II. — Chaleur terrestre

155. Exposons les calculs de Lord Kelvin sur le refroidissement de la Terre. Reprenant une hypothèse faite antérieurement par

(') Nous verrons un peu plus loin (n" 163) que la découverte des phénomènes radioactifs fait entrevoir la possibilité d'augmenter de beaucoup cette durée.

PoiJiCAUÉ lit

iivP0Tiii:sr;s cosmohomqles

Poisso>, Loiil Ki;i.vi\ su[)pose que la Teire auiail autrefuis. parcouru des espaces chauds où elle aurait pris, dans toute sa ruasse, une certaine température uniforme, et que, étant arrivée ensuite dans des espaces plus IVoids, elle aurait commencé à se refroidir. C'est ce refroidissement que nous voulons étudier.

Prenons donc une sphère lioiufxjènc dont la température initiale, à l'époque / = o, est uniforme et ])artout égale à \ , et plarons-la dans \\n milieu indéfini à température zéro ('). La sphère va se refroidir par sa surface, celle-ci prenant par hypothèse la même température zéro que le milieu avec lequel elle est en contact.

Gomme le rayon de la sphère terrestre est très grand, nous le supposerons infini. Le problème se ramènera ainsi à celui qu'on désigne souvent, d'après Folkieu, sous le nom de problème du mur iivlcfini se refroidissant par contact : deux milieux 1 et 11 sont séparés par un plan ; le milieu I sera la Terre, le milieu II l'espace céleste et le plan sera le plan du sol. Prenons pour axe des x une perpendiculaire à ce plan séparateur, dirigée vers l'intérieur du milieu I. ce plan séparateur ayant alors lui-même pour équation

Il s'agit de déterminer la température v du milieu I (fonction de x et de / définie pour x '> o et / >• o), sachant que pour / = o cette température est uniforme et égale à Y, et que pour / >> o la température superficielle (pour x =^ o) est v = o.

La fonction v n'est définie que pour oî >> o, mais nous pourrons compléter sa définition pour x <C o, en convenant de prendre pour u une fonction impaire de x

alors la fonction v (si elle est continue) s'annulera bien pour x =^ o, comme nous le voulons.

L'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait v est celle de FouuiEii

dv ■ d-v

dJ~ dx^ '

i'j C'est-à-dire que nous prenons pour zéro des tcnipéralurcs la tempcralure du milieu su[)posée uniforme et constante.

SLR L OlUGIXE DE L\ ClIALEL'Il SOLAIRE ET DE LA CHALEUR TERUESTHE 21 I

OÙ A: est une constante positive (dépendant de la conductibilité du mur et de sa chaleur spécifique).

Considérons la fonction

dv dx

Cette fonction satisfera évidemment à la même équation aux dérivées partielles

, , du , d~u

^'^ -di = ''.E^-

Comme, pour l = o, on a

V = V pour ce >> o, y = — V pour X <^ o;

la fonction ii satisfera, pour / =o, aux conditions initiales suivantes :

pour X >. 0,

pour ce <; o,

pour x- = o.

Il faut donc trouver une fonction u, de x et de t, qui satisfasse à l'équation (2) et qui, pour / tendant vers o, tende elle-même vers o quel que soit x, sauf pour x = o, valeur pour laquelle elle tend vers l'infini. Il est facile de voir que la fonction

satisfait à toutes ces conditions, A étant une constante. On aura alors

udx = A \ e ''^'(/x

Pour déterminer la constante A, nous écrivons que, pour x = -i- y^ . le refroidissement ne s'est pas encore fait sentir et que la température est égale à V :

lIVPOTHIiSES COSMOGOMQLTS

l'intégrale définie du second membre, qui est bien connue, a pour valeur

(/^ = s/rM ;

par conséquent la constante A a pour valeur La température v a donc pour expression