FONCTIONS DE GREEN ET LEIRS APPLICATIONS

considérer la fonction

Un("o) — 7» yjniyx ') U „ ( Vi )

^n(yn) I

Ui(ri)

où u, est une solution analytique en À et continue en {Xi'^j de l'équation L(m) ^ r, et^, , . . . . y^ sont des fonctions anal jtiques en A et continues en (x^'k) qui forment un système fondamental de l'équation L(a) = o. Quand a n'est pas un nombre caractéristique, la fonction (8), qui est analytique en /. et continue en (j;, X), satisfait au système ('7). Puisque le système (7) n'a dans ce cas qu'une solution unique, notre démonstration est achevée.

Il s'ensuit que la série de puissances que l'on obtient en appliquant la méthode des approximations successives au système (6) converçera dans tout cercle décrit autour du point A =: o comme centre et ne contenant aucun point qui correspond à un nombre caractéristique. Ce résultat peut aussi s'énoncer sous cette autre forme :

La méthode des approximations successives, comme nous l'avons appliquée au système (i). convergera si le système auxiliaire (6) n'a aucun nombre caractéristique dont le module est plus petit que I ou égal à 1 .

Prenons comme exemple le cas ou tous les coefficients dans les U] sont zéro ainsi que tous les coefficients de m (6),

u'{b), u^'^ib) dans les U^. Le système (6) possède alors

pour toutes les valeurs de a une solution et une seule. Donc dans ce cas la méthode des approximations successives appliquée au système (1) convergera.

Revenons maintenant au système (7) et à sa solution (8). Soit A, un nombre caractéristique de (7), c'est-à-dire une valeur de A pour laquelle le dénominateur de (8) s'évanouit. Ce point sera, en général, un pôle de la fonction (8), pôle dont l'ordre ne peut être plus élevé que la multiplicité du nombre caractéristique X, . Si la

Il6 CHAPITRE V.

fonction (8) n'a pas de pôle au point À,, elle sera encore pour cette valeur de A solution du système (7), et nous aurons devant nous le cas exceptionnel, considéré à la fin du paragraphe 9, où, même pour un nombre caractéristique, le système non homogène (7) a une solution. Ces remarques donnent le résultat suivant quand on les applique au système (6) :

La méthode des approximations successives, appliquée comme nous l'avons lait au système (i) ne convergera pas si le système auxiliaire (6) a un nombre caractéristique de module plus petit que I pour lequel le sy.stème (6) n'a pas de solution.

Considérons maintenant le cas d'un nombre caractéristique dont la multiplicité et l'indice ont la même valeur k. C'est un cas particulier très important qui se présentera, par exemple, toujours pour les nombres caractéristiques de multiplité i (voir § il). Si pour )v =: À, le système (7) a une solution, le rang du système

/U,(ao)-Ti tj'i(7i) U,(72) ... U, (jK,,)\ <9) (

sera pour X = À( égal à n — A", comme le sera aussi le rang du déterminant au dénominateur de (8) (voir § 5). Il s'ensuit que tous les déterminants d'ordre n du système (9) auront pour A = X, des zéros d'ordres au moins égaux à A", comme on le voit en formant les dérivées successives de ces déterminants par rapport à X. Puisque le dénominateur de (8) a par hypothèse un zéro d'ordre A au point À = ).,, on voit que dans le cas actuel la fonction (8) n'a pas de pôle en ce point.

En appliquant ce résultat au système (6), nous obtenons le théorème suivant :

« La méthode des approximations successives, comme nous l'avons applic|ué au système (1), convergera même si le système auxiliaire (6j a des nombres caractéristiques dont le module est 5 I pourvu que pour chacun de ces nombres caractéristiques : i" le système (6) ait une solution, et 2° l'indice soit égal à la multiplicité. »

C'est une généralisation d'un résultat très particulier donné par Liouville en i84o [Journal de Mathématiques , t. V, p. 356).