III. — Cas général

103. Dans IcYposé qui précède, nous avons, pour simplitier, supposé nulles l'excentricité de l'orbite lunaire et l'inclinaison de cet orbite sur le plan de l'équateur terrestre. Nous allons à présent nous alTrancbir de ces bypotlièses et entrer dans le détail de la théorie de Sir G. 11. Dauamx.

Auparavant, il est nécessaire de rappeler quelques points de la théorie statique des marées (').

Dans cette théorie statique, on suppose que la mer prend à chaque instant sa forme d'équilibre : la surface libre de l'océan est donc une .suil'ace de niveau relativement à la somme des potentiels de la gravité et de l'astre perturbateur qui produit la marée.

Le potentiel de la gravité peut se représenter par

Yo désignant la valeur consianle de ce potentiel au niveau moyen des mers et 'Ç la dénivellation de la particule liquide superficielle envisagée (-).

Le potentiel dû à l'astre perturbateur, nous le désignons par V,. Soient m la masse de l'astre perturbateur L (qui sera, par exemple, la Lune), /• sa distance à un point A de la surface de la mer ijl;/. 29). ?Sous avons

(') Voir M. Levy : Leçons sur la Théorie îles Marées, t. I, cliap. I ; et 11. l'oiscAaiî : Leçons de Mécanique Céleste, t. lil, Théorie des Marées, chap.l et III.

(-') Dans ^ 0 il est tenu compte de la force centrifuge qui provient de la rotation diurne. INous négligeons le potentiel dû à la couche d'eau comprise entre la surlace moyenne et la surface vraie des mers.

TIIIÎORTE DE Sm T.. II. DARWIN l',3

Comme nous rapportons les poials de la mei' ù des axes de coordonnées invariablement liés à la Terre, il faut, pour pouvoir regarder ces axes comme fixes, appliquer à chaque point A les l'orces apparentes dues à leur mouvement. Mais, puisqu'il ne s'agit ici que de l'équilibre, la force centrifuge composée n'intervient pas; il ne reste que la force d'inertie dans le mouvement d'entraînement du point A

avec les axes. La Ibrce provenant de la rotation diurne a déjà été prise en considération dans Vq. Il suffit donc, aux forces réelles, d'ajouter la force d'inertie due à la translation des axes, c'est-à-dire, puisque l'origine est au centre de la Terre, une force accélératrice — J égale et contraire à l'accélération J que l'astre perturbateur tend à imprimer à ce point.

Soient J,, 3,,, J. les composantes rectangulaires de J. A chaque point A, on devra appliquer une force de composantes

comme ces composantes ne dépendent que du temps, et non des coordonnées x, y, z du poiût A, elles peuvent être considérées comme les dérivées partielles de la fonction

(7) — (JjX H- J,,r -f- i-z) = — Jfl cosi'J, a),

en appelant a le ravon mo>en des mers, égal sensiblement à la distance du point A au centre T de la Terre, et en désignant par (J, a) l'angle de J avec le rayon TA. Finalement, en écrivant que la somme des trois expressions (5), (6) et (7) est égale à une constante, nous obtiendrons l'équation de la surface libre des océans rapportée à des axes invariablement liés à la Terre :

(8) Vq — y^ + ^1 — J<^ cos (J, a) = const.

IW

inPOTIIIiSES COSMOr.OMOUE»

Telle est l'équation qui, dans la théorie statique, donne la dénivellation 'Ç. Nous allons la transformer.

104. L'accélération J que la Lune L imprime au centre de la Terre T a pour valeur ^, , et est dirigée suivant la droite TL = o. Donc l'angle (J, a) n'est autre que l'angle désigné par 7 sur la figure 29 (c'est la distance zénithale géocentrique de la Lune), et Ton a

Jo CCS I J , a) = -, cos a.

Comme on a

''■ = a- -+- p- — 2as cos a,

le potentiel Yi dû à la Lune peut s'écrire

{p- -h a- — 2ap cos J:

= — 1 cos 7 -î-

m am a^m 3 cos- j — 1

= \ ^ cos J H T. ,

en négligeant les termes de l'ordre de -^ . Nous écrirons