La quantité

représente l'inverse du degré fjcolhenni(juc : le degré géothermique est la quantité dont il faut s'enl'oncer à l'intérieur du sol pour voir croître la température de i°. La valeur de cette quantité pour x = o est

'dv\ A

Or, pour X ^= o, c'est-à-dire à la surface du sol, nous connaissons le degré géothermique : il est, en moyenne, égal à 35 mètres environ. Nous connaissons aussi la valeur de A-, qui dépend de la chaleur spécifique et de la conductibilité thermique du sol. Mais nous ignorons la valeur de V et celle de /.

La valeur que Lord Kelvin adopte pour A* correspond à

si l'on prend pour unité de temps l'année et pour unité de longueur le mètre. Il vient donc

Iv \ V

SLU L ORIGINE DE LA CIIAI.ELn SOLAIRE ET DE LA CHALELR TERRESTRE 2l3

Faisant

di< \ i

nous aurons

V = ^ ,'t soit ^^ v'/.

La lenipéralure unilornie A à laquelle on doit supposer que la Terre a été initialement chaull'ée, est donc proportionnelle à la racine carrée du temps / depuis lequel elle se refroidit. Si nous faisons

t = loooo années, nous aurons

V = 30*' cliifîre évidemment trop faible. Si nous faisons i = locoooooo d'années, nous aurons

V = Sooo",

température supérieure à la température de fusion de presque tous les corps. On peut penser que les parties profondes de la Terre n'ont pas une température supérieure à celle-là. Dans cette liYpotlicse, la Terre aurait donc commencé à se refroidir il y a cent millions d'années.

157. Examinons les objections qui pourraient être faites à la théorie précédente, ?Sous avons (n" 155) remplacé la sphère terrestre par le mur plan indéfini. Cette simplification est-elle légitime? La formule

(3) montre qu a chaque époque /, le gradient ,- de la température est

proportionnel au facteur

(en adoptant pour /.• la valeur correspondant à celle que lui attribue Lord Kelvin). Faisons

l = lO'^

soit I milliard d'années; à quelle profondeur x faudra-t-il s'enfoncer pour que ce facteur devienne égal à e"'" (c'est-à-dire pour que le gra-

2 la IIYI'OTIIKSES (:OSM(JG0MQ( ES

dienl devienne pratiquement nnl):> Pour calculer cotte profondeur il faudra écrire

ce qui donne x- de l'ordre de lo'- et x de Tordre de lo''. 11 faudra donc descendre à i million de mètres, soit à jooo kilomètres

ou à ,; à peine du rayon terrestre. L'influence de la courbure n'est

donc pas très grande et l'assimilation de la s|)lière au mur plan esl assez légitime.

158. Mais d'autres objections auraient plus de portée, ^ous avons supposé que la sphère terrestre est partie d'une température uniforme et que le refroidissement a commencé brusquement, la superficie prenant immédiatement et conservant la température zéro du milieu froid dans lequel la sphère arrivait. Actuellement, le refroidissement n'aurait l)as encore gagné les parties centrales de la Terre, qui auraient conservé leur température initiale.

On pourrait, au contraire, pour se rapprocher d'un autre problème classique de la théorie analytique de la chaleur, supposer que la sphère est partie d'une distribution initiale quelconque des températures, et qu'elle s'est trouvée plongée dans un milieu à température zéro. On sait qu'alors la température i', à une époque quelconque l, peut se représenter par une série de la forme

u = c,e Mj, 4- c./. - U, + ... --r- c„e U„ -+- ....

les a étant des constantes positives de [)lus on plus grandes; les U étant des fonctions dépendant des coordonnées x, y, z du point envisagé, mais ne dépendant pas du temps / ; les c étant des coellicients constants dépendant de l'état initial. Les exponentielles décroissent très rapidement quand / augmente, et, au bout d'un certain temps, la seule exponentielle non tout à fait évanouie est la première, celle qui correspond au plus petit dos nombres a. Le premier terme

représente donc l'état pcnullirnie de la sphère, étal auquel elle arrive assez vite el que nous [>ouvons par suite supposer atteint actuellemonl.

SLR l'origine de LA CHALEUR SOLAIRE ET DE LA CHALEUR TERRESTRE 2 1 i;

Dans le cas actuel, qui est celui de la sphère, ce premier terme

se calcule facilement : la fonction U, ne dépend que de la distance r au centre de la sphère. L'équalion aux dérivées partielles de Foliueu

s'écrit alors, u ne dépendant que de /•,

dv , /(/-y 2 dv

dt ' \(//-- /■ dr

Nous avons, pour celte équation, la solution suivante

,, X i- — ïi sin Àr

(4J V = Ive -^c ,

les constantes a et ). étant liées par la relation

Pour déterminer }. nous écrirons, en admettant toujours que le refroidissement se fait par contact, que la superficie de la sphère est à la température zéro. Par suite, en appelant II le rayon de la sphère, on doit avoir

sin XR = o.

Prenant donc

ÀR = -

nous ohticndrons la plus petite valeur de a

L'état pénultième de la s[)hère est alors donné par la formule ('i). Nous en déduisons, pour le gradient de la température à la surface (pour /• = R),

f/l>\ jr —OLt X cos )>R , — aM

2l6 IIYPOTIIKSES COS.MOGONIQUES

d'où

,. ,. /dv\ 2'

Remplaçant — (-"j par ^^ (inverse du degré géothermique) et R par 6.10" (rayon terrestre), il vient ,. ^ G. 10'' .

Quelle est la température au centre de la sphère terrestre ;' Nous obtiendrons cette température en faisant /• ^= o dans la formule (4) "•

Si, dans cette formule, nous faisions t = o, nous trouverions pour la température initiale au centre

mais observons que la formule précédente n'est valable que pour l'état pénultième et nullement pour les états voisins de l'état initial. La rapidité de décroissement de la température avec le temps est mesurée par le coefficient

a = k îyr, = 40

l\2 — ^" (6. io«)-2 environ; l'exponentielle décroissante est donc

Ainsi, au bout de 100 milliards d'années la température aura décru dans le rapport de e k i.

Nous nous trouvons donc dans des conditions très différentes de celles où nous étions précédemment (n" 156 . C'est que des hypothèses différentes ont été faites : ici nous supposons que le refroidissement s'effectue depuis longtemps et que l'état pénultième, quasi-

Sun L OIUGIJiE DE LA CIIALELR SOLAIIIE TT l>E LV ClIALELK TElinESTRE 21 7

stationnai le, est atteint; là, au contraire, nous supposions avec Lord Kelvin, que la Terre était partie d'un état initial où la température était uniforme, et que le refroidissement n'avait pas encore eu le temps de gagner le centre. L'une des deux liypotlièses n'est pas plus invraisemblable que l'autre.

159. - — Jusqu'ici nous avons toujours admis que le refroidissement se faisait par contact, c'est-à-dire que la Terre arrivant dans un milieu à température zéro, sa superlicie prenait immédiatement et conservait la température zéro de ce milieu. Ce n'est pas ainsi que les choses se passent et en réalité le refroidissement se fait plutôt par rayonnement : la surface de la Terre ne prend pas la température zéro du milieu environnant, mais elle perd par unité de temps une quantité de chaleur proportionnelle à l'excès i' de la température de sa superficie sur celle du milieu ambiant. Ce flux de chaleur perdue

étant lui-même proportionnel à la dérivée normale i- de la température, la condition qui doit maintenant être remplie à la surface est

du ,

,- =:: /il',

h étant une constante. Dans cette nouvelle livpolhèse, la superficie n'étant pas à la température zéro, mais à une température supérieure, le refroidissement se fera plus lentement que dans l'ancienne hypothèse.

160. Dans tous les cas, c'est par sa surface que la Terre se refroidit. La croûte superficielle, l'écorce terrestre, se contracte et doit bientôt, semble- t-il, devenir trop petite pour le noyau qu'elle enveloppe. Des fentes devraient donc s'y produire, semblables à celles qui, d'après MM. LoEAA V et Pliseux, existent à la surface de la Lune. Or. ce sont au contraire des couches plissées que les géologues observent dans les régions tourmentées. On est donc porté à croire que la croûte est devenue trop large pour le noyau qu'elle recouvre, et que c'est le noyau qui se contracte plutôt que l'écorce.

Il ne faudrait pas dire : la croûte superficielle recevant de la chaleur du Soleil et le noyau n'en recevant pas, c'est le noyau qui doit se refroidir et non la croule superficielle. Ce raisonnement serait défectueux, car c'est toujours par la superficie que la chaleur s'échappe.

HYI'OTIIIiSrS COS^IOOO>"fOt'ES

et les couches internes n'auraient aucune raison de se refroidir si les couclies externes ne l'avaient pas fait avant elles.

161. M. l\uDZK.i a calculé (') quelle est la quantité de chaleur perdue par la Terre dans son refroidissement. Soient (l le degré géothermique (égal à 35 mètres ou 3 3oo centimètres) et A: la conductibilité des roches qui forment la surface de la Terre (on a A' = o,oo58'2 en unités C. G. S., d'a[)rcs Lord Kei,yi>). Le llux de chaleur perdu

h par seconde et par centimètre carre étant p , on a

^ = -„ r — calories-srammes,

soit une perte de 02 calories-grammes par centimètre carré et par an. M. RuDZKi cherche aussi (-) à se rendre compte de combien le rayon terrestre se raccourcit par suite de la contraction due au refroidissement. Soient a le coefficient de dilatation linéaire de la Terre, 3 IJ. son coefficient de dilatation cubique et T la température d'un élément de volume fh. Dans le temps r)t, cet élément (h voit son volume varier de

.. dT

^^' dt '^'^''

Par conséquent la variation de volume r)\' de la Terre est

l'intégrale étant étendue à tout le volume de la Terre. La température T satisfait à l'équation de Fouhier

dT . ™

dt-''^^-

Si l'on admet que u. et a sont des constantes, il vient c\ = 3rAan m AT (h

Sol lia l \ -, (h :

(•) D'' M. I^. RuDzivi : Phjsik der Erde (Tauclinitz, Leipzig, içiii 1, p. 118. (-) Rldzivi : Loc. cit., p. ai5-3i7.

SUIl L'oitKilNE DE LA CHALELR SOI.MUE ET DE LA CIlALECn TERRESTRE 21^

rlT

or y- est (au signe près) l'Inverse du degré géothermique ; donc

o\ =^ — Soi a a j T^ = — S'Aaa —ç— ,

R désignant le rayon terrestre.

Mais d'autre part, on a évidemment

On trouve donc, en égalant ces deux valeurs de âY, oR 3[xa

En remplarant u. et a par les valeurs numériques qui conviennent en moyenne aux roches terrestres, on trouve

oR , .

-iv— = — 0,004 environ ; ot

le rayon terresLre se raccourcirait donc de 4 millièmes de centimètre par an.

Ce calcul suppose que a et a sont des constantes. 11 n'en est certainement pas ainsi dans la réalité, surtout pour a qui dépend de la chaleur spécifique. Nous avons exposé plus haut comment le coelTicient de dilatation et la chaleur spécifique doivent dépendre de la pression qui est énorme dans les parties centrales.

Certains plis montagneux donnent une idée du rétrécissement de la croûte terrestre et par suite de la diminution du rayon. Comparant les résultats de ses calculs et les résultats donnés par l'observation de ces plis, M. Rldzki croit pouvoir conclure que la Terre se rel'roidirait depuis 3 milliards d'aïuiées.

162. D'autres méthodes ont été proposées pour évaluer l'Age de la Terre.

a) La salure de la mer doit augmenter peu à peu, puisque l'eau qui s'évapore à sa surface est pure, tandis que l'eau que lui apportent les fleuves contient en solution des sels qui ont été dissous dans leur trajet. Evaluant la quantité de sel dont la mer s'enrichit ainsi par an, M. Joi.v a calculé qu'elle a dû mettre loo millions d'années à atteindre son état de salure actuel.

2 20 inPOTllliSES (;OSMO(;OMQLES

b) Depuis l'époque cambricnne il a pu se déposer .'3oooo mètres de sédiments; or, comme, d'a[)rès les géologues, la formation d'un mètre de sédiment exige de 3 ooo à 20000 années, il se serait donc écoulé de 90 millions à Goo millions d'années depuis l'époque cambriennc.

(') L'uranium dégage de l'hélium avec une rapidité connue. Mesurant donc la quantité d'hélium contenue dans les roches uranifères, on en a déduit que ces roches pouvaient avoir 'luo millions d'années d'existence.

(/) Le radium émet constamment de la chaleur en se transformant en émanation : d'après Curie, i gramme de radium émet 100 petites calories par heure. iN 'est-il pas permis de voir là l'origine de ce flux de chaleur que révèle le degré géothermique? Les roches granitiques renferment une fraction de radium qu'on a évaluée à 4- io~'- de leur masse totale. Si l'on admettait que toute la Terre possède autant de radium, on aurait ~'\ fois trop de chaleur pour réparer la perle de chaleur due au refroidissement. C'est ])Ourquoi on a proposé, pour rétablir l'équilibre, d'admettre que le radium n'existe que jusqu'à une profondeur de 72 kilomètres.

Il est vrai que le radium ne dure pas très longtemps : en l'espace de 1 200 à I goo ans il est presque com[)lètement détruit. On a admis alors que le radium n'est qu'un produit de transformation de l'uranium qui, lui, ne se transforme que très lentement.

163. Les considérations précédentes ont été étendues au Soleil et l'on a proposé d'admettre que l'énergie qu'il rayonne est d'origine radioactive. On })ourrait augmenter ainsi dans des proportions considérables la quantité d'énergie que le Soleil contient en réserve, et prolonger de beaucoup sa durée, aussi bien dans le passé que dans l'avenir. Malgré ce que cette théorie a d'hypothétique et de prématuré, elle suffît à nous convaincre que les chiffres de Lord Kelvin et de Helmholtz, qui refusent au Soleil un âge supérieur à 5o millions d'années, ne doivent pas être acceptés sans les plus expresses réserves. Un fait entièrement inconnu de IlEi.MnoLT/ sullil pour que son raisonnement perde sa force probante ; il y a sans doute beaucoup d'autres sources ou réservoirs d'éneryie que nous ne pouvons pas plus soupçonner que Hel^uioltz ne soupçonnait le radium.

SLR L ORIGINE DE LA ClIAtELR SOLAIRE ET DE LA CHALELR TERRESTRE