V. — Hypothèse sur la formation de la Lune

132. Nous avons dit que, d'après Sir G. II. Dahavin, la Lune à sa naissance était très voisine de la Terre. Mais comment la Lune a-t-elle pu naître de la Terre:'

On peut d'abord supposer, restant dans l'ordre d'idées de Laplace, qu'elle s'est formée aux dépens d'un anneau abandonné par la nébuleuse terrestre.

On peut aussi — c'est là une hypothèse proposée par Sir G. H. Dar- \MN — penser que la Terre encore liquide subissait la marée solaire : il est arrivé un moment où la période propre d'oscillation de cette masse fluide est devenue égale à la période de la marée solaire. Alors l'anij)litude de la marée s'est exagérée par suite du phénomène de résonnance : l'intumescence est devenue énorme, et une portion de la masse se serait détachée de la Terre, lui formant un satellite.

Mais une autre hypothèse, que nous allons examiner maintenant, est encore admissible.

133. Rappelons ce que nous avons dit relativement aux figures d'équilibre d'une masse fluide homogène soumise à l'attraction mutuelle de ses parties et tournant avec une vitesse angulaire constante o> autour d'un axe ox (n" 47). Nous avons comme figures d'équilibre possibles :

i" Des ellipsoïdes de révolution aplatis, dits ellipsoïdes de Mag- Laurix ;

Tiii'finiE riE srit <;. ii. darwin

1" Des ellipsoïdes à trois axes inégniix, dits ellipsoïdes de Jatoiu.

Reprenant les notations du n° 45, nous appelons a, b, c les trois

demi-axes de l'ellipsoïde qui est une figure d'équilibre, et nous posons

Nous avons vu que s et / sont compris entre o et i, c'est-à-dire que l'axe de rotation est toujours le plus petit axe de l'ellipsoïde, et que dans le plan des .v, /, la courbe lieu du point (.s-, /) représentalif de l'ellipsoïde se compose, à l'intérieur du carré

de la droite OA, et d'une ligne DB {/ï(j. 36). La droite OA correspond

Jifj. 30.

aux ellipsoïdes de MAC-Lvnm. la courbe DB correspond aux ellipsoïdes de JAcruu.

Si l'on examine comment varie la vitesse angulaire o) lorsqu'on chemine sur ces deux portions de courbe, on constate qu'au point A où l'ellipsoïde de Mac-L.\uiu\ est une sphère, la vitesse « est nulle; lorsqu'on décrit la droite AO dans le sens AO, o) croît jusqu'à un certain point E oi'i il est maximum, puis décroît jusqu'en 0 où il s'annule de» nouveau. Si, maintenant, on décrit l'arc DB qui correspond atix ellipsoïdes à axes inégaux, ^) [)art de zéro en D, croît jusqu'en C où il passe par un maximum, puis décroît jusqu'en B où il s'annule. Deux points tels que M et M', symétriques par rapporta OA, représentent le même ellipsoïde de .T uioiii, ayant simplement tourné de 90".

l86 ini'OTriÈsrs nosMOuoMOLEs

Mais ces fii;urcs ellipsoïdales d l'iiuililMe, de MaoLaluiv ou de Jacoiu, ne sont pas les seules possibles pour noire masse lluide homogène animée d'un mouvemenl de rotation : il en existe une inlinité d'autres (') dont nous allons maintenant parler.

134. Uaj)pelon> la délinition desroo/7/o/;/i('c.s- cl/iplitjitcs de res|)ace. Considérons la l'amillc de qnadriques honiol'ocales

Par chaque point de l'espace passent trois de ces surfaces : en eiïet, X, y, : étant donnés, on a pour déterminer /.- une éf|uation du troisième degré, dont les racines sont séparées par les nombres a-, h'-, c-. Appelant o-, y.-, V' ces trois racines, nous aurons

La plus grande racine o- correspond à un ellipsoïde, la racine moyenne a- à un In perboloïde à une nappe, la [)lus petite v" à un liyperboloide à deux nappes.

l\éci[)roquement, si c, 7., v sont donnés, on a trois surfaces se coupant en huit points placés symétriquement, par rapport aux divers plans de coordonnées. Si on ne considère que les points situés dans le trièdre positif des axes de coordonnées, les trois nombres -:, a, v définissent un point et un seul : ce sont les coordonnées elliptiques de l'espace.

Soit K une fonction de 0 qui sera, soit un polynôme en o', soit un tel polynôme multiplié par un, deux ou trois des radicaux

Soient M la mente fonction de 7. et N la incinc fonction de v. M et N ne ditTèrent de R que par le changement de 0' en 'j.- et en v" respectivement.

Le produit IvMN est une fonction de ./■. y, z. Si cette fonction est harmonique, c'est-à-dire si l'on a

,—. -- 70 + x^, KM> = o,

■ ax- av- u:- 1

0) H. PoixiARi'; : Sur Vrqmlibro d\iiu' massr jliiidc (tiium'i' d'un mouvemenl de rolalion {Acla Mathematica, t. Vit, i8'*^5, p. -iScï-^So). Voir aussi II. l^oiNc\t\ii : Figures d'équilibre r/'u;if masse Jhiidc (Lcrons professées à la Sorbonne en 1900).

TIIIJORIE DE SIK (i. II. DARWIN

les fondions H, M, N sont d'ilcs Jonclions de Lamé. On démontre qu'il existe effectivement une infinité de fonctions de Lamé.

Considérons un ellipsoïde E correspondant à une valeur donnée p du paramètre, et définissons une surface 2i coisiiie de l'ellipsoïde E

{fuj. 07) : en chaque point de E nous menons une petite normale PP'

de longueur

en posant

l est une fonction bien déterminée du point quelconque P de l'ellipsoïde E ; M et N sont deux fonctions de Lamé conjuguées; i est une constante très petite.

Le lieu du point P' est une surface Zqui coupe l'ellipsoïde E suivant des lignes de courbure : en effet, le long de l'intersection de ces deux surfaces, on a

c'est-à-dire

M ^ o ou N = o ;

c'est dire que cette intersection est ï-ituée sur un hyperboloïdc

;j. ^ const. ou V ^= const.,

hvperboloïde qui, on le sait, coupe E suivant une ligne de courbure.

iivi'Oi'm:sr:s cosMonoMOLES

135. Hevenons maintenant à nos ellipsoïdes de Mac-T.ai «in et de Jacoiu, ligures (rérjuilibic d'une masse fluide liomogèno en rotation. On peut démontrer qu'il existe une inlinité d'ellipsoïdes de Mac- Lauhin, correspondant à des points \, N,, N2, ..., (') de la droite AO [fuj. 3()j, tels qu'une surface voisine ^idéHnie comme nous venons de le faire soit aussi une figure d'équilibre. De même, il existe une inlinité d'ellipsoïdes de Jacoiu, correspondant à des points IM, M,, iVJ„ ..., M', M',, M'.,, ..., de la courbe DB. tels qu'une surface voisine 2l soit aussi une figure d'équilibre.

136. Parlons maintenant de la slabllilc de nos figures d'équilibre. On démontre que les ellipsoïdes de iMac-Lauiun sont slables de A en C el instables de G en 0 { Jlg. .'56). Pour les ellipsoïdes de Jacobi, il sullit d'examiner la demi-courbe GB : ils sont stables depuis G jusqu'au point M où l'on rencontre pour la première fois une figure 2l, ils sont instables de M en B.

Quant aux figures d'équilibre 1 voisines des ellipsoïdes, on démontre qu'elles sont toutes instables, sauf peut-être une seule, celle qui correspond justement au point M où l'ellipsoïde de Jacobi cesse d'être stable.

137. Gonsidérons alors une masse fluide homogène animée originairement d'un mouvement de rotation et se refroidissant lentement. Si le refroidissement est assez lent, le frottement interne détermine la révolution de l'ensemble dans toutes ses parties avec la même vitesse angulaire. I^e moment de rotation demeurera d'ailleurs constant.

Au début, la densité étant très faible, la ligin-e de la masse est un ellipsoïde de révolution peu diflérent d'une sphère. Le refroidissement aura d'abord pour effet d'augmenter l'aplatissement de l'ellipsoïde qui restera cependant de révolution. Le point représentatif (/?//. 36) décrira la portion df droite AG qui correspond aux ellipsoïdes de Mac- Lalrin, et cela jusqu'en G où les ellipsoïdes de Mac-Laur[\ cessent d'être stables. Le point représentatif ne pouvant pas prendre le chemin GO prendra alors, par exemple, la direction CxM ; l'ellipsoïde deviendra à trois axe inégaux, et cela jusqu'en M où les ellipsoïdes de Jacobi cessent d'être stables. A partir de là, la masse ne peut plus conserver la forme ellipsoïdale puisque celle-ci est devenue instable :

(') Les poinls IN, .Xi, N^, ..., sont tous situés entre C et O.

THIiOUIE DE SIK ti . 11. DAIIWIN

elle |jreadia alors la seule forme [)ossiljle, celle de la surlacc ^ voisine de l'ellipsoïde. Celte surface - iji'j- '^~) présente une ligure piriforme, oflranl comme un étranglement dans la région marquée 3, tandis que les régions 2 et \ tendent à se rentier aux dépens des régions i et 3, comme si la masse cherchait à se diviser en deux masses inégales.

Il est diflîcile d'annoncer ce qui arrivera ensuite. On peut penser que la masse ira en se creusant de plus en plus dans la région 3 el finira par se partager en deux corps isolés.

La figure piritbrme 2l, avons-nous dit, csl penl-èlrc stahie; mais il n'est pas certain qu'elle le soit réellement. Sir G. II. Dahavin a trouvé que cette figure est stable, mais, d'après M. Liapoi noff, elle serait instable. Pour trancher la question il faudrait recommencer le calcul : or, ce calcul est extrêmement pénible.

Si cette figure 2^ est instable, la rupture, la séparation de la masse fluide en deux masses inégales, au lieu d'être progressive, se produirait d'un seul coup et brusquement.

138. Quelles conclusions pouvons-nous tirer, au point de vue cosmogonique, de la discussion précédente!^ 11 est impossible de voir là une origine, même approchée, des planètes : car les planètes n'ont qu'une masse insignifiante relativement à celle du Soleil. Mais Sir G. H. D vRwix estime (') que certains satellites ont pu se former de cette façon aux dépens de leur planète. Cela aurait pu arriver notamment pour le système Terre-Lune dans lequel les deux masses sont comparables, l'une n'étant pas une fraction extrêmement petite de l'autre, La Lune, s'étant ainsi détachée de la Terre, aurait décrit autour d'elle une orbite de très petit rayon; mais, par suite du Iroltement des marées, ce rayon aurait été en augmentant, ainsi qu'il a été expliqué.

On pourrait concevoir de la même façon la formation de certaines étoiles doubles, dont les composantes ont des masses du même ordre de grandeur.

;') Voir l'Adresse de Sir (i. H. Darwix à ^t. II. Poi.\c\ré (Séance de la Société royale astronomique de Londres du 9 février iç)()o), traduite dans E. Lebon : Savants du jour : Henri Poincaué l'aris, Gautllicr-^ illars, 1909', p. 38- 'io.