OC = - OA - OC

5 10. - ïni

vaut à:

relation -,'.'.,■ =: -

AC ~ Ali

en ciïet on a CB — - AB — AC DR = AB donc la relation C) peut s'écrire -rr, -^

- AD fPropoùtlon IIIJ.

CÇONS BUIl LKS MliTUODES DE CEOMETRiE MODlillfiE Alî , , A It

" OU encore --j^ =^ l -\- --■ — lz=0

AU , ATI 2 1 1 1

"" '^ = ÂG + Xd ''^ A-il == AC + aT)'

Quatrième Propriété. — Quand ie point ïi va â l'infini, le point C Oent au milieu de AB.

En effet la relation {') peut s'écrire OC — -^- Ou voit ciuc si OD grandit indéQniment, OC tend vers /.liio. G vient donc coïncider avec le point 0, milieu de AB;

§ 11, ~ On dit que quatre points A B C D ont un l'apport anharmu-

nique égal à m lorsque

TA . IXA eu ■ DK ~"'

On voit que si m = — 1 on a la relation ('), qui exprime que C et D sont conjugués par rapport à A et B, ou que A et I! sont conjugués par rapport à C et D.

§ 12. — PnEJïiiiRE PROPHiÉrâ. — Le rapport a/tihaïuionique ABCD ne Khamje pas quand on inteitiei'tit deux des points, pourvu qu'on intervertisse en même temps les deux autres.

Ainsi (ABCD) — (CDAB) = (BADC) = (DCBA).

En effet on a :

(ABCD) — eu ■ Dli ~ DA ■ 1)11 - AD ■ liO -(^"^li) iee autres égalités se démontrent de la môma façon.

S 13. — DËUxiiiMEPROPHUîTi!. — Eninfertiertissantt'ordredespoints, on peut former 6 rapports anharmoniques distincls: ils s'expriment tous au moyen de l'un d'entre eux.

En effet, on sait que quatre lettres ABCD peuvent être rangées de

LEÇONS SUR LES METHODKS VU. GEOMKTKIE MODEimn 9

24 façoDs diDérentes, cela fait 'Hi rapports an harmoniques, qui, d'après la propriété précédente, sont égaux quatre à quatre, il n'y en a donc que six de distincts, ce sont ;

(ABCD) (BACD) (CISAD) (DISC.4) (BCAD) (BDCA)

Désignons le pferaier par m on a:

^ : ^ = m le second est ~ : —; c'est-à dire -. le troisième

LIi lili l-iA uA m ,

est : ^ : ^1 ; pour l'évaluer employons l'égalité C) fPropr.lVJ

AB X CD + BC X AD i^ AG XBD divisona-eii les deux membres par AGXBD on aura :