FONCTIONS DE GREEN ET LEURS APPLICATIONS. II

Ces fonctioas sont déterminées d'une façon univoque puisque le système (2) est incompatible. Si l'on écrit

on voit que. pour m ^ 2,

(3) ♦'/n=U',(fm-i)G,(ar)--...-^U;(p^,)G„(x)

L'[r„,,(01G(a:,$)rfe.

On démontre alors, d'une façon tout à fait analogue à celle du paragraphe 1. qu'une solution u du système (i) est donnée par la série

et les dérivées a', m', . . ., u^"~*> par les séries

(.5) p'j* I -H Pj* >-+-... (A- = i,2, ...,n— i),

pourvu que toutes ces séries (4), (5) convergent uniformément dans (a, b). Dans ce cas nous dirons simplement que la méthode des approximations successives convei^e. Cette convergence n'aura pas toujours lieu, même dans le cas où le système (i) a une solution unique. Pour traiter cette question désignons par A le plus grand des maximums des modules des fonctions

Gx-(x), Gi(^), ..., Gr-'(x) (À- = i,2....,n).

Soient S la somme des modules des coeflicients de toutes les expressions L', et ^ix) la somme des modules des coefficients de L'. Désignons enfin par B la constante

B = I.-h f F(x)dx.

On voit alors facilement que toutes les séries (4), f 5) sont absolument et uniformément convergentes si B<:^— • Puisque A ne

dépend que des L et U^ tandis que B dépend seulement des L"

et U], la méthode des approximations successives converçera cer-

fl4 CHAPITRE V.

tainement si, les L' et les U^- étant donnés, les coefficients des L" et des U^' sont de modules assez petits.

Introduisons donc un paramètre X, et considérons le système

où r'-f-r"=r, y|. + y'^ =: y/. Le système (6) se réduit au système (i) quand )^ = i , et, d'autre part, la méthode des approximations successives applrquée au système (6) convergera certainement, d'après ce que nous avons dit, quand le module de ). est assez petit.

Les séries analogues à (4) et (5) que l'on obtient en intégrant le système (6) seront, d'après (3), des séries de puissances en \ pourvu que ai = P) ne dépende pas de )., ce qui aura lieu si la fonction Uçf est assujettie aux conditions

L" (Mo) -t- /•'=: O,

Nous supposerons, dans ce qui suit, que ces équations sont satisfaites. La série de puissances que l'on obtient en intégrant le système (6) par la méthode des approximations successives convergera alors certainement si | )^ | est assez petit. Il s'agit de savoir si elle converge quand X = i .

Envisageons d'abord un système plus général dont (6) n'est qu'un cas particulier:

U/(«) = Yt (t = 1,2, ...,n)

où les coefficients de L(m) et la fonction r sont analytiques en X dans un certain domaine de Weierstrass et continues en (a7,X), les y/ et les coefficients des Uiétant analytiques enX. Nous n'admettrons pas que toutes les valeurs de X dans le domaine de Weierstrass soient des nombres caractéristiques.

Sous ces conditions la solution de (y) sera, sauf pour les valeurs caractéristiques de X, une fonction analytique en X et continue en {x,\). Pour démontrer cette proposition il suffit de