LES THÉORÈMES D'EXISTENCE

1. Théorème fondamental. — Nous aurons souvent, dans ce Cours, à étudier des équations dillerentielles linéaires du second ordre. jNous les écrirons sous la forme

-Piz

dx^- ' da

p. </, I" étiint des tondions de la variable indépendante x.

Avant toutes clioses, il importe d'examiner les conditions «l'existence des solutions de l'équation précédente. A ce point de \ue, nous démontrerons le théorème suivant :

TaKoRKME. — Soit X une variable réelle pomant parcourir l'interKiiUe fermé et fini \^xSB, p, q. r étant des Jonctions continues de cette variable x (qui peuvent être de la forme pi -r- 1/>2. </t -f- iqi, r, -f- ir-t^pt. />2, ^i, q»- 't- f'-i étant des fonctions réelles et continues de x . et i étant le symbole de l'ima-

t ' ; Four la méthode des approximations successives dans la théorie des équations non linéaires, on consultera le Traité d'Analyse de M. Picard. Tome 2. l'our les équations linéaires, voir :

Peano. Malh. Ann., t. XXXII. 1888. p. 45o.

BocHER. Amer. Journ., t. XXIV, 1902, p. 3ii.

2 CllAPlTRIi I.

ginaire) ; soit c une valeur quelconque de rinteri'alle (A. R),

l équation

d^ Il du

admet une solution unique u vèrijiant les conditions

i « (c) = Y, r et Y étant deux constantes données quelconques.

Mous appellerons système différentiel reusemble de l'équation et des conditions précédentes que la solution doit vérifier en c Notre théorème s'énoncera alors :

Tout système dilierentiel linéaire du genre précédent a une solution unique. Nous utiliserons lu méthode d'approximations successives.

Considérons d'abord l'équation particulière

^{x) continue dans (A, B).

En intégrant par parties, on trouve que toute solution de cette équation est donnée par la formule

On peut choisir C et J3 telles que u prenne en c la valeur y et u' la valeur y' : on prendra pour cela G = y' et D = y. La solution obtenue est unique, et notre théorème est vrai pour ce cas particulier.

Si par exemple y = y'=: o, on trouve

u= j' {x-^)^{>^)di, u'=J^ ^a)dl

Envisageons le cas général.

Choisissons une fonction Uo(x) soumise à la seule condition d'être continue et d'avoir une dérivée continue dans (A, B), et soit Ml la solution de l'équation

«" = — Pu'q — quo -H r

LES THEOREMES D EXISTENCE. 3

qui vérifie aussi

Daprès le cas particulier précédent, u, est unique et bien déterminée: ce sera une fonction à dérivée continue dans (A, B^. Nous pourrons donc trouver une fonction u^ telle que

«î = — /)«', —qui~ r [«ï(c) = Y- «Wc> = y'|.

En continuant ce processus indéliniment. nous formerons une suite infinie de fonctions Wo, "i, Mj, — a„. — Nous allons montrer que Un tend vers une fonction limite qui est solution du système différentiel linéaire proposé.

Il revient au même de démontrer que la série

que nous appellerons

*i-+- fî-i-.-.— f„-i-...

est convergente et que sa somme est la solution cherchée.

D'après le processus de formation Un et a„, sont à dérivée continue dans (A. Bj. Donc f„ est aussi continue et à dérivée continue v\^.

Démontrons que les deux séries

sont uniformément convergentes dans (A,B). Nous pouvons partir de ^2- *-2 et v\ étant continues dans (A, B) ont un maximum C pour leurs valeurs absolues

p ex. q étant continues, |/> | H- | y | est une fonction continue admettant un maximum M dans (A, B)

\p\-^\q\%fà.

Soit enfin L la plus grande des deux quantités, i et B — A. Nous allons démontrer que l'on a, quel que soit «,

l^nN CL^-ïM^-îlar — d"-*

pour n = ^i, ces inégalités se réduisent à celles qui nous onl lait choisir C. Supposons qu'elles soient vraies jusqu'à l'indice n — i et démontrons qu'elles sont vraies pour ;/. On a

u'I, = — />//'„, — (J Un 1 -f- r,

Donc, en retranchant,

i>n vérifie donc une équation du ijpe particulier étudié et l'on a de plus

V„(c)= Ua(c)-~ U„ ,{C) = O, l''„(c) = r).

On en conclut que l'on a

Remarquant que \x — H | et i sont ^ L, on a \vn\) /•' GL"- 3iM«-a

En elFectuauL linlé^ration, on obtient l'inégalité à démonlrer. Remarquant uiaintenant que \x — c | << L, on a

La s«''rie dont le leruie };(''ué'ral esl

est é\ idemiuent converj^cnte. quels (jue soieni (], \j. M. Donc les séries (2) et (3) sont uniforuiéuient convergentes dans tout l'intervalle (A, B). On a d'ailleurs remarqué que r,^ comme ii„e\ «„t était continue ainsi que v\^.

Si nous désignons par // la somme ») + (^2+ •••? ^^ lonction 11