I. — Généralités

94. Dans l'hisloire, tant passée que future, des astres du système solaire, Sir G. II. Dauavin attribue un rôle essentiel à l'influence des marées (*).

Considérons les marées produites sur une planète T par un astre troublant L ( //^. 25 ; la planète sera, par exemple, la Terre et l'astre

fig. aô.

troublant la Lune. Rendons-nous compte de l'action du frottement de la marée sur la rotation de la planète et de la réaction qui en résulte sur le mouvement de l'astro producteur de la marée. Si la théorie statique des marées pouvait être appliquée, la surface des océans terrestres serait un ellipsoïde allongé vers la Lune L. Mais les frottements dus à la viscosité ont pour efîet de produire un décalage, un retard de la marée sur l'instant du passage de la Lune au méri-

(i) Les travaux de Sir (1. H. Darwin sur ce sujet forment l'objet d'une série de Mémoires publiés dans les Philosoptiical Transactions et dans les Proceedin<is of the Royal Society de 1879 à 1882. Ils se trouvent réunis dans Ci. H. Darwin* s Scifntific Papcrs, dont ils forment l'ensemble du Volume II intitulé Tidal Jriction and Cosmofjony Cambridge, iitoS). ^ oir aussi C. Wolf : Les llvpolhèses Cosmogoniques, Cbap. A I, p. 75.

iSa IIYPOTHKSES COSMOGOMQUE?

tlicn. r.c ,i;rancl axe de l'ellipsoRle terrestre fera donc un certain angle avec la liync TL qui joint les centres de gravité des deux astres ('). Par conséquent, la résultante 11 des attractions de la Lune sur les molécules terrestres ne passe pas par le centre île gravité T de la Terre, mais est appliquée à un certain point V : cette résultante a donc un moment par rapport au point T et tend, par suite, à ralentir le mouvement de rotation de la Terre.

De même, l'attraction li' de la Terre sur la Lune n'est pas dirigée suivant le rayon vecteur LT : ce n'est plus rigoureusement une force centrale : elle a une petite composante tangentiellc qui va troubler le mouvement orbital de la Lune. Cette composante tangentielle, dirigée dans le sens même du mouvement de la Lune sur son orbite produira évidemment un effet inverse de celui d'une résistance de milieu, cette dernière étant une force tangentielle dirigée à l'opposé du mouvement orbital de la Lune. Il y aura donc augmentation du grand axe de l'orbite lunaire et, conséquemment. diminution de la vitesse angulaire de révolution.

Cette augmentation du grand axe de l'orbite lunaire pouvait encore se prévoir autrement. L'efTet de freinage des marées est de diminuer la vitesse angulaire de la Terre et par suite son moment de rotation. D'autre part, le moment de rotation total du système Terre-Lune doit rester constant. Donc le moment de rotation dû au mouvement orbital de la Lune doit augmenter, c'est-à-dire que la distance de la Lune à la Terre doit s'accroître.

Nous prévoyons donc dès maintenant et sans calculs que les deux principaux effets du frottement des marées sont la diminution de la rotation terrestre et l'augmentation corrélative de la distance de la Lune. En d'autres termes, la durée du jour augmentera, ainsi que celle du mois.

95. Pour expliquer l'accélération séculaire du moyen mouvement de la Lune dont la gravitation, comme on le sait, ne paraît pas rendre entièrement compte, Dela.unay avait déjà proposé d'admettre une augmentation de la durée du jour sidéral, due précisément à l'action du frottement des marées sur le fond des océans. Dans celte livpothèse, l'accélération séculaire de la Lune ne serait pas réelle; ce

'Il Ici, la Lune L est regardée, pour simplifier, comme un simple point matériel sans dimensions.

TIIl':ORlE DE SIR G. II. I)\RW1X l33

ne serait qu'une apparence due à ce que notre unité de lem[)s, le jour sidéral, augnienlerait peu à peu. Bien plus, l'cITct des marées, loin de produire réellement une accélération du moyen mouvement de la Lune, augmenterait au contraire la distance de cet astre à la Terre et sa période de révolution, comme nous venons de le remarquer. ?}'est-il pas à craindre alors que ce retard effectif ne l'emporte sur l'accélération apparente? Pour répondre à cette objection, Delaunvy soutenait que le coefficient du relard imprimé à la Lune est moindre que celui du relard de la rotation de la Terre, ce qui se trouve être exact, semble-t-il. Mais, si l'on ne lient compte que du frottement des océans actuels sur leur fond, reffel total est tout à fait minime et insignifiant. Il faudrait supposer que l'intérieur du globe terrestre n'est pas rigide, qu'il est plus ou moins visqueux, et que, par conséquent, les marées internes y produisent des frottements intenses.

II. — L'excentricité et l'inclinaison de l'orbite lunaire sont supposées nulles.

96. Quoi qu'il en soit, et pour en revenir au point de vue cosmogonique, on doit supposer, avec Sir G. H. Dauavix, que dans ses élals antérieurs la Terre était fluide et visqueuse. Elle a alors subi des marées dans toute sa masse (bodily iides , et les IVoUernenls dus à ces marées internes étaient incom[)arablement plus énergiques (pie ceux qu'on peut attribuer acluellemcnt aux marées océaniques.

97. Nous nous proposons d'éludier de plus près les \aiialions ([ue subissent, du fait de ces marées, la distance de la Lune el la rotaliou terrestre.

Pour simplifier, nous supposerons tout d'abord que le plan de l'orbite lunaire coïncide avec celui de l'équateur terrestre et que cette orbite est circulaire. Il est bien clair que, par raison de symétrie, l'orbite restera alors indéfiniment dans le plan équatorial. Mais restcra-t-elle toujours circulaire? Montrons qu'il en sera bien ainsi et que, si l'excentricité est initialement nulle, elle le restera toujours. Soient F la force perturbatrice perpendiculaire au rayon vecteur (') et

(') L'ultraclioa II' de la Terre sur la Lune Ji'j. :i.")) se décompose eu : i" nue force centrale presque égale b la forc«e eulièrc el donnant le mouvement képlérien, et 2" une force perlubalrice F perpendiculaire au ravon vecteur.

l34 IIVI'OTIIKSES COSMOGONIQL ES

ds le chemin parcouru par la Lune pendant le temps dt : le travail de la force perturbatrice est

(lï = F Js cos Ot,

OÙ a désigne l'angle de F avec ds. Soit ,lb le moment de rotation : sa dérivée -^r- est égale au moment de la force perturbatrice ; on a donc l'égal i lé

oij /• désigne le rayon vecteur et fj l'angle de F avec la perpendiculaire à ce rayon vecteur.

Dans le cas d'une orbite circulaire, cos a et cos ^> sont tous deux égaux à I, et l'on a

ds ~- rndt,

n étant le moyen mouvement. Nous tirons alors des formules précédentes

(i) dT = ndAl.

Or, f/T est la différentielle de la constante des forces vives ( ):

dT = d(-^^) = ^^?; y 2(1/ 2 a-

et le moment de rotation Ah a pour valeur

.11. = \/Ma(i -~e-):

M désigne la masse de l'ensemble Terre-Lune, aa et e sont le grand axe et l'excentricité de l'orbite lunaire. L'équation (i) s'écrit donc

Mc?a ^ ^j /^ (1 —e')da — ad{e-) ^^' 2\U{\ — e-^)

L'orbite étant supposée circulaire, nous faisons c- =i= o; il \ienl

/ N }\da /rr da , '7. y a ,, ,>

Or, on a

TUÉORIE DE SIR G. H. DARWIN l35

les termes en da se détruisent donc dans l'équation 2 qui donne alors

L'excentricité ne subit donc pas de variation : nulle au début, elle restera nulle.

On pourrait faire ici une objection. Il n'est pas étonnant, dira-t-on, que die-) soit nul, et d'ailleurs cela ne prouve rien ; en effet

d[é-) = 26 de,

et, pour une orbite circulaire, e est nul. Mais il est facile de reconnaître que, dans le calcul ci-dessus de d{e^) (ou pour être plus précis, de sa partie séculaire), nous n'avons négligé que des termes en e-. Donc d{c-) est de l'ordre de e- et de est de l'ordre de e : d est par suite nul pour une orbite circulaire, et l'objection n'a pas de portée.

98. Considérons donc la Lune décrivant autour de la Terre une orbite circulaire dans le plan de l'équateur. Désignons parj la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe, par il la vitesse de révolution de la Lune autour de la Terre, et posons

Nous allons écrire que le moment de rotation du système est constant (principe des aires), et que l'énergie mécanique diminue par suite du frottement (principe de dégradation de l'énergie).

Soit G le moment d'inertie de la Terre autour de son axe. Le moment de rotation de la Terre est Cy et sa demi-force vive est

Tenons compte à présent du mouvement de révolution de la Lune et de la Terre autour de leur centre de gravité commun. Le moment de rotation dû à ce mouvement est proportionnel à x, car il a pour valeur

il est donc proportionnel à \/a qui lui-même est proportionnel à ù ^ , d'après l'équation

l36 HYPOTHÈSES COSMOGONIQLES

et la constante des forces vives ( — --) est proportionnelle à , c'està-dire à -, .

Nous choisirons les unités de façon à simplifier les coefficients de proportionnalité. ?soiis prendrons tout d'abord les unités de masse et de longueur de manière que G = i. Ensuite nous choisirons l'unité de temps de telle sorte que, pour 0 = i, le moment de rotation dn système Terre-Lune dans sa révolution autour de son centre de gravité soit égal à G, c'est-à-dire à i. Alors, le moment de rotation dû au mouvement orbital est non seulement proportionnel, mais égal à X. D'ailleurs, l'équation du viriel (n" 74, p. 91)

at H- V = o,

qui, puisque le mouvement est circulaire, s'écrit ici

nous apprend que l'énergie totale T 4- \ est égale à — T, c'est-àdire à la demi-force vive changée de signe. On en conclut immédiatement qu'avec les unités choisies, la constante des forces vives, pro-

portionnelle a —j r est égaie a 2 •

Pour l'ensemble du système Terre-Lune, nous avons donc le moment de rotation total

et l'énergie totale

2 aa;^

Le moment de rotation reste toujours constant : nous écrivons donc

Quant à l'énergie, elle va constamment en diminuant, absorbée qu'elle est par le frottement qui la transforme en chaleur : si donc nous posons

Y ira toujours en décroissant.

THEORIE DE sm r.. h. dauavin

SI nous remplaçons y par sa valeur h — x tirée de l'équation (3), Y devient fonction de x. Nous obtiendrons ses maxima et ses mininia clY

en annulant

d\ dy ^

dx ^ dx x'^

Annuler , revient donc à écrire dx

x'y= I, ou encore, se rappelant la définition de x,

y = il-

Ainsi, lorsque l'énergie — est maximum ou minimum, la vitesse angulaire de rotation de la Terre est égale à la vitesse angulaire de

révolution de la Lune

fij. 26.

99. Prenons, avec Sir G. H. Daravix, x pour abscisse et y pour ordonnée; et traçons (/?^. 2G) la droite

et la courbe

(Z,) xy=i.

HÏPOTIIKSES COSMOGO.MQCES

Celte courbe, Sir G. 11. D viiavin la nonmie courbe de rufidilc, parce que si le point représentatif {x,y) est sur cette courbe, la durée de rotation de la Terre égale la durée de révolution de la Lune, et l'ensemble Terre Lune tourne d'un seul bloc à la façon d'un corps solide.

Deux cas sont à distinguer suivant la valeur de la constante h. Ou bien la droite (3) coupe la courbe de rigidité (/i) en deux points G et D ; ou bien la droite (3) ne coupe pas la courbe (^i).

Prenons d'abord le premier cas, et étudions Y en fonction de x. Nous avons

Si nous prenons x pour abscisse et V pour ordonnée, cette équation représente nue courbe telle que celle de la figure 27 : les points G' et

D' où \ passe par un maximum et par un minimum correspondent aux mêmes abscisses que les points G et D de la figure 26 situés sur la courbe de rigidité.

Dans le second cas, où la droite (3) ne coupe pas la courbe de rigidité (4), la fonction Y de x ne présente plus ni maximum ni minimum, et la courbe de la figure 27 est remplacée par celle de la figure 28.

Nous pouvons maintenant suivre les changements subis par le système formé par la i)laiiètc et son satellite.

Supposons que l'état initial soit représenté par un point de la droite ABGDE {fi'j- 26) : alors le point représentatif [x, y) restera toujours sur cette droite, mais de telle façon que Y aille toujours en décroissant.

TUfOHIE DE SI 11 (;. II. nviuviN

Si ie point représentatif (a;, y) initial est silucentre A et B ( Juj. ^6), le point {x, \) {jifj. 27) est situé sur la branche A'B' et, puisque Y diminue toujours, il décrit cette branche en allant de A' vers B'. Le point (.r, V) (fig. 26) décrit donc la portion de droite AB en avançant toujours à droite, jusqu'au point B qui représente l'état final. En ce point ou a x — o. c'est-à-dire 12 = x ; autrement dit, le satellite finira par tomber sur la planète. Bemarquons que, dans ce cas, le satellite circule toujours autour de sa planète dans un sens inverse de celui de la rotation de celle-ci [x <C o, y >- o).

fuj. 28.

Nous arriverions à une conclusion analogue — le satellite tomberait finalement sur la planète — si le point représentatif {x, y) initial était situé entre B et C, car alors le point {x, \) {Jig. 27) décrirait la branche de courbe G B" en allant toujours vers B". Cette fois, les deux mouvements de rotation de la planète et de circulation du satellite sont de même sens {x ^ o, r >> o) ; mais puisqu'on a

c'est-à-dire

le mouvement angulaire du sateliile est plus rapide fpie celui de la planète : le mois est plus court que le jour.

Supposons maintenant que le point représentatif (x, y) soit entre C et D {fi(j. 26). Les deux mouvements sont alors directs {x > o, y > o), et le mois est plus long- que le jour (x\y !> i) : c'est le cas

I40 IIÏPOTIIKSES COSMCUOSlQLliS

oilerl par le système Terre-Lune. Alors le point {x, Y) (fig. 27) décrira l'arc CD' en marcliant vers D' puisrpie ^ décroît. L'état final est rei)résenté par le point D de la courhc de rigidité {fi'j- ^6), pour lequel les deux durées de rotation et de révolution sont égales.

Enfin, si le point représentatif (x, y) était situé entre D et E, l'état linal serait encore le point D, puisque le point (x, \ ) (Ji;j- 27) décrirait alors la branche E'D' . Dans ce cas, le mois est toujours plus court que le jour [xy <C i), le mouvement du satellite est toujours direct (x !> o), mais celui de la planète a pu commencer par être rétrograde

Dans le cas où la droite

ne couperait pas la courbe de rigidité, la figure 27 serait remplacée par la figure 28. L'état final serait loujours le point B ou B", ceslà-dire que le satellite finirait toujours par tomber sur la planète.

La plupart des satellites connus correspondent au cas oii les deux mouvements sont de même sens, mais avec le mois plus long que le jour : le point représentatif {x, y) est alors ( //^. 26) entre C et D.

100. iJudions spécialement le système Terre-Lune. Pour ce système, on a les valeurs mmiériques suivantes

et le point représentatif se trouve dans une position telle que P. Ce point se déplace lentement vers le point D qui représente l'état final. Si, au lieu de chercher à prévoir l'avenir, nous remontons dans le passé, nous pouvons dire que le système Terre-Lune est parti de l'état initial représenté par C. Dans cet état initial, le mois égalait le jour et leur durée comnnme était de 5'',3G. La durée du mois et celle du jour se sont mises ensuite à croître, la première plus vite que la seconde, en même temps que la Lune s'éloignait de la Terre. Lorsque l'état final D sera atteint, le mois sera redevenu égal au jour, leur durée commune étant d'environ 55 jours actuels.

Cet état final serait définitif si la Terre et la Lune existaient seules. Mais le Soleil produit aussi sur la terre des marées qui continueront à retarder sa rotation : le jour et le mois continueront donc à croître, quoique lentement, et la Lvme s'éloignera de plus en [)Ius delà Terre, qui pourra finir [)ar perdre son satellite.

TMKORIE DE SIR G. H. DARWIX I^I

Dans IV'lat initial, la durée de révolution de la Lune, 5'',3G, était courte et par suite la distance de cet astre à la Terre était faible : le

calcul montre que cette distance était de 2- rayons terrestres. Donc,

d'après les idées de Sir G. H. Darwin, la Lune aurait pris naissancetout près de la Terre, et son orbite se serait peu à peu élargie et dilatée, ^ous remarquons là un contraste complet avec la théorie de Faye selon laquelle, nous l'avons vu, le satellite se formerait très loin de l'astre central, son orbite se rétrécissant peu à peu à mesure que la masse de l'astre central augmenterait par suite de la condensation.

101. Dans tout ce ([ui précède, nous avons regardé G, moment d'inertie de la Terre, comme constant. Or, la Terre, en se contractant par suite du refroidissement, diminue de volume et G décroît. Nous étudierons un peu plus loin l'effet qui en résulte. Gependant disons dès maintenant que, pour la Terre, cet effet paraît peu important et ne change pas beaucoup l'allure générale des phénomènes.

102. Pour le système Terre-Lune, le point représentatif actuel P (/«</. 26) est assez voisin du point D, puisque x = 3,2 est sensiblement plus grand que y = 0,8. Par conséquent, ce système est relativement assez près de son état final.

Si nous nous occupons maintenant des systèmes formés par les autres planètes et leurs satellites, nous constatons, au contraire, que le

rapport ; se trouve être extrêmement petit. Par conséquent, leur point

représentatif, au lieu d'être voisin du point D, est voisin du point G. Ges systèmes sont donc beaucoup plus près de leur état initial que de leur état fmal. Cela tient à ce que, pour ces systèmes, la masse des satellites est extrêmement faible par rapport à la masse de la planète ; les marées sont donc peu importantes et n'ont pas encore eu le temps de produire un effet considérable.

Pour le système formé par le Soleil et l'ensemble des planètes, la masse des planètes est sans doute fort petite par rapport à celle du Soleil, mais les rayons de gyration sont très grands, et l'on constate

que le rapport \ est aussi très grand. Il semble donc que ce système

doive être très près de son état fmal. Mais cette anirmation ne supporte pas l'examen. Les planètes, en efl'et, produisent sur le Soleil des marées qui retardent sa rotation ; et c'est de ces marées qu'il faut

li|2 IIYPOTIIliSLS COSMOOONIQLRS

tenir compte si l'on clicrclie les variations de la rotation du Soleil. Mais, inversement, le Soleil produit des marées sur les planètes, et ces dernières marées sont beaucoup plus fortes que les premières : leur effet devrait donc s'être produit depuis longtemps, c'est-à-dire que les planètes devraient toujours tourner une même face vers le Soleil, ce qui n'a pas lieu.