APERÇU SUR LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

S 327. — Kii giioiiiûlrio clciiicatairc, ou [ioliiiuc Podu'.atum d'F.uclidt, cet axiome d'aprùs letjucl on ne peut mener par nn poiut qn'nno senle parallèlo à une droite, On a souvent clicrché à dénaonlrcr cette proposition, puis on s'est apoi-^iu qu'elle ne pouvait pas l'être, n'étant pas une conséquence des autres axiomes de Géométrie. Gc qui suit démontve ce tait, et lait connaître en même temps une interprétation concrète de ia géométrie sans le postulatum d'Euclidc, ou géométrie non euclidimne. Cette théorie dont nous ne donnons qu'un simple aperçu, est due à Klein, géomètre allemand et à Cayky, géomètre anglais.

§ 373. — Nous allons montrer qu'eu atlvibuanl aux mots itr-iilMCment, anfile, distance, un sons diŒérent du sens liabituel, les axiomes de la géométrie autres que le postulat d'EucHde subsistent, mais que celui-ci cesse d'être vrai.

Considérons une surface S homologique d'une sphère, et que nous nomnjerons l'absolu. L'espace sera l'ensemble des points intèriews à l'absolu. Soient A et B deux points, P et Ij les points où AB coupe l'absolu. Nous désignet'ons par la notation A13 le logai ithine du rapport anharmonique (ABPQ).

On a alors AB ^^ — BA, car en cliangcant A en B, le rapport anharmonique est remplacé par son inverse, et son logarithme cliange de signe. On aura de même pour des points en ligne droite AB + BC + CA = 0, car le produit de (ABPQ), (BCPQ), (CÂPQ) est égal à l'unité, son logarithme est donc nui. Ainsi les relations entre les poiuts en ligne di'oite subsistent ici.

LIÎÇONS SOU IJÎS MHÏrHODKS HE LA Gl^^OMÉTRIE MODERNE 233

§ 374, - Une transformation n'altérant pas l'absolu changera P et Q en deux autres points <ie l'absolu, A et B en deux points A' IV. Elle change donc AB en A'B'.

C'est pourquoi uous appoUerons déplacement une pareille fransformation, si elle équivaut à une suite continue de transtoriua lions, ce sera ufte syméti'ie dans le cas contraire.

L'axiome iondaïuen ta 1 do la géométrie « Etant doniièex deux demidroites AX, BY, et un dffiid-plan P passant par AX, un demi^pian Q passant p«c BY, on pewf toujours amener BY sur AX, e-t le demi-plan Q sur ieriemi-ptaïf P H, subsiste avec ic nouveau sens que nous doa' nous ail mot dépliu:cmonf..

§ 375. — Pour (iuo Ali soit inliiii, il laut huc A ou B coïncide avec P ou Q, e'est-à-dirc que A ou B soit sur l'absolu. Vabuolu est donc l'ensemble des points A rinfmi.

§ 376. — Soicul M ut N lieux plans passant par une droite ï> (qui reucoutfe l'absolu). Par D jooiion.s doux plans (imaginaires conjugués) tangents à l'absolu, soient P Q ces plans. Lo logarithme du rapport anharmonique (MNPQ) sera (§ 369) une imaginaire pure déterminée à un multiple de 2 i?? près. Ce logarithme divisé par 2i sera une quantité réelle détevuninée à un œulliple de tj près. Ce sera l'angle des deux plans M et N ; comme on a cos. k, -f- i S'in. r;'-^— /, ji: est l'un des logarithmes de ~ 1 ; donc si les plans MNPQ lorment un laisceau harmonique, angle MN ^^ ^r" ; on dit que les doux plans MN sont rectctnijulaires.

§ 377. — On déliiîira t''i)ifile 'le deu-x droites qvi si- coiipi-iit, comuic il suit : le plan de ces deux droites coupe l'absolu suivant une conique à laquelle par lo point de rencontre des droites, on pourra mener deux tangentes ; en divisant par 2i le logarithme ilu rapport anharinonlque de ces quatre droites, on aura t'anrjle îles deux droitts données.

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1* déplacement n'altère pas l'angle de deux plans ou de deux droites. On le démontre comme pour les segments (§ 373).

On a,commeau§373AOB + BOr: + COAz=K tt, si les trois droites OA OB OC sont dans unmÈraeplan.

Soit une droite qui coupe l'absolu en P et Q ; par un point A on peut mener deux droites AP, AQ parallèles à Ja droite, c'esl-à-dire la rencontrant à l'infini. Le Postulatumd'Euclidc. n'est donc pas t>raiavec nos nouvelles dé^nitions-

§ 378. —La Géométrie Riemanimne est une autre espèce de Goomè trie où l'absolu est la ligure homoiogique d'une sphère imaginaire; les points Pet Q où AB coupe l'absolu étant imaginaires, on appellera distance AB le logarithme de ABPQ divisé par 2i.

La dislance de deux points est alors définie à un multiple de t: près ; elle est égale à l'angle des plans irol^ires de ces points par rapport à l'absolu.

On obtiendrait encore une géométrie d'une autre espèce si l'absolu était «ne surface refilée.

Dans la géométrie euclidienne, l'absolu se réduit à une courlie, le cercle de l'infini.

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