LES THEOREMES I> EXISTE^XE

est continu»' ain.>i que sa dérivée a' qui est égale à r', -^ ♦',-!-

Il reste ii démontrer que la fonction u = ^•,-h i'i ^. . . est solution du système différentiel :

i" Tout d'abord, on a

»'i(c) = «i(c » = Y- ''i (c) = Il lie > = y', v„( c) = Un(c) — ii„i(c i=:o et r„(r) = o pour n ^ 2.

Donc

u( c > = y. ft'(c) = y'.

■2" Je dis que // vérifie en tout point de (A. H) l'équation différentielle.

Formons pour cela la fonction — pu' — <yw. Les deux séries u et //' «''tanl convergentes, on a

— pu' — qii = ( — pi-'f — yr,) ■+- ( — /)rl — t/v^t -+-

Mais on u

— P^'n-\ — '/"n-i = »'« pour n 1 3, — pv\ — qvi = vl -!- vl — /•.

Donc

— pi>' — qu = — r — t'", -^ fj -f- . . . .

D'après la façon même dont nous avons combiné les deux séries u et m', il est clair que la série t'-f-t'â-^ ... est uniformément convergente, d'où il suit que n u une dérivée seconde égale ar, + t',— ....

Ce qui permet d'écrire

— pu' — qu = — r — u',

et l'on voit bien que n vérifie l'équation diUérenlielIe.

Il est prouvé que le système difterentiel a une solution u continue et à dérivée continue dans tout l'intervalle (A. Bi.

Cette solution est unique. S'il y en avait deux, leur différence serait solution du système

te

pu-

-qu

et ne sentit pas identiquement nulle.

ClIAlMinK I.

Or ce sjsième, que nous appellerons le système sans second membre ou système homogène correspondant au système proposé, n'u qu'une solution qui est zéro.

En effet, entre deux solutions Ui et a-j de l'équation lioniogène, on établit immédiatement l'identité d'Abel

A' éUmt une certaine constante.

Supposons alors que le système liomoj^ène admette une solution M( non identiquement nulle ; ceci voudrait dire qu'on pouirait trouver un point Ct de x\, B où a, (C)) ^^^ o.

Formons alors une solution u^ de l'équation homogène, et telle

que

u.,(cx) — o, tt'iici) — I.

(^eci est possible.

Formons l'identilii d'Abel avec ces deux solutions a, et u^ ; en y substituant à .x la valeur c, on a

Ut(c) = o, u\ (c) = o.

-Donc ^ = o, c'est-à-dire

ll[ «2 — "2 "1 " "•

Si maintenant on prend x égal à c,, le premier membre se réduit à — M, {c^) qui n'est pas nul. La contradiction est manifeste. Le système homogène n"a donc que la solution zéro.

Donc, le système propose- a une solution unique et bien déterminée.

2. Extensions diverses du théorème fondamental d'existence. — La démonstration que nous avons donnée du théorème d'existence est valable pour a? réel, et âe^ fonctions p{x), q{x), r{x) continues. Mous allons indiquer quelques cas où la démonstration que nous venons de donner s'applique avec assez peu de modifications et qui, ou bien sont plus généraux que le cas précédent, ou bien constituent des applications de la même méthode à de<i questions similaires.

I" Supposons toujours x réel, A <a^<B, supposons que />, q, r