VINGT-SIXII^ME LEÇON
SYSTEMES DE COORDONNEES TETRAÉDRIQUES TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
§ 361. — IJéfmition iks coordonnées tétraédriqiies. — Soient quatre polynômes homogÈnos à quatre variables x y s t. Noua désiguei'ous ces quatre polynômes par XYZT. En les égalant à zéro, on obtient en coordonnées homogÈnos les équations do quatre plans. Je suppose que ces quatre plans ne se coupent pas en un même point ; ils forment alors un tétraèdre nommé tétraèdre de référence. I,a condition qu ces qu itre plans ne f a»S(,nt pas par un même point c tLaiu t analjtiqucmont par celle ci 11 nj a pas entre les quatre polynômes de lolation de la foi me ) \ + u Y ~|- v Z + T = 0, À u, vO Liant des constantes non loules null s En effet, n'étant pas- nul, dan", une pareille iclation tous les i oints pour lesquels T serait nul seiaicnt ceux lour lesquels on auiait 1 X + a Y + ■' Z = 0, or le plan lepiéiicnté pai une tell cqudtion jasse évidemment par le point commun aux (rois X=^o^ =^ o7 -=0 Ainsi une telle idendité e\primeriit que 1 m dts j laiis j isi; j ti 1 point nù se cinqieiit les tiois autres
§ 362, — Si xyst sont les coordonnées homogènes d'un point P non situé dans le plan X — o, le polynôme X ne devient pas nul quand on y substitue les coordonnées de ce point. Le polynôme X où l'on a substitué le coordonnées de P est proportionnel à la distance de P au pian CI 111), De plus il cliange de signe quand P traverse ce plan. La valeur de X quand P est donné, n'est du reste déterminée qu'à un lacteur constant près, car les coordonnées honiogônes de P ne sont déterminées
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■qu'à un iactcur constant prôs. On appellera coordonnée-^ tètraédrtques du point P des qnantitoB proporLionnelles aux résultats obtenus en sul)sti!uantdans X YZTlcs coordoiinoes liomogÈnes du point P.
Les coordonnées t(^lraédri(|ue.s sont ainsi des fonctions linéaires (Poljnôniês du premier degré) des coordonnées homogènes.
Réciproqueiwnt .^ les coordoiuiécs iioniogènca sont (onctions linéaii'es des coordonnées tétraédriquos.
Considérons en elTct une lonction linéaire (homogène) de X Y ZT uX -j- V \ + vr Z -\- h T. Choisissons, ti r, jc h de laçon qne dans ce polynôme les coelïicients doyst soient nuls, UB)ch seront déterminés à un lacteur près par quatre éfiualions à quatre inconanes sans second membre. Le coefficient de a; dans ce polynôme, ne sera pas nul, car alors le polynôme.serait indcntiquenient nul, ce qui ne peut être (§ 3S1). On aura donc a: en fonction linéaire de XYZT, puisque le polynôme obtenu se réduit à x multiplié par une constante non nulle.
On verra de même que y s t, sont lonctions linéaires des coordonnées tétraédriqueg.
Dès lors, si l'on a une équation homogène de degré m on x ij s I, en y remplaçant xy z t par leurs valeurs en X Y Z T, on obtiendra une équation homogène de degré m par rapport à ces variables. Ce sera l'équation d'une surface d'ordre m en coordonnées tétraédriques.
Remarifue. — t est, d'après ce qui précède, une fonction linéaire des coordonnées tétraédriques, Kn égalant à zéro cette lonction, on a l'équation du plan de l'infini.
§ 363. .— Coordonnées d'un point d'une droile. — Les formules (") du § 108 donnent les coordonnées d'un point <jui divise AB dans un rapport donné m. Dans ces formules, remplaçons Xn y, Sn, x, y, s, par -^"" ~f et les valeurs analogues, mettons à la place de m la valeur ), X y^ on voit que les coordonnées homogènes du point seront scs+ ).■ (T, , y„ + > y,, 3„ + Â 3|, („ + X t„ le rapport anharmonique des quatre points A B M N sera égal an rapport des valeurs de ) correspondant aux points M et N.
LEÇONS son LES MKTHODKS Db; L.V GliOMÉrRdî Î1[0I»ERNIE 227
Si nous remplaçons daa^ X, x par j:t> + ^'Ki ^y par j/o + ^!/n etc.,X devient X„ + /. X,. Xj étant ce que devient X quand on y substitue les coordonnées de A ; X,, ce qu'il devient quand on y substitue celles de B. Ainsi les quatre coordonnées tétraédriques de M seront Xo+iX,, Y„4-ÏY,.Zo + >>Z..To +XT,.
^ 364. — Interjection d'une droite el d'une surface. ■— Dans l'éfiuation d'une surface en coordonnées tétraÈdriques remplaçons X Y Z T par Xj + \ X,, etc. Noua aurons comme au § 290 une équation en 1, ■ donnant les valeurs de  qui correspondent aux points oCi AB rencontre la surface.
Suppo^ns que la surface soit du second ordre, cette équation on i. sera du second degré, elle a deux racines 1 et ,". auxquelles correspondent deux points M et N. Comme le rapport anliarmonique (ABMN) est t- '■ fi, pour que A et B soient conjugues par rapport à M etN il faut que -^ z= — 1 ou ). -f- f. = 0. Le coetïicient de > dans l'équatiou du second degré doit donc être nul.
Une équation du deuxième degré homogène à 4 variables contient deux espèces de termes; des carrés tels que AX', des produits tels que 2BXY (nous mettons 2B comme coetïicient pour avoir le tacteur 2 partout dans le coefficient de >.).
Quand on remplace X par Xo -(- À X,, le coelïicienl de l dans AX' esl 2 AX, X,, le coetïicient de ï dans 2BXY est de même 2 B S„ Y, + 2B Y„X,.
On pourra faire la somme des coefiicients de / ainsi calculés, et après avoir supprimé le facteur 2, égaler cette somme à îéro. On obtiendra ainsi la condition pour que A et B soient conjugués par rapport à la surface.
Cette condition est du premier degré par rapport aux coordonnées tétraédriques de A et B ; ceci montre que quand A est fixe, le lieu de B est un plan (plan polaire de A),
On peut cherclier le plan polaire de l'un des quatre sommets du tétraèdre de référence. L'un des sommets est le point oh se coupent
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les trois plans Y ^^ o Z = o T ~ o. Le plan polaire tle ce soiiimct a donc pour équatiou celle qu'on obtient en remplaçant dans l'équalion du plan polaire de A, Yj Z» et T» par zéro.
En formant de celle façon les équations des plans polaires des i^uatre sommets, et clieicliant la condition pour que eiiat|uc sommet ait pour plan polaire la lace opposée, on trouvera le résultat suivant que je me borne à énoncer.
Pour que le tétraèdre de référence soit conjutjué par rapport à une aurfaee du senonid ordre, il fdut et il auffU que l'équation de cette surface ne contienne que des curréa.
§ 365. - Soit « \' + r^ V + V Z- + S T' ^
l'équation d'une surlace du second ordre eonjugttéi- \r,>r riipporl an tétraèdre de rétérenoo. On ne cliangera pas ce tétraèdre en remplaçant X par î»X, Y par qY, Z par rZ T par sT. On remplace ainsi des coordonnées tétraédriques, par d'autres qui se rapportent an même tétraèdre de référence ; alors k est cliangé en p' a, ,5 en q' ^, ■/ en r' ■/, lî en s* 3 si nous choisissons p q rs, de(a(,;on que p' h, q' ,5, )■' -j-, is^H soient égales ù l en valeurs absolues, l'équation de la surface prendra la forme
les coDificients '. y- ■' ,'- étant égaux à 1 en valeur absolue.
Transformations linéaire
§ 366. -— Soient P Q R S quatre polynômes du premier degré homojrènes de XYZT. Si XYZT sont les coordonnées d'un point A, 1' Q R S celles d'un point B, on voit qu'à chaque point A correspond nu point B. On pourra (comme au § 362) trouver X YZ T en fonction du premier degré de P Q R S (sauf le cas où les plans P := 0, Qz^yR^OS — seraient concourants). Dès lors à chaque point
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B correspondra un point A. A ou plan correspondra un plan, car la transformation qui consiste à remplacer P Q R S par des {onctions du premier degré d'X Y Z T n'altère pas le degré.
A une droite iutersection de deux plans correspondra la droite intersection des deux plans correspondants.
Du reste, si l'on considère les deux tétraèdres dont les faces ont pour équations P ~ 0, Q — 0, R = 0, S ~0, et X — Y i^O Z ^ T = 0, le point A (lonl les coordonnées par rapport à ce dernier tétraèdre sont X Y 2 T, a pour coordonnées par rapport au premier, P Q R S, et ces quatre dernières quantités sont aussi les coordonnées de B par rapport an second tétraèdre. Ainsi deux points forre-i>pondantit sont 'Jeux points ayant mime cooMonnéeK tétmèdnques par rapport ri ileva-. lé~ traèdres di/férmits.
g 367, — Soient quatre points en ligue droilo A B M N, en adoptant les notations du § 363, les coordonuées de M et N seront X, + i X, etc. Xj + y.Jf, etc., celles dos points correspondants seront Pn + ^ Pn etc.
l\+,''ï'i etc. Le rapport aniinrmonique (A B M N) sera — , ce sera aus.si le rapport anharmonique des riuatrc points correspondants.
Le rapport anltrinnoulque di quatre points fera donc hj<i\ n relu! de teurs quatre correspondnnt s.
Comme le rapport anharmoniiiiie de quatre plans se ramène eu coupant par une droite à celui de quatre points, la propiisliioii est aussi vraie pour'quatre plans et leurs correspondants.
S 368. — Parmi les irausloraia tiens du premier degré que nous venons de déllnir, nous allons considérer celles qui chamjeiit en elieméme une- certaine surface du deuxième ordre.
Considérons deux tétraèdres conjugués par rapport à une surlace S du deuxième ordre. Par rapport au premier tétraèdre, l'équalion de la surlace a, comme ou l'a vu, la (orm(;
ÂX' + ,aY' + i.Z' +!,T =
yGoosle
Soient PQRS les uoordoiiiiijes d'un poinl par rapport à l'iiutre tétraèdre, ce sonl des fonctions linéaires et horaogènes do X Y Z T.
Soit « P' + ,5 Q' + 7 R' + 5 S= —
l'équation de la surface par rapport au deuxième tétraèdre. D'après ce que nous avons vu (§ 365) on peut supposer que les coefficients des carrés dans ces équations sont égaux à 1 au signe près. De plus, les signes des carrés doivent Être les mêmes dans les deux équations, car si la surface est homologiquo d'une sphère, il y aura trois carrés de même signe, ou quatre si celle sphère est imaginaire; si la surface est réglée, il y aura deux carrés positifs et deux négatifs (§ 133).
Mais alors la transformation définie par les formules X ;^ P, Y := Q, Z:3:R, T^^S transforme évidemment la surface proposée on elle-
§ 369. — Pour former un tétraèdre conjugué, on peut prendre arbitrairement un sommet A, une arête passant par A, coupée en B par le plau polaire de A, une face passant par AB, coupée en C par la droite oonjugùée de AB et le quatrième sommet D est le pùle du plan ABC. A chaque tétraèdre ABCD ainsi formé, correspondent plusieurs translormations n'altérant pas les surfaces, outre celles définies par X ^ P, Y ^ Q, Z — R, T = S, il y a X = P, Y = - Q, Z = - R, T — - S et X=:P, Y = Q, Z = -R, T — - S, etc.'
Ces sortes de transformations présentent le m^)îi« degré d'arbitraire qm celles qui conmtent à déplacer un corps ou le remplacer par son symétrique.
En effet, si nous considérons un trièdre trirectangle lié au corps, on peut placer l'origine où l'on veut, l'axe des x du trièdre suivant une droite arbitraire passant par 0, te plan des x y suivant un plau quelconque passant pas OX ; c'est le même degré d'arbitraire que pour tracer le tétraèdre ci-dessua ; mais en outre, on peut changer la direction OX, la direction OY, la direction OZ, do même que dans les Iransiormations ci-dessus on peut choisir les signes devant P Q R et S. La transïormation qui consiste à changer X en — X sans changer Y Z T, est l'analoguede celle consistant à prendre la symétrique d'une
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figure par rapport au plan y o s; celle qui consiste à changei' les signes de X et de Y est analogue à celle qui consiste à prendre la symétrique d'une ligure par rapport à OZ.
§ 370. — On peut toujours, étant donnés deux tétraèdres conjuguas T et T,, coDsidérer un tétraèdre conjugué variant d'une façon continue de T à T,, il sufQt pour cela de choisir des sommets A, A, An allant de A (sommet de T) à A' sommet de T en formant une suite continue, puis les arêtes A, Bj Aj Bi de la même laçon, puis les laces A, B, C,... de la mémo façon.
On voit alors que l'on pourra remplacer une des translormations qui change T en T par une série de transformations aussi voisines qu'on voudra les une des autres. Soit X =P, Y = Q, Z — R, T — Sunc telle tranformation ; elle est analogue à un déplacement d'un trièdre triroctangle ; la transformation X= — P, Y — Q, Z^R, T^S sera analogue à un déplacement suivi d'une symétrie.
§371. -La tranformation X' = - X, r = -Y, X'=Z,r = r analogue à une symétrie par rapport à o 2, c'est-à-dire a une rotation de 180" équivaut à une suite continue de transformations. En effet, si l'on pose.
X' = X coi^. t ~ Y rin. t Y'— xsw. (-H Yrcs. (■ ■/: — Z, T' = T on voit que pour ! = ou a la ligure sans changcoieut ; pour t^r.. on a X' ^: — X, Y' ^ — Y de plus, on vérifie sans peine ([ue X' -{- Y' ± Z' •+ T' se change en X." + Y'= + Z" + T" et que par suite la surface dont l'équation s'obtient en égalant à zéro cette somme de carrés^ se change en elle-même.
V1NGT-SI^.PÏIKME LlilÇON
