CD . AD . ÇA . DA
Cli ■ AB ^ ~ CB ■ DIS ~ le rapport cherché est d'onc égal à 1 —m appelons le v Le 5"= rapport est évidemment— ou— ^^— {de la même iaçon que 1 second est —) le 6"° est — ou - , ,
six rapports sont 1 1
1 — m 1 — - ■ et
on peut les accoupler deux à deux de façon que leur produit soit é; à 1 ou de laçon que leur somme soit égale à I, ou de façon t[ue somme de leurs inverses soit égale â 1.
10 LCÇONS SUO LF.S MKTlIODIiJi 1)1': GUOMIÎÏRIE MOnERNE
■^ 14, — Troisième PnopHiiôTii. — Soient abc cl les abcisses des quatre points « ? 7 3 quatre variables qui se déduiscut de a b C rf
respectivement, par uiift traasfontiatiou de la forme x = -j —-,
P i + Il c'est-à-dire que :
" pf-^ q ^ P 7 + '/ i'7 + <1 ]) 3 4- 5'
en supposant que m7 — np soit difiiircnt do zijro, lo rapport anharmonique ^ . ,--,-, qm est e.^al a ^ --.„--,-, esl aus., égal <1
La dûmonstration est iaeilo à (aire: on a li'aliovd ;
onadenr.me:b-.-^^!^|^:-^^'^^l
parsuile;^"^':z^^^=^^X ^-^-^^ de même : "—-^ = "—^ x ^'^-"'^'' et par suite, on divîsaat membre à membre
ce qui démontre la proposition.
Voici une des nombreuses applications de cette propriété. Soit s la droite deux points P et Q d'abcisses p et q, et soit « lo rapport -. p le rapport ^j y ie rapport ^, 3 le rapport gj-. On a :
Ce théorème est donc applicable Ici et donne pour le rapport anliani
a — 7 . ^ — 7 ni'iue des quatre poinls l'rxpression ^ ^-- , -jr^-j.
LEI;ONS SDR LES SIETIIOLES DE GEOMETRIE MODKRNK 11
De mime si nous appi^liiiis '^ non pas le rapport ---- mais le rappoit ^ . j,^ (It elant un aulre point fixe) et ,^ =. ^-^ . j^-^etc, nous nunon. encore la même cspreasion pour le rapport anharmonique.
§ 15.— En terminant cette leçoo, j'indiquerai une locution qui, dans la suite, nous sera très commode. Au lieu de dire que plusieurs droitos sont paralièles, nous dirons qu'elles concourent en un mÈme point ii l'infini. Cela est permis parce que deux droites parallèles à une S" étant parallèles entre elles, on peut dire que deux droites ayant un point commun à rinfini aveu une 3"' ont ce point commun entre elles- On regarde ainsi un point à l'inQui comme étant une direction de droite, .loindre un point A à un point à l'inlini, c'est mener par A une parallèle à une direction donnée. Deux plans parallÈlea devront alors Être regardés comme se coupant suivant une droite à l'infini. Donner une droite à l'infini, c'est donner une direction de plan.
A l'aide de ce.s locutions, on peut dire que deus droites dans un mémo plan se coupent toujours, qu'une droite et un plan se coupent toujours. Cela simplifie les démonstrations, car ayant examiné le cas oii plusieurs droites concourent, nous n'avons pas à examiner celui où elles seraient parallèles.
DEUXIKME LEÇON
Théorèmes relatifs à la projectivité du rapport anharmonique
§ 16. — Ce qu'on jiomine projectivité du rapport anharmonique consiste dans la propositionsnùisnte, l'une iks plus inifioridnlus de la néométiie modeiiie:
Si l'on coupe par une droite D un laisccau de quatre droites passant par un mûtne point S, le rapport anharmonique des quatre points A B C D où la droite D rencontre ces quatre droites, reste constant quand on déplace la droite D.
Voici une première di! mous t ration très simple de cette proposition.
Menons par le point B une parallèle n AS qui coupe SC en G,, SD en D,.
He la similitude des triangles SCA, BC,C, on déduit: Q]^^c,Ii' Delà même similitude des triangles SDA BD,D on déduit de môme : et par conséquent, en divisant membre ù membre les deux
