliles produisciil l'évoliilioa du chaos, sa tiansfoimalion en un syslème planélaiic hien ordonné. Dans la théorie cinétique, les molécules des gaz sont de même assimilées ù des boulets se croisant dans toutes les directions, mais leurs chocs, au lieu d'amener une dillérentiation, produisent au contraire riiomogénéité parfaite de la masse gazeuse. Nous sommes donc, semble-t-il, devant un paradoxe ('), ])uisque des prémisses en apparence identiques conduisent, ici et là, à des conséquences diamétralement opposées. En réalité, dans les deux cas, le second principe de la Thermodynamique (Principe de GAUNOT-Gi.ALsirs, ou de dégradation de l'énergie) trouve son application, mais de deux façons dill'érentes. En ellet, les prémisses, quoi qu'il paraisse tout d abord, ne sont nullement les mêmes : les projectiles de la théorie des gaz sont sup])Osés par failenwnl élastirjncs, tandis que les projectiles cosmiques de M. i)L" LiGoxKiis sont plutôt moLis. Aussi, au moment du choc, deux molécules gazeuses rebondissent l'une sur l'autre comme deux balles élastiques, sans perle de force vive ; tandis que deux projectiles cosmiques qui se heurtent se collent ensemble avec dégagement de chaleur, et par suite avec perle de force vive. Différence de nature des projectiles, voilà la vraie cause de l'apparent^ixiradoxe que nous signalions.

Mais il convient d'insister et de pousser plus loin ce parallèle entre la théorie cinétique des gaz et la Cosmogonie de M. jjl Ligo^diis.

74. Théorenic du viriel. — Considérons un syslème mécanique formé d'un grand nombre de points matériels. Soient m la masse de lun d'eux, x, y, z ses coordonnées, X, ^ , Z les compo.santes de lu force qui agit sur lui. On a

dix dl^'-

di^ -

d'-z dt' '

(') Nous avons déjà signalé ce point, à propos de lliypolliùse de l\ a>t (Cli. I, n" 1, p. -J).

HYPOTIliiSE DE M OU LîGONDIiS ( ) I

Posons

•\-^ / dx dv dz

^=2."\'' dt ^^dt -^'di

V =^ m(x\ -+- vY -+- zZ),

les sommes^ s'étcndant à toutes les molécules. La quanlilé Y s'appelle le viricl du système.

Lalculons -,, :

-rt=l.'\\di) Hdi) -^[di] \-^l/^'^^dif^y^l^^~dï^

La piemière somme 7 n'est autre que la force vive aT, la seconde somme n'est autre que le viriel ^ . On a donc

Supposons que tous les points restent à distance finie cl que leurs vitesses restent aussi finies : dans ce cas U sera toujours fini. Prenant les \aleurs moyennes des deux membres de l'équation ('1) pendant un intervalle de temps très long' t^^ — t^, il vient

(Li — U(j) = moyenne de 2T + Y).

Or, Ui, Lo, valeurs de U aux époques /i, /o, sont finies, et /i — /„ est aussi grand qu'on le veut. On ])eut donc dire que pendant im lenqDS très long la valeur moyenne du second membre est nulle : ce que nous écrivons, en surmontant les lettres d'un trait pour indiquer qu'il s'agit de valeurs moyennes,

Tel est le théorème du viriel.

75. Faisons d'abord l'application de ce théorème à un gaz renlcrmé dans un vase. l>tant données deux molécules gaaeusos lui et iih, leur viriel a pour «expression

(.r,Xi + ViY, -\- r, Z,) 4- {x.,\.> -+- >', Y., 4- ZoZo).

02 IIVPOTIIKSES COSMOGOMQLKS

Quelles sont les forces \|, ^ i. Zi, X^, ^2, /i appliquûes à ces deux molécules? \ous pouvons négliger les aclions niuluellcs des molécules, saul'aux moments des chocs, d'ailleurs au moment d'un choc on a

a;, = a-^, y, = y.,, Zy = z-i,

puisque les deux molécules sont au contact ; et d'autre part

Xi 4- \., == o. Y, -i- Y. = o, Z, -h Z., = o,

puisque la réaction est égale et opposée à l'action. Le viriel dû aux chocs des molécules entre elles est donc nul, au moins en première approximation (').

Mais il l'aut tenir com[)te aussi des chocs des molécules contre les parois du vase : à ces chocs est due la pression p du gaz. La Ibrcc exercée sur un élément (/o) de surl'ace dont la normale extérieure fait avec les axes les angles a, j'i, y a [)our composantes

— yj cos at/w, — y) cos ^f/to, - — -p cos -[ihyi.

Le viriel \ dû aux chocs contre la paroi a donc pour expression

\ =: — 1^ \ \ {^ '^OS a H- y cos ^ H- c COS y) <^'<^, l'intégrale étant étendue à toute la surface. Or, on a

:r cos

a (/(O = I I y cos ^ (/(O =11; cos Y ^'^ r= y.

V désignant le volume total du vase; par suite

V = — 3pt', et l'équation (5) du viriel donne

3pi> = aT.

Celle relation, duc à Ci..\lstus, traduit la loi de Mariotte et G\y-

') Si, passant à une seconde a|)pro\imation, on tenait compte, avec van i>i:ft Waaf.s, des dimensions finies des sphères tl'action des molécules, on trouverait, au lieu de la formule de MAnioTTu et Gay-I^ussac sur laquelle nous tombons plus loin, une formule plus approcliée. Nous n'en avons pas besoin ici.

HYPOTHÈSE DE M. UV LICONDÈS g3

LussAC, car la force vive moyenne 2T est pioportionnclle à la température absolue du ga/.

76. Ap[)liquons maintenant le théorème du virlel à la nébuleuse chaotique de M. i)i= LhiONnKs. Ici nous n'avons plus de parois, mais jious ne [)ouvons plus négliger l'attraction mutuelle des projectiles. Appelant /■ la distance de deuv masses //?, et /((/., nous désignons par

la fonction des forces. Calculons le viricl : la force (X,-, \j, Z, qui s'exerce sur nii par suite de l'action de ni.', a pour composante suivant l'axe des ./;

la masse /», fournit donc, dans le viriel, le terme

La masse m,^ fournit de même le terme

La somme de ces deux termes est

Nous voyons aisément que le viriel total a pour valeur

Dans le cas de l'attraction newtonicnne, nous avons

(j'i llVPOTIlî;SES COSMOGO.MQUES

pai- suite

L'équation du viriel donne donc

D'ailleuis, nous pouvons écrire aussi l'équation des forces \ives

C restant constant tant rju'il n'y a pas de choc. De ces deux dernières égalités nous tirons

Que pouvons -nous conclure de là? Supposons tout d'abord que les projectiles soient parfaileinenl élastiques : leurs chocs n'entraînent aucune perte de force vive, et C reste constant malgré ces chocs. Alors les valeurs moyennes de T et de A\ sont aussi constantes. Or,

augmente avec la concentration : il n'y aura donc pas tendance à la formation d'un noyau central très condensé. Ce seraieni là les conditions d'une masse gazeuse entièrement isolée dans re>j)ace : cette masse ne se concentre pas indéfiniment, elle admet un reitain état final d'équilibre, auquel elle tend d'elle-même à revenir si elle s'en est écartée accidentellement. S'il se produit en un point une petite condensation anormale, elle tend à disparaîtie d'ellc-uièiae.

Au contraire, si les projectiles ont une certaine mollesse — i t c'est le cas pour les matériaux cosmiques de M. du Ligoadks — l.i constante des forces vives C dccroîl à chacun des chocs, par suite

croîtra sans cesse : c'est dire que les distances /■ décroîliint en

IIYPOTIltsE DE M. DC UGoyiiks g5

moyenne, et par suile que les chocs provoquent une tendance à la concentration indéfinie (^).

77. Lui de rcpaiiilion des vitesses. — Avant de donner la loi de Maxwell sur la répartition des vitesses des molécules gazeuses dans la théorie cinétique, exposons quelques considérations préliminaires.

Envisageons un liquide enfermé dans un vase de forme invariable qu'il remplit complèlemcnl. Soient x, y. z les coordonnées d'une molécule liquide, X, ^ , Z les composantes de sa vitesse, de telle façon que les équations «lilléreiitielles des trajectoires des molécules s'écrivent

dx dy dz ,

X, \, Z sont, par hypothèse, des fonctions données de x, y, z et /. Dans ce qui suit, le mouvement sera supposé permanent, en sorte que X, "Y , Z ne dépendront que de x, y, z. Comme le liquide est incompressible, on aura

, , d\ d\ dZ

(7) dx-^dy^dr = ''-

Nous supposerons que le liquide est un mélange de deux autres liquides : im liquide blanc et un liquide rose, par exemple. Si, au début, ces deux liquides ne sont pas mélangés, on prévoit facilement qu'en général les brassages dus aux mouvements des molécules liquides auront pour ellct de les mêler et de rendre finalement la masse homogène.

Parmi les molécules liquides distinguons-en un certain nombre (par exemple les molécules du liquide rose), et considérons leur distribution à une certaine époque t à l'intérieur du vase. Appelons o la densité du liquide rose 'j au voisinage du point quelconque x, y, z ;

(*) Hemarc[uons de plus ce fuit curieux : l'éiiergic cinétique movennc T va aussi en augmentant ; les chocs ont pour elTct (Wtiigmenlcr les vitesses. Ce fait est à comparer au suivant cjue nous rencontrerons au Gliapitre prochain : une rcsisUincc de milieu a pour effet d'accroître la vitesse lincairc d'une planète ou d'une comète. Nous aurons aussi plus loin (Gii. NUI, n" 171) l'occasion de constater un autre paradoxe du môme genre.

('-) p sera le rapport du nombre des molécules roses au nombre total des molécules comprises dans un petit volume entourant le point x, y, :.

gO lI^l'OTIILSUS COSMOGOMQUES

nous conviendions de dire que

p dx (/v (/;

est propoiiionnel à la probabllilc pour qu'à l'époque / une molécule rose soit Inlérieure au petit clément de volume dx dy <lz. La [)robabilité pour qu'à l'époque t une molécule rose soit inlciicuic à \\n certain volume fini sera de même, par définition, pr()|)orli<)nnfllo à l'intégrale

Il 1 p dx dy dz

étendue à ce volume.

Soit 6 (./:, 3% r) une l'onction quelconque, La valeur moyenne de celte fonction à l'instant / pour les molécules roses sera par définition

y I I I ?'y.^, J, ~j dx dy dz,

Y désignant le volume total du vase, et l'intégrale étant étendue à tout ce volume. Celte intégrale mesure, si l'on veut, l'espérance mathématique d'un joueur à qui l'on aurait promis une somme 'b x, y, z) chaque l'ois qu'une molécule rose sera intérieure au volume dx dy dz.

Au lieu de considérer l'ensemble des molécules roses à une certaine époque, on pourrait, si on le préférait, considérer une molécule déterminée et la suivre dans son mouvement pendant un temps très longï. La probabilité pour que celle molécule rose soit inlérieure à un volume î' serait alors, par définition, le rapport à T du temps pendant lequel la molécule envisagée a été intérieure à ce volume. De même, la valeur moyenne d'une l'onction li» serait définie comme étant la movenne, pendant ce temps très long, des valeurs que donnenl à 'i;(x, y, z) les coordonnées de la molécule en question.

Les mouvements des molécules liquides, définis par les équations (6), auront en général pour elTet de i'aiie tendre le liquide, au bout d'un temps suffisamment long, vers un état limite permanenl. Dans cet état final la densité o du liquide rose devenue indépendante de /, comme le sont \, Y, Z, ne dépendra plus que de x, y, z. Quelle sera celte distribution finale permanente des densités o ;' Ecrivons l'équation de continuité relative au liquide rose

d? f/(oJY f^'oY] d{pZ) __ ~dt "^ îix ^ dv ^ dz ~°'

HYPOTIIliSE DE M. DU LIGOXDKS Q-

dans l'élat final [)ennancnt, la déiivcc pailielle -rr sera nulle; et celle équation se réJuiia, en vertu de l'équation (-), à

,- (/o ,. (/o r^, do A ,' -h \ ,'- + / -y^ = G.

dx dy dz

Celte é(jnalion s'intciprète facilement : d'après les équations (6), X, \ , Z sont proportionnels aux composantes dx, dy, d: du déplacement élémentaire de la molécule ; on a donc

(lo , do , do ,

-,'- dx H- ,'- dv -h -,'- dz = G.

dx dy - dz

Cette équation si.irnific que, qiinnd l'étal permanent est atteint, o ne varie pas tout le Imif/ de la Irajeetoire d'une molécule quelconque .

Si donc une trajectoire (pielccnque remplit le vase tout entier ('), lélat final pernianent donnera

p = const.

dans tout le vase; c'est-à-dire que le mouvement aura eu pour résultat le mélange complet des deux liquides. C'est le cas le plus général.

Mais il peut airiver que les équations données (G) admettent une intégrale première

J [x, y, z) = const.

Cette équation représente une l'amille de surfaces, et une trajectoire quelconque est alors située tout entière sur une telle surface. Si elle remplit cette surface, la densité o sera constante sur cette surface et la distribution finale des densités sera représentée par

f étant une fonction quelconque.

De même, si les équations (G) admettent deux intégrales

Ji .r, V, r r= const., J., ix, r, z) = const.,

(') <. <j>l ce qui arrive, par e\em|)lc, pour une courbe de Lissajols anaioiriic à celles (|nc nous avons considérées au n" 71 (p. 8- \ et qui emplit tout un jiaral- Iéléi)i|"Mi <i les trois conslaiilcs a, ^, -; du n" 71 ne sont pas conimenï.urables entre ( lli->.

l'uiNCAné

g8 liyPOTIll'sES COSMOGOMQCES

on aura comme loi linale de cUslribulion des densités

78. .\pi('s cos préliniiiiaiios, envisageons un système mécanique (S) à // degrés de liberté. Sa situation à l'époque / esl définie par n paramètres

Son énergie potentielle U est une fonction de ces variables 7,. Sa force vive 2T est une fonction des 7, et de leurs dérivées 7/ par rapport au temps. Si nous posons

nons aurons, pour définir le mouvement du svslème, les in équations différentielles suivantes (équations canoniques de IIamilton) :

dqi f/E (//), àE

^®'' dl ~ dpi ' dt ~~ dq, '

où E ^ T+ L représente l'énergie tolalc du système, fonction des </i et des/),. Posant pour abréger

(VE „ (/E p

dpi — ^' ' dqi — '"

les équations (8) s'écrivent

Elles sont de la même forme que les équations (6), les P, et les Q, étant indépendants de /. De plus, les P, el les Q, satisfont évidemment à l'équation

de même forme que l'équation d'incompressibilité 7). Si donc nous considérons

71' 7;» •••' 'In,lh,P2, ■■■■ Pn

IIYPOTIIKSE DE M. DU I.ÎGO>Dl':S «)9

comme les coordonnées, dans un espace à in dimensions, d'une particule matérielle IT, dont la vitesse aurait pour composantes

nous pourrons dire que les équations (9) sont les équations diflérentielles de la trajectoire de la particule IL

Dans cet espace à in dimensions, considérons fictivement un vase complètement rempli par un liquide incompressible, les molécules de ce liquide se mouvant conformément aux équations (9). Comme les composantes de la vitesse de la particule if satisfont à l'équation (10 ■d'incompressibilité^ nous pouvons considérer cette particule II comme étant en suspension dans un pareil liquide fictif qui l'entraîne dans son mouvement.

Ainsi, au mouvement de notre système mécanique (S), nous faisons •correspondre, dans l'espace à in dimensions, la trajectoire d'une particule II en suspension dans un fluide incompressible.

Si, au lieu d'un seul système mécanique (S), nous en considérons un très grand nombre

(SJ, (S,). ..., (S,„),

•obéissant aux mêmes équations (9) de mouvement, mais dilTérant entre eux par les conditions initiales, au lieu d'une seule particule 11, nous aurons à en considérer m

toutes en suspension dans le même liquide incompressible. Ces parti- -cules n vont jouer ici le rùlc des molécules roses que nous considérions un peu plus haut.

Définissons la probabilité pour f|u"à un instant donné /, un de nos systèmes pris au hasard parmi nos m systèmes satisfasse à certaines conditions, par exemple pour que sa particule représentative 11 soit intérieure à un certain volume v de l'espace à m dimensions. Si, à ■celte époque /, la densité des particules II est représentée par 0 ('), la

(I) La ilcnsilc p est proportionnelle au nombre de particules II intôrioures à l'unité de \olumc, au voisinage du point considéré.

100 ini'OTIlliSES COSMOGO-MQUES

probahllilé en queslion sera, par délinillon, proporlionncUe à rinté grale un iiplc

:/<y, (/</o ... (/<y„ (Ip^ dp, ... (//'„

ctcntluc à ce volume v.

Soit 'J>((/p 72, ..., 'Jn^ pi> Pi> •■', P'i) une fonction quelconque. Sa valeur moyenne, à l'instant /, pour les particules II sera, par définition,

Y j j ••• j ?'^<hi 'hi "■ 'h" 'h'i '//'. ••• '^/J"-

V désignant le volume total du vase dans l'espace à 2/; dimensions et l'intégrale étant étendue à tout ce volume.

Au lieu de considérer simultanément les m systèmes

on pourrait, si on le préférait, considérer seulement l'un d'entre eu\> et le suivre dans son mouvement pendant un temps tiès long T, entre les époques i^ et /^ -+- T. La probabilité pour que ce système satisfasse à certaines conditions serait alors, par définition, le rapport à ï du temps pendant lequel il a satisfait à ces conditions entre les époques /„ et ^^^ -+- T. On définirait de même la valeur moyenne d'une fonction '^(v,, 7^, •••, q,,, p,, p.^, .■■, pn) comme étant la moyenne, pendant ce temps très long T, des valeurs que donnent à 'b les coordonnées de la particule H représenlallve du système.

Le liquide fictif de l'espace à 2/i dimensions va, en général, quelles, que soient les conditions initiales, par suite des mouvements intérieurs définis par les équations (9), tendre vers un état limite permanent,, comme il arrivait précédemment dans le cas simple de trois dimensions. Le raisonnement fait dans ce cas simple (p. 97) est évidemment général et nous permet de dire qu'une fois l'clat pcrmtiiwnl atlcint, hi densilc 0 des particules 11 ne variera pus /oui le Ioikj de la irajecloire d'une molécule (juelcouque.

Si donc une de ces trajectoires emplit le vase tout entier la distribution finale des densités 0 sera

a = consl.

ll\POTIIi;SE DE M. DU LICONDICS

dans tout le vase. Si les équations (9) de mouvement admettent une intégrale première

J = const.

celte distribution finale sera

Si les équations ((j) admettent I: intéi^ralcs premières

J, = const., J2 = const., .... J/,= const., la distribution iinale sera

?=y<;jwJ. J/.).

Toutefois celte dernière alllrmation suppose implicitement que la trajectoire d'une des molécules, qui est située tout entière sur la multiplicité à '211 — A' dimensions définie par les équations

J, = const., J., = const. ..., J/.. r= const.,

renipli/ celte multiplicité, ^s'ous adiuclirons — c'est en cela que consiste le (( postulat de Maxwki.l » — qu'il en est etTectivement ainsi pour les systèmes que nous considérons.

79. Dans le cas qui nous occupe, les équations (8) ou (9) du mouvement admettent une intégrale, celle des forces vives

E = const.

Supposons d'abord que ce soit la seule. La loi de distribution finale des densités 0 est alors

Supposons un instant, pour simplifier et pour avoir une représentation géométrirpie, que notre espace n'a que trois dimensions ; alors l'intégrale

E = const.

représcnlc une J'amille de surfaces ; la loi

nous enseigne que 0 est constant tout le long d'une telle surface, mais |)cut varier d'une surface à l'autre. Considérons deux surfaces

103 ll^l'OTIIKSES COSMO(;ONrQUKS

voisines E et E -+- dli (fi;/. 17) ; les normales à E le long du contour

d'un petit élément de .surface 'h définissent, entre ces deux surfaces^ un élément de volume

Ç représentant la distance qui sépare les deu\ sm-faccs. La probabilitépour qu'une particule 11 soit intérieure à cet élément (h est par définition [)roporlionnelIe à

pd' = p^di,

de sorte que, si nous restons constamment sur la même surface E, nous pouvons dire que la densilc superficielle le long de cette surface est représentée par

elle est proportionnelle ù 'Ç, qui visiblement est lui-même proportionnel à

dn VU)+U) -^[d:)

Restant encore dans le cas de trois dimensions, supposons maintenant que les équations de mouvement admettent deux intégrales

Jj =coiist., Jo = const.

L'ensemble de ces deux équations représente une famille de courbes le long desquelles 0 reste constant, tout en pouvant varier d'une courbe à l'autre. Assujettissons J, à rester compris entre J" et Jj ~- ^/J". el J2 à rester compris entre .1!^ et J',' -+- (W^,. Nous définissons ainsi un petit /«6c dont nous appelons Ç la section droite. Nous pouvons alors prendre des éléments de volume

dx = Çrfcr,

IIYPOTIILSE DE M. DU LIGONDKS Io3

da représentant ici l'élément linéaire de la courbe

ce qui nous amène à délinir le lonj^- de celle courbe une densilé linéaire

p' — or

proportionnelle à la section droite 'Ç. du tube ; et ici l'on aura ^, proporlionnel à

L D(v, -) 1 -^ Li)(c, .r) 1 ^^Li)(.'-, V) J ■

Plaçons-nous à présent dans le cas général dun espace à in dimensions, et supposons que les équations de mouvement y) admettent k intégrales

Ji = const,, J., = const , J/. = const.

L'ensemble de ces k équations définit une famille de multiplicités à 'îii — k dimensions, le long desquelbs -> est constant, tout en pouvant varier de l'une à l'autre. Nous pourrons encore considérer un élément d'y d'une de ces multi[)licités, et clicrcber une densilé Jiciive rJ corrcspondanlc : nous trouverons encore

Ï2 étant ici proportionnel a

011 les A sont les dilïérents jacobiens d'oidie /.■ qu'on peut former avec les k fonctions J et les \in variables q, et y),.

Le résultat serait le même, et nous trouverions la même densité fictive rJ , si nous posions le problème d'une façon un peu dilTérente. Supposons que les équations de mouvement (9), au lieu d'admeltrc k intégrales, en admettent seulement //

(lO J, :=: const., J,:^^ const., .... J,v = const. ;

mais nous imposons à notre svstème l'obligation de satisftiire à ): — A autres conditions

(12) J/,j i ^=^ const., J/,^.2 = const., .... J/^= const.,

IO| llYPOTIlliSKS COSlIO(;OMQlES

que nous nous donnons aihitraiicincnl. l"]n d'aulrcs termes, parmi tous les systèmes qui salisfoul aux h conditions ii i \ nous considérons seulement ccu\ qui satisfont en luèine temps aux /,• — //. conditions (12). Fa o'd'y sera proportionnel à la [)iobabililé [)0ur qu'un système satisfaisant à la fois aux conditions (11) et (ly) ait sa particule représentative 11 située sur l'éléincnt d'y (1(î la nndli[)licité à 'Mi — /.• dimensions délinie par les conditions simultanées ( i 1 ) et (i '-•!).

Remarque. — Dans les cas que nous considérerons, les multiplicités k'Mi — k dimensions que nous aurons à envisager présenteront la s\mélric de sphères concentriques ou de cylindres coaxiaux, si bien que la quantité 'Ç sera une constante tout le long de la multiplicité envisa"fée, et il en sera de même de 0'.

80. Appliquons les considérations [)récédentes à u\\ système mécanique formé par un très grand nombre n de projectiles dont l'action mutuelle dépend seulement des masses et de la distance : ce système sera, si l'on veut, un gaz dont chaque molécule est assimilée à un projectile. Soient Xi, x-i, Xi les coordonnées du premier piojcctile dont la masse sera désignée indifféremment [)ar in\, in-i ou iih^. Soient de même X:, ./;.;, x.-, les coordonnées du second projectile dont la masse sera désignée indifl'éremment par /??., lu., ou /;;,, ... VA ainsi de suite.

\ous poserons

Lénergie potentielle U du système sera une certaine fonction des Xi, c'est-à-dire des rji. La demi-force \i\e T aura pour valeur

Et comme on a

''' = dql '

les q, et les p, forment un svstème de rtiriahh's cdiioui'jiics ; autrement

IIYPOTIIUSE ni: .M. DL I.KiO.NDES

dit, on aura pour définir le niouvcnicnl les équations de TIamilton (/r/; dE dpi __ JE

'^^ dl ~ dp, ' dl — dq; '

où E = T -h l représente l'énergie totale.

En supposant que les positions des molécules ou projectiles soient (loiuiccs, les 7, et U seront des constantes fixées vuic fois pour toutes. Cherchons alors une loi de prohahilité pour les vitesses, c'està-dire pour les />/. En d'autres ternies, cherchons comment les vitesses seront distribuées en moyenne chaque ibis que le système repassera par sa conliguration initiale (ou par une configuration très voisine).

On conçoit que les considérations développées plus haut trouvent ici leur application. Supposons d'abord que les équations (8) n'admettent pas d'autre intégrale que celle des forces vi\es

E = const.

Dans l'espace à -211 dimensions des coordonnées y, et /),, nous aurons alors à considérer la multiplicité à 'Mi — i dimensions

(i3) E = const.

Mais comme on nous a impos(' d'avance les positions de toutes les molécules, c'est-à-dire les y,, il fmdra que nous prenions l'intersection de cette multiplicité avec les [)lans

Qi r= const., (j, = const , '//i =^ const.

•Cette intersection est une multiplicité M à n — i dimensions. Les qi ■et U étant des constantes, l'équation (i.'î) s'écrit sim[)lcment

1 = > /*,- ^=r const. :

telle est, dans l'espace à n dimensions des /),. l'équation de notre nniltîplicité jM à // — ■ I dimensions.

Cette nudli|)licité M présente, on le voit, la symétrie d'une sphère : par suite (d'après la remarque faite à la page io4} la quantité appelée plus haut 'Ç et la densité fictive 0' sont constantes tout le long de cette multiplicité M, que nous pouvons appeler une sphère à n — i dimensions, [)()ur faciliter le langage.

106 UTPOTIIKSES (;OSMOGO:SIQtES

Le point

représcnlalif dos vitesses de noire sxstrnie est donc situé sur celle sphère. Et coiunie la densité o' à la surface de celte sphère est constante, nous pouvons dire rpie la prohahilité, pour que ce point représentatilsoit situé dans une certaine région 11 de celte sphère, est proportionnelle à la surface de cotte région 11.

Quelle est alors la probabilité pour que />, soit compris entre p'I el p" H- r/yjj? Nous n'aurons qu'à prendre comme région 11 In zone découpée sur la sphère par les deux i)lans

ih=rr />! = /'? + '/y'; :

et la probabilité cherchée sera proportionnelle à la surface de colle zone, surface que nous allons évaluer. Appelons /• le rayon de notre sphère h n — i dimensions. Ce rayon est défini par

et nous posons

r- = nii'-,

n étant le nombre des molécules ; la constante /.- sera alors la moyenne arithmétique de tous les pr. Si nous posons

p'I = r cosO,

la surface de la zone en question sera proportionnelle à

sin"--0 t/0.

c'est-à-dire à

sin"--' 0 u

Mais nous avons

sin-O = I —

par suite nous pouvons représenter la suiface de notre zone par

MtPOrilKSE DK M. Dl HGXnDES

cette expression représente aussi la probabilité pour que />i soit compris entre j,] et /)',' 4- dp^. Coninie n est très grand, par hyi)Olhcsc, on peut écrire approximativement (')

Pï

l'c qui donne à la probabilité la forme

Telle est l'expression de la loi de Maxwell sur la répartition des vitesses des molécules gazeuses (-).

Le point

étant situé sur la spbère

^ pi' = const..

et la densité fictive <i' étant constante à la surface de cette spbère, tous les p^- ont même valeur moyenne ; ce que nous écrivons

en surmontant les lettres d'un trait pour indiquer qu'il s'agit de valeurs moyennes. Faisant d'abord / = :>, pi et p., sont relatils à une même molécule, et l'équation précédente montre que cette molécule a même force vive moyenne dans le sens des x et dans le sens des y. Si /), et pi sont relatifs tous deux à l'axe des x, mais à deux molécules dill'érentes, la même équation prouve que ces deux molécules ont, sui\ant une même direction, la même force vive moyenne. Donc, si

', On sail en (ITcl (|uo ( i -p ' ) a pour limite e'' quand ii croit indéfiniment. (-' Si, parmi nos ;( molcciiics. il sVii trouve deux identiques, on peut les intervertir sans changer la configuration du système : les deux systèmes ainsi définis satisfont à la même loi de probabilité. S'il se trouve \ molécules identiques, on peut les intervertir de ]\ ! façons dilTérenles : on obtient ainsi N ! systèmes satisfaisant à la même loi de probabilité. Cette loi subsiste donc même si l'on ne considère pas comme distincts ces > ! systèmes qui otTrent tous la même configuration.

io8

inroTiiiis^ES (josMOt;OMiiLi:s

l'une des molécules a une masse plus grande que celle de l'autre, sa vitesse moyenne sera plus faible.

81. La démonsiralion [)rccédenLc s'appli(ju(î au cas d'un ga/ enfermé dans un \asc à la mt-me tem[)ératrue que lui. Si le gaz est entièrement libre, cette démonstration demande à être couqjlétée. Dans ce dernier cas, en elVet, les écpiations (8) du mouvement n'admettent pas seulement l'intégrale des forces vives qui s'écrit toujours, les ([i étant supposés donnés,

const.

elles admettent aussi les intégrales du centre de gravité ('). Si nous ])rojolons la quantité de mouvement de toutes les molécules sur la direction quelconque dont 3i, i^, -.,, sont les cosinus directeurs, la somme de ces projections est une constante A. La première molécule a pour quantité de mouvement en projection sur cette direction , , , / — /^ /

La seconde molécule a de même pour projection de sa quantité de mouvement sur la même direction l'expression

où l'on a posé, pour plus de symétrie dans les notations,

Et ainsi de suite. L'intégrale du mouvement du centre de gravité, en projection sur la direction envisagée, s'écrit donc

dans celte égalité on a posé

Ci Ces iiilûgrales n'existaient pas dans le cas d'un gaz renferme dans un vase, puisque les molécules étaient soumises aux réactions des parois du vase qui sont des ibrces cxU'rienres au svstème.

IIYPOÏIIUSE DE M. DU" LIGONDIiS

lOj)

Nous devons, dans l'espace à n dinieiisluns, couper la sphère ( l 'i ) par le plan (i.j) : l'intersection est une sphère h n — -2 dimensions dont nous appelons />■' les coordonnées du centre. Pour avoir ce centre, nous abaissons de l'orii^ine la perpendiculaire sur le plan ( i3) ; nous obtenons les équations

qui expriment que les p'- sont proporllonncls aux cosinus directeurs de la normale au plan (i5) ; et pour déterminer la constante /.-, nous écrivons que le [)oint //,' est situé dans le plan (i5), ce qui donne

Avant ainsi obtenu le centre de notre sphère an — 2 dimensions, transportons-Y l'origine en posant

La sphèic ( I '\ ) devient alors

^p]' -^2^p'^p'^ -^^pT'

court.

or, on a

= G ; par suite, l'équation de la sphère (i/|) s'écrit

Vp-2 ^ (,o,^si.

Il faut couper cette sphère par le plan diamétral ''i5\ devenu

La multi[)licilé à n — 2 dimensions rpii résulte de cette intersectiiin [)résente encore la symétrie île la sphère. In raisoiuicmcnt identique à celui qui a été fait plus haut montrerait alors que la distribution des p\ satisfait encore à la loi de .M.wavei.l.

IIVI'OTIIICSES <:0SM0(;OMOL'K5

Or, si l'on fait successivement

puis enfin

afin d'utiliser l'ensemble des Irols intégrales du rentre de ^aavltc', les p\ ne sont autre chose, on le voit aisément, que les varial)les qui correspondent aux vitesses des molécules par rapparl an centre de (jravilé du syslcme.

Nous pouvons donc dire que dans une masse gazeuse entièrement libre, la distribution des vitesses relatives par rapport au centre de gravité satisfait encore à la loi de Maxwelf,. En particulier, les diverses molécules auront même force vive moyenne ; si leurs masses sont inégales, les grosses molécules auront, relativement au centre de gravité, une vitesse moyenne })lus faible que les petites ; plus les masses des molécules seront grandes, plus leurs vitesses se rapprocheront de celle du centre de gravité.

82. Tout ce qui précède s'applique aux gaz arrivés à un état statlonnaire, et qui, par conséquent, se trouvent dans leur ensemble en état d'écpii libre mécanique et thermique. Lorsqu'au contraire la masse gazeuse possède diverses régions oîi les vitesses et les températures ne sont pas les mêmes, le mécanisme du frottement et de la conductibilité tend à égaliser ces vitesses et ces températures, et à déterminer un état stationnaire. Considérons, en effet, deux portions contiguës A et B où les vitesses moyennes sont dill'érentes, les molécules de B, par exemple, présentant une prépondérance de vitesses dirigées dans un certain sens. Des échanges de molécules s'elTectuent entre les régions A et B, et les molécules qui passent de B en A apportent avec elles leur vitesse; la prépondérance diminuera donc en B et la vitesse augmentera en A : c'est ainsi que le frottement ou la viscosité de la masse gazeuse tend à égaliser les vitesses de A et de ]î, et à rendre nulle la vitesse relative de l'ime des régions par rapport à l'autre. L'ensemble de la masse gazeuse tendra donc vers un état final où elle se mouvra d'un bloc, à la façon d'un corps solide. Si le moment de rotation total était nul initialement, cet état final est une simple

IlYPOTIli:SK DE M. VV I.Ii;i)NDi:S

translation; si ce moment de rotation initial existait, l'état final est une translation accompagnée d'une rotation autour d'un certain a\c.

Le mécanisme de la conductibilité tlicrmique est entièrement analogue. Uei)renons nos deux régions contigui-s V et B et sup])osons la région 13 plus chaude que la région A. Les molécules de Ji auront alors une force vive movenne supérieure à celle des molécules de A ; par suite les molécules qui passent de Ji en A tendent à échauller A ; celles qui passent de A en B tendent à refroidir B. Les températures finiront donc par s'égaliser.

Toutefois, si la masse gazeuse est d'un volume considérable, elle n'arrivera à son état final stationnaire tant mécanique que thermique, qu'au bout d'un temps excessivement long ('). Mais chaque petit volume atteindra assez rapidement un état d'équilibre local, où les vitesses des molécules satisferont à la loi de Maxwell (il s'agit ici des vitesses relatives par rapport au centre de gravité de la région restreinte envisagée).

83. Revenons maintenant à la nébuleuse chaotique de M. m Lt- GoxnÈs, et vovons dans quelle mesure tout ce qui vient d'être dit sur les vitesses des molécules gazeuses dans la théorie cinétique s'applique aux projectiles qui composent cette nébuleuse. Si ces projectiles étaient parHiitement élastiques, l'assimilation serait complète. Lorsque deux projectiles élastiques de même masse, qui se sont choqués,

f'il. iS.

rebondissent l'un sur l'autre, la vitesse de leur centre de gravite commun n'a ])as changé, la force vive totale non plus ; quant à la vitesse relative de l'un par rapport à l'autre, elle n'a pas changé en grandeur, mais elle a changé en direction. Va\ d'autres termes, si les vecteurs oa cl ob représentent {Ji[j- i8) les quantités de mouvement des deux projectiles avant le choc, leur somme géométrique ne n'a

i' \ oir ce qui a élô dit au Cliap. III, Sccliou IV. au sujet île la faiblesse de l'inllucrice des froltecneuls quand il s'agit de grands volumes iluidcs.

IlM'OTlli;!ii:S CO.'SMOCOMOLES

pas changé; lenr dilTérencc géométrique ai a conservé sa grandeur mais a varié en direction. Telles sont les lois du choc de deux corps élastiques de même masse.

Considérons maintenaiil Avux points matériels A et B de même masse s'attirant (ou se repoussant) suivant une loi quelconque fonction de la distance, l'action étant nulle à distance infinie. Quand ces deux points sont très éloignés l'un de l'autre, leurs trajectoires sont rectilignes ; elles s'incurvent Jij. nj lorsque ces deux points viennent à passer l'un près de l'autre; puis, la distance augmentant, les deux trajectoires redeviennent rcctiligncs. La force \ive n'a pas changé ; quant à la vitesse relative, lorsque les deux [)oints sont arrivés en V et en B' où les trajectoires sont redevenues sensiblement rcctiligncs, elle

fB'

n'a pas varié en grandeur, mais elle a changé en direction. Nous retrouvons donc exactement les mêmes lois que dans le choc de deux corps élastiques ; en effet, le choc de deux corps élastiques peut être regardé comme un cas particulier du problème que nous envisageons. Nous conviendrons de dire que les points matériels A et B, ainsi déviés de leur route, ont subi un demi-choc. Les demi-chocs se font conformément aux lois des corps élastiques.

Les matériaux qui constituent la nébuleuse de M. vu Ligoxdks et qui s'alliient entre eux suivant la loi ne\\ tonienne vont ainsi subir un grand nombre de demi-chocs : à ce point de vue ils sont assimilables aux molécules d'une masse gazeuse. Mais, à côté des demi-chocs, il l'ant distinguer aussi les chocs vcrilnhh's qui ont lieu lorsque deux

HYPOTHESE DE M. DU LIGO>"Di:S

projectiles A et B viennent à se toucher physiquement. Ces chocs vérilahles se l'ont toujours avec perle de force vive, et par suite avec tendance à la concentration, parce que les matériaux cosmiques ne sont pas parl'aitemenl élastiques mais plutôt mous.

Les demi-chocs, dans la nébuleuse, sont certainement beaucoup plus fréquents que les chocs véritables. Par suite, malgré la possibilité de ceux-ci, les vitesses auront tout d'abord une tendance ù se répartir selon la loi de Maxwell, les j)rojectiles les plus gros prenant une vitesse moindre que les plus [)etils. L'elTet concentrateur des chocs véritables produira quelques grosses agglomérations. Ces grosses aggloméiations, en vertu de la loi de Max^\ell (que les demi-chocs tendent toujours à maintenir), prendront une vitesse relative assez faible par rapport au centre de gravité de la région où chacune d'elles se trouve. Comme la nébuleuse entière, assimilée à une masse gazeuse, tend, par suite du frottement, à tourner d'un seul bloc comme le ferait un corps solide, les grosses agglomérations tendront finalement à prendre une vitesse peu dilTérente de celle qui correspond à une rotation uniforme autour d'un axe.

Dans ces conditions, reconnaissons que les inclinaisons des orbites des grosses agglomérations sur le plan équatorial vont tendre à diminuer. Soient O le centre de la nébuleuse, FI le plan équatorial du maximum des aires et V la vitesse actuelle d'une grosse agglomération P (y?'/. 20). Celte vitesse tend à se rapprocher de la vitesse Y' qui cor-

Jhj. 20.

respoudrail à une rotallon uniforme autour d'un axe Or perpendiculaire an plan 11. Or il est manifeste que le plan 0P^ ' est moins incliné sur le plan 11 quo le [)lan OPV. 11 y a donc à chaque instant tendance à la diminution de l'inclinaison de l'orbite de P, qui finira par se rap[)rocher du plan II.

PoiMJARÉ. 8

iirpotiiÈSEs tosîtiono?!iot:Es

En même temps, l'iexcentricit'c de ro^bito h^ntlra à dimimier. Kr> elTcl, si PV pst la vitesse de la grosse ag-gloméralion V en jifoicction sur le plan equatorial {fiy. 21), celte vil'essetcml à se rapproclier de

ftg. 31.

la vitesse PV qn'i est perpendiculaire au rayon \ecleur el qui correspond à la rotation imiforme. L'orbite ayant ime fois atteint la l'orme circulaire, la conservera comme il a été expliqué au Cbapilrc précédent.

On comprend également, et pour la même raison, pourquoi les. orbites des planètes sont toutes directes (*).

84. Il y a lieu ici de faire une remarque. Si les demi-chocs existaient seuls, comme ils se font coniormément aux lois des corps élastiques, la nébuleuse chaotique serait alors entièrement assimilable à une masse gazeuse isolée dont la ligure d'équilibre finale serait un sphéroïde très peu aplati et sans forte condensation centrale. Dans l'aplatissement et la concentration de la nébuleuse de M. j)l Ligondi'os, le ruie tout à fait essentiel est joué par les chocs véritables. Or, ceuxci, nous l'avons dit, sont beaucoup moins fréquents que les demichocs. Sont-ils néanmoins assez nombreux pour qu'on puisse leur attribuer la transformation de la nébuleuse en système solaire, et n'estil pas à craindre, au contraire, que l'effet des demi-chocs ne l'emporte 1' La question n'est pas tranchée et demanderait à être approfondie.

85. Cherchons maintenant pourquoi les planètes ont un mouvement de rotation direct, excepté celles qui sont les plus éloignées du Soleil. Nous pourrions encore faire intervenir l'influence des marées solaires, telle que nous l'avons expliquée au Chapitre HT, Section VI.

Ce n'est pas ce que fait M. du Li(;om)i;s. L'intensité de la pesanteur à l'intérieur de la nébuleuseayant varié avec le temps, depuis l'origine

(' ) Observons que, dans l'Iiypotlièse de M. du Licondks, il n'est pas nécessaire de supposer que la dilTércntiation initiale de la nébuleuse s'est faite sous fornic d'anneaux : les grosses agglomérations ont pu se produire d'une façon quelconque à son intérieur.

livi'oi iii':>i; DE M. DU i.ir,o\i)i:s

OÙ elle élail piu|)ortiûniielle à la distance an centre jnsqn'à l'état (inal actuel on elle varie en raison inverse du carré de la distance, il admet, comme Fa\e (Cf. n" 60, p. 72), qu'il y a eu à chaque distance une période directe c{ une période rélro(jrade. La loi par la(|uelle il représente l'intensité de la pesanteur dans la période intermédiaire est seulement plus compliquée, mais aussi elle est plus voisine de la réalité que celle de Faye. La période directe a duré très peu de temps pour les régions extérieures de Neptune et d'Uranus, aussi ces planètes sont-elles rétrogrades. Elle a duré beaucoup plus longtemps pour les régions des planètes intérieures, et lorsque la période rétrograde est arrivée en ces régions, il était trop tard pour changer le sens de rotation de ces planètes déjà presque complètement formées.

86. M. DU LicoxDJ'is tente aussi d'expliquer certains faits particuliers offerts par le système solaire. Par exemple, Jupiter se trouve être la plus grosse des planètes, parce que le disque équatorial aplati, générateur des planètes, aurait présenté à la dislance correspondant à Jupiter un maximum de densité. Il trouve aussi certaines raisons pour rendre compte des lois suivant lesquelles varient les niasses des dill'érentes planètes, leurs distances au Soleil, les inclinaisons de leurs axes...

Disons enfin que, d'après M. du Ligoxdès, l'ordre des planètes, rangées au point de vue de leur âge, serait le suivant : Jupiter, ^e|)tune, Uranus, Saturne, la Terre, Mars, Vénus, Mercure.

Les considérations développées dans lesn°^85 et 86 nous paraissent avoir moins d'importance que les précédentes. On pourrait les abandonner sans renoncer aux princijics fondamentaux de la théorie que nous venons d'exposer, liln ce qui concerne le sens de la rotation des planètes, nous avons vu que la théorie des Marées était seule capable d'en rendre compte; les objections faites aux idées de Favu sur la « période directe » cl la u période rétrograde » conserveraient ici leur valeur. D'autre part, il nous semble prématuré de chercher à rendre compte, par des considérations a priori, des lois qui lient les masses des planètes aux grands axes de leurs orbites, à la durée de leur rotalion, au nombre et à la ré[)artition de leurs satellites. Si ces considérations étaient justifiées elles devraient s'appliquer aux systèmes planétaires qui entourent toutes les étoiles, et tous ces systèmes devraient être identiques ce qui est bien [)eu vraisemblable.