BG+GA
Supposons maintenant les points A B G placés d'une iaçon quelconque sur la droite. On peut, par des permutations ou échangea successifs de deux lettres, passer de l'ordre A B C à un ordre quelconque. On peut donc amener les lettres ABC par des échanges successils dans un ordre, tel que te sens de A vers B et celui de B vers C soient le sens positif. Pour démontrer la proposition d'une façon générale, il suffira donc de taire voir que l'échange de deux lettres la laisse subsister.
Or, si dans l'égalité on échange B et C, on aura:
AG + GB+BA^O ou bien AB + BG+ CA =
mais AG=— CA CB— -BG HA = — AB, on a donc en changeant tous les signes:
CA + BG + AB = L'égalité reste donc vraie quand B et G ont été intervertis. Elle est générale.
§ 3. —Proposition II. — .Si A B C D ... G H K L soiil n poinl m ligne droite, on a, quel que soit l'ordre du ces points : C) AB -1- BG + GD -(- ... -|-GH-|-HK4-Kl- + '-A— 0.
D'après la proposilton I ce théorème est vrai pour 3 points ; je vais faire voir que s'il est vrai pour un certain nombre de points, il est vrai pour un point déplus.
LEÇONS soit LES METHODES DK GKOMKÏHILÎ ^IO[I^.R^'E 5
En effet, supposons le vrai pour les points A B C D ... H K on aura ; Ali + ]ÎC + CD + ... + Glî + IIK + KA =0 mais il est vrai aussi pour les points A K L on a rlouo AK + KL + LA = AjoutOQS membre à membre ces deux égalités en remarquant que KA et AK se détruisent. Il reste précisément l'égalité (') à démontrer. SI donc le théorème est vrai pour 3 points, il est vrai pour 4, puis pour»; et comme par additions successives de l'uni té, on peut atteindre un nombre n quelconque, il est vrai pour n points quel que soit n.
§ 4. — Abryisse d'unpûinl. — Sur la droite indélinie qui nous occupe, prenons un point 0, que nous nommerons l'origine ; prenons un point V quelconque. OP s'appellera l'abcisse du point P. Ce sera un nombre positii ou négatil selon que pour aller de vers P on va dans le sons positif ou en sens inverse.
Le point P est complètement détermini5 quand son abcisse est connue, car le signe de cette abcisse indique de quel c6tê il est par rapport à et sa valeur absolue donne la dislance de P au point 0.
§ 5. — Proposition Ul. — Un segment PQ est égal m grandeur et signe à la différence entre l'abàsse du 2" point Q et l'abcîsse du i" point P .
En effet, d'après la proposition (') ou a;
OP + PQ + QO ^ maisQO==-n!J donc OP + PQ— 0Q = C) c'est-à-dire P^ — OQ — OP fci qu'il fnUait dèmontrerj.
§ G. — l'oint qui divise un segment dans un rapport donné. — Soient P et Qdeus points, x^ l'abcisse OP du point P, x, Pabcisse OQ du point Q. Soit x l'abcisse d'un point M, et m le rapport "j^-
,) LIÎÇONS St:R LES METlIODliS DE GiîOMliTlilE
On a 'prop. UJJ PM — .r — x„ MQ = .r, - .y
oii.r(l+.)0=.f„ + m.r,
La formule (') nous sera utile plus tard. Pour Je momont nous nous bornerons à remarquer que m étant connu, le point M est cutièreinent déterminé, il est entre P et Q si m est positif, car alors PM et MQ Font de mfime signe; dans le cns contraire, il est extérieur au segment PQ. si m — 1 on a a; = -- ' ■ ' -' , le point M est alors le milieu de PQ. si m ^= —1 X est infini puisque le dénominateur est seul, ainsi un point M à i'inlini sur une droite est un point tel que ^ — — 1 ou en remplaçant PM par — MP : ^ ^= \ .
Cette remarqne servira souvent clans la suile.
§ 7. — PnoposrtiON IV, — Etant donnés i poinis A B C D en ligne (Iroitc, nn a toujowa la veialion C) AB X CD + BC X AD = AC X iSD.
En effet ab c d désignant les abcissos respectives des points A li C D ona: AB^&-« C\)^d~c BC — c~b Aï} = fl~-a AC — c—a BD = d~b tout revient donc à démontrer que
C'est là une identité facile à vérifier.
Cliaslea donne dans son Traité de géométrie, un grand nombre d'égalités du même genre; mais comme elles se ramonent toujours à des identités algébriques, elles n'offrent pas un grand intérêt au point de vue géométrique.
Nous allons appliquer les principes qui précédent à la trans- 1 de quelqurs relations concernant des points en ligne droite.
LF,i;OSS SVW LES MICTHODES DE GliOMIiTIlli:; MODEnNE
On dit que doux points C et D sont coi porl à deux autres A et li si l'on a :
pREMiicRE PnopniKTiï. — Si C fit D sont conpifiuén par rapport à A ef B, A et D sont conjugués par rapport d C et D,
Fin citct la proporlîon (^ '— ~ ûïj r*^"*^ s'Ocrirc on cliangcaiit
la place des oslrèmes ot des niovens : pV ^~ pii ' ""^ P^'" ^'^
cbangement de signe des 4 termes, — ? ^: ---
Or, colto dernière égalité diffère de la première par l'interversion {loB lellres A et C et celle des lettres B et D, elle exprime donc que A et li sont conjugués par rapport à C et D.
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