PRINCIPE DE CARNOT-CLAUSIUS DIAGRAMME ENTROPIQUE
Modification réversible. — Avant d'énoncer le principe de Carnot-Clausius, il convient de préciser la notion si délicate de modification réversible.
Prenons un gaz contenu dans un corps de pompe que ferme un piston ; ce piston est chargé d'un poids. Si le poids est assez fort, le piston va s'enfoncer, le gaz sera comprimé ; il recevra de l'extérieur, c'est-à-dire du poids qui charge le piston, un certain travail; une certaine quantité de chaleur sera dégagée. Si, au contraire, le poids qui charge le piston est trop faible, le piston va remonter; le gaz se détendra; il produira du travail; le système absorbera de la chaleur. On peut s'arranger de manière à obtenir le premier groupe de modifications ou le second; mais chercher à placer sur le piston un poids tel que, sans qu'on change rien à ce poids, le piston puisse aussi bien s'abaisser que s'élever; que le gaz puisse également se com-
primer et se détendre ; qu'il puisse y avoir, à volonté, absorption ou dégagement de chaleur, c'est tenter une œuvre chimérique. Un système donné, dans des conditions données, se transforme nécessairement dans un sens déterminé; il ne se transforme pas indifféremment dans un sens ou dans le sens inverse; la modification qu'il éprouve n'est pas réversible. Pris au pied de la lettre, les mots modification réversible sont un non-sens.
Ces mots cependant sont susceptibles de prendre une signification précise, mais par un détour qu'il nous faut suivre.
En chargeant d'un poids convenable le piston qui ferme le corps de pompe, nous pouvons faire que le piston s'enfonce; mettons sur le piston un poids un peu moindre, il s'enfoncera encore; pour que le piston commence à s'enfoncer, il suffit (si nous négligeons les frottements) que la charge surpasse d'une petite quantité, si petite qu'elle soit, le poids que le gaz tiendrait exactement en équilibre. De môme, pour que le piston se relève, il suffit qu'il porte une charge tant soit peu inférieure à celle qui maintiendrait l'équilibre. Nous pouvons donc prendre deux charges qui différeront aussi peu que nous voudrons l'une de l'autre et les choisir cependant de telle sorte que l'une obligera le
piston à s'enfoncer et que l'autre le laissera se relever.
Ceci nous montre que toute suite d'états d'équilibre du système formé du piston et de la masse gazeuse est la limite commune de deux séries de modifications réalisables de sens inverse telles que, dans les unes le piston s élève dans le corps de pompe et que dans les autres il s'abaisse. Cette suite d'états d'équilibre reçoit le nom de modification réversible.
Une modification réversible n'est donc pas une modification; c'est une suite continue d'états d'équilibre, limite commune de deux groupes de modifications réalisables de sens inverses (').
Dire que, d'un état d'équilibre 1 d'un système à un autre état d'équilibre 2 on peut passer par une modification réversible, cela veut dire qu'entre les états 1 et 2 on peut, par une opération purement intellectuelle, ranger une suite continue d'états d'équilibre, limite commune de deux groupes de modifications réalisables de sens inverse. Dire qu'une modification réversible peut être parcourue dans deux sens inverses, c'est dire que l'esprit peut considérer ces états d'équilibre dans un certain ordre ou dans l'ordre
(*) P. DuHEM, Traité élémentaire de mécanique chimiqv£ fondée sur la thermodynamique, t. I, p. 59 (Paris, Hermann).
inverse. Faire parcourir à un système une modification réversible est donc une opération de l'esprit et rien de plus.
Cela posé, que veulent dire ces mots : Telle proposition n'est vraie que pour une modification réversible?
Leur sens est celui-ci. A proprement parler, la proposition dont il s'agit n'est jamais vraie; il n'existe aucune modification à laquelle on puisse l'appliquer en toute rigueur. Mais l'erreur commise en appliquant cette proposition à une certaine transformation peut être plus ou moins grande; elle est d'autant plus petite que, pour renverser le sens de ce changement d'état, il faut apporter une moindre variation aux conditions extérieures dans lesquelles est placé le système qui éprouve cette transformation ; la proposition en question est d'autant moins éloignée de la vérité que les forces auxquelles le système est soumis sont à chaque instant plus voisines de celles qui le maintiendraient en équilibre.
Remarque. — De tout ce que nous venons de dire, il résulte donc que, pour qu'une suite continue d'états d'équilibre d'un système soit une modification réversible de ce svstème, il faut qu'elle soit la limite commune de deux groupes de modifications réalisables de sens inverses. Il n'en est pas toujours ainsi; les systèmes qui pre-
136 CHAPITRE vrii
sentent des modifications permanentes sont tels que toute suite continue d'états d'équilibre est seulement la limite d'un groupe de modifications réalisables dans un certain sens et non la limite commune de deux groupes de modifications réalisables de sens opposés (*).
Nous n'étudierons pas ici de semblables systèmes et nous admettrons que tous les systèmes étudiés ici satisfont à la condition suivante :
Toute suite continue d'états d'équilibre du système est une modification réoersible.
11 résulte immédiatement de là que, lorsque nous écrirons qu'à tout instant d'une transformation d'un système les équations d'équilibre sont vérifiées, nous exprimerons par cela même que la modification en question sera considérée comme réversible. C'est ce qui arrivera, par exemple, lorsque nous exprimerons qu'un système gazeux qui se transforme obéit à la loi de Mariotte ou à une des lois de transformation des gaz; nous verrons dans un instant l'importance de cette remarque.
Énoncé du théorème de Carnot-Clausius. — La définition de la modification réversible étant
(') L. Marcuis, Les modifications itermancntes du verre et le dépldcement du zéro des thermomètres^ p. "El (Paris, Hermaniif 4898).
donnée, nous allons pouvoir énoncer la proposition connue sous le nom de principe de Carnot- Clamius. Cette proposition fut énoncée en 1824 par Sadi-Carnot dans l'ouvrage intitulé Réflexions sur la puissance motrice du feu. En 1850, Clausius, en précisant le théorème de Carnot, montra qu'il n'était pas incompatible avec leprincipe de l'équivalence de la chaleur et du travail.
Pour faire cette démonstration, Clausius s'appuie sur une hypothèse. Nous ne suivrons pas la marche adoptée par Clausius. Nous considérerons, ce qui en somme revient au même, la proposition de Carnot précisée par Clausius comme une des hypothèses fondamentales de la Thermodynamique, hypothèse dont toutes les conséquences ont été reconnues jusqu'ici comme étant d'accord avec l'expérience.
Soit un système qui décrit un cycle fermé ; si toutes les transformations qui constituent ce cycle sont réversibles, le cycle est dit réversible.
Désignons ces diverses transformations par les lettres Mo, M,, M„ ..., M,^. Admettons que, pendant la transformation Mo, le système absorbe une quantité de chaleur Qo; que, pendant la transforniation M,, il absorbe une quantité de chaleur Q,; ...que, pendant la transformation M„, il absorbe une quantité de chaleur Q^.
Le principe de Carnot-Clausius est le suivant :
Lorsqu'un système parcourt un cycle réversible la somme
/4 isi'7\ Oo Ol Oi ,Qn
yiOi) y'"'t'"'T'T'
est égale à zéro.
Les quotients ^ » y» , . . . , ^- ont reçu de Clau-
sius le nom de valeurs de transformation ou simplement de transformations. Moyennant cette définition, on peut avec Clausius énoncer lapro-
position suivante :
La somme des transformations relatives à un cycle réversible quelconque est égale à .
Extension du principe de Caroot-Clausius à une transformation ouverte réversible. — Il est souvent incommode de faire décrire à un système un cycle fermé réversible. Il nous faut donc transformer le principe de Carnot-Clausius de manière à l'étendre à une transformation réversible quelconque.
Posons
(158) yizz^ + 7jr + ...+ ^.
Le principe de Carnot-Clausius conduit à cette première proposition :
Lorsqu'un système parcourt un cycle fermé réversible, la quantités est nulle.
Prenons le système dans un état initial et amenons-le dans un état final 1 par une modification réversible OABl (fig. 14); soity}i la valeur que prend yi dans cette modification. Le système étant dans l'état 1, ramenons-le à Tétat initial par une autre modification réversible IbaO; soit r}, la valeur que prend yï dans cette seconde modification. L'ensemble des deux modifications
OABl, ibaO constitue un cycle fermé réversible; l'application à ce cycle du principe de Carnot-Clausius conduit à la relation
(159) Ylt = ~r...
Imaginons maintenant que le système partant du même état initial arrive au même état final 1 , non plus par la modification réversible OABl, mais par une autre modification réversible OA'B'l ; pour cette transformation réversible, la quantité n a une valeur y;'. Supposons que le système revienne de l'état 1 à l'état G par
140 CHAPITRB TIII
la modification réversible i 6aO. Le principe de Carnot-Clausius donne pour l'ensemble des deux modifications A'B' 1 , ibaOj
r/ + Ti, =
ou, en tenant compte de la relation (159),
(460) V=:ili.
Cette égalité conduit à la proposition suivante :
Quelle qm soit la modification réversible suivie par un système pour passer d'un état initial à un état final 1, laqu>antitén garde toujours une même valeur.
Cette proposition conduit à énoncer de la manière suivante le principe de Carnot-Clausius :
La quantité
a une valeur qui dépend de Vétat initial et de Vétat final du système, mais nullement de la nature de la modification réversible qui conduit le système de cet état initial à cet état final.
Entropie d'un système. — Ceci posé, faisons choix, une fois pour toutes, d'un certain état de ce système que nous nommerons l'état a. Supposons que le système passe de l'état a à l'étato; par une modification réversible quelconque. La quantité n ne dépend pas de la nature de cette
modification réversible; elle est entièrement déterminée lorsqu'on connaît l'état a et l'état x ; pour changer la valeur de n il faudrait changer l'un au moins des deux états a ou 07; puisque nous supposons l'état a choisi d'une manière irrévocable, nous pouvons dire que la valeur de ri ne dépend plus que du choix de l'état a:; nous désignerons cette valeur par S^ .
Proposons-nous de calculer la valeur de la quantité yi lorsque le système passe par une modification réversible d'un état initial à un état final 1. Dans ce but, raisonnons de la manière suivante :
Faisons passer le système de l'état a à Tétat par une modification réversible, puis de l'état à l'état 1 par une autre modification réversible. Dans la première modification réversible, m a pour valeur, par définition, So ; dans la seconde modification réversible, y} a la valeur que nous voulons calculer. Dans l'ensemble des deux modifications réversibles, y) a la valeur So + y}. Mais cet ensemble constitue une modification réversible conduisant le système de l'état « à l'état 1 ; pour cette modification, y} a la valeur S,. On a donc l'égalité
SiiziSo-h^
ou
(161) rizzS, — So.
Nous pouvons donc donner la forme suivante au principe de Carnot-Clausius :
A chaque état x du système on peut faire correspondre une grandeur S^ telle que Von ait, pour toute modification réversible qui fait passer le système de l'état initial â Vétat final 1 , Végalité
r, ZZi Si — So
OU bien encore, en remplaçant m par sa valeur
(162) ^+^+... + 5?-s,-So.
Clausius a donné à la grandeur S^, qui dépend de l'état x du système, le nom d'entropie du système pris à Vétat X.
Comme l'énergie interne, Ventropie d'un système n'est déterminée qu'à une constante près; cette constante dépend de la nature du système que l'on étudie; elle varie d'une manière entièrement arbitraire quand le système vient à changer, par exemple quand il ne garde pas une masse constante. Nous verrons l'importance de cette remarque.
Remarque. — Si on emploie la notation différentielle, l'égalité (162) peut s'écrire :
(163) i^=dS
pour une modification réversible infiniment petite, et
(164) r^ = s,-so
pour une modification réversible finie conduisant le système de Tétat à l'état 1 .
Extension du principe de Carnot-Clausitis aux transformations réelles des systèmes doués de visœsité et de frottement, — Considérons un système doué de viscosité et de frottement qui subit une transformation réelle pendant laquelle il possède à chaque instant la même température en tous ses points, cette température étant d'ailleurs variable d'un instant à l'autre.
SoitdQ, la quantité de chaleur absorbée par ce système durant une transformation infiniment petite ;
T, la température absolue du système ;
dt, le travail des forces de viscosité et de frottement ;
d S, la variation d'une fonction déterminée à une constante près, du seul état du système; nous conservons à cette fonction le nom d'entropie du système dans un certain état.
Nous ADMETTRONS qu'cutrc ces diverses quantités on a la relation :
(165) ^^Q-rfS-i"^.
Si la modification réelle étudiée est non plus infiniment petite, mais finie, et si elle conduit le système de l'état à l'état 1 , la relation précédente se transforme en la suivante :
Or le travail de viscosité et de frottement est toujours positif; on a donc, en désignant par P une quantité essentiellement positive,
(166 bis) r ^ = S, — So ~ P.
La différence S, — S© a reçu de Clausius le nom de transformation compensée et la quantité ( — P) le nom de transformation non compensée.
Si le système parcourt un cycle fermé, la transformation compensée est nulle, mais la transformation non compensée est négative, de telle sorte que, pour ce cycle réel, on a la célèbre inégalité de Clausius :
La transformation non compensée est mille dans deux cas particuliers importants :
1" Lorsque la modification subie par le système est réversible;
2" Lorsque, durant la modification réelle subie
par le système, le travail des forces de viscosité et de frottement est égal à zéro.
Ainsi nous admettrons comme un postulatum dont toutes les conséquences ont été jusqu'ici justifiées par l'expérience, que le principe de Carnot-Clausius mis sous la forme des équations (163) et (164) est applicable non seulement aux modifications réversibles d'un système qui possède à chaque instant de la transformation la même température en tous ses points, mais encore aux modifications réelles de ce système dans lesquelles les forces de viscosité et de frottement n'effectuent aucun travail.
Or, en étudiant à partir des équations (165) et (166) les conditions d'équilibre et les propriétés thermodynamiques de certains systèmes doués de viscosité et de frottement. M. Duhem(l) a pu rendre compte dans ses moindres détails des phénomènes présentés par des systèmes tels
(*) P. DuHEM, Théorie Ihermodj^namique du frottement et des faux équilibres chimiques. (Extrait des Mémoires de la Société des Scipnces phtisiques et naturelles de BordeauXy t. If, 5* série. 1896.) — Traité élémentaire de mécanique chimique fondée sur la thermodynamique, 1. 1, livre II, p. 201 (Paris, Hermaon).
J'ai exposé d'une manière élémentaire les principaux points de la théorie de M. Duhem sur les faux équilibres et les explosions dans Leçons sur les moteurs à gaz et à pétrole, faites à la faculté des Sciences de Bordeaux (cours autographié). — Journal de physique, 3* série, t. IX, 1900, p. 326.
qu'un mélange d'oxygène et d'hydrogène dont on élève la température; il a pu préciser les limites dans lesquelles se produisent ce qu'il a appelé les états de faux équilibres chimiques, les circonstances qui font qu'une réaction est ou n'est pas explosive. Le postulatum précédent est la base de cette théorie qui a reçu de l'expérience (') de nombreuses vérifications.
Les résultats de l'expérience nous autorisent donc à considérer un système en état de taux équihbre comme un système doué de viscosité et de frottement; il résulte de là quïl n'est pas possible d'appliquer les équations (163) et (164) aux modifications d'un tr'l système dans lesquelles les forces de viscosité et de frottement effectuent un travail qui n'est [»as négligeable. Or, parmi ces modifications, se trouvent les phénomènes de rupture des faux équilibres instables, c'est-à-dire les explosions, A ces transformations, il est nécessaire d'appliquer les équations (165) et (166) et non le principe de Carnot-Clausius sous la forme des équations (163) et (164). Nous verrons en étudiant l'application du diagramme entropique
(*) H Pelabon, Dissociation de Vaciie sélenhydrique. Thèse de doctorat présentée à la faculté des sciences de Bordeaux (Paris, Hermann). '■ — Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 5" série, t. II f, 1888. — A. JouNiAux, C. «., t. GXXIX, p. 883, 1899.
aux moteurs à gaz toute Timportance de ces remarques.
Diagramme entropique. — Prenons deux axes de coordonnées rectangulaires ; sur Taxe des abscisses, portons des longueurs proportionnelles aux valeurs de l'entropie S^ correspondant à divers états d'un système, et en ordonnées des longueurs proportionnelles aux températures abso-
Fig. 15.
lues du système en ces divers états. Nous obtenons dans le plan T OS (fig. 15) divers points représentatifs A, A',..., des états considérés du système. Ces points sont situés sur une courbe telle que MN, représentative d'une suite continue d'états du système.
Nous donnons à un ensemble de courbes telles que MN tracées dans le plan TOS le nom de diagramme entropique du système étudié.
Sur une courbe M N appartenant au diagramme
entropique d'un système prenons deux points infiniment voisins A et A'. Considérons une modification réversible représentée par l'arc de courbe A A' ; si T est la température du système pendant cette modification et d Q la quantité de chaleur absorbée, l'égalité
montre que la quantité de chaleur absorbée est représentée par l'aire a A A'a'a. La quantité de chaleur absorbée dans une modification réversible M A A' N est figurée par l'aire m M A A' Nnw.
Si un système partant d'un certain état initial y revient après une série de transformations, c'est-à-dire décrit un cycle fermé, son point représentatif dans le plan T S décrit dans ce plan une courbe fermée. Si le cycle considéré est
Fig. 16.
réversible, la quantité de chaleur absorbée est égale à l'aire A B C D A couverte de hachures
(fig. 16).
Si le point représentatif de l'état d'un système décrit une courbe fermée dans le plan T OS, le système ne décrit pas nécessairement un cycle fermé. Il ne décrit un tel cycle que si les variables (T, S) suffisent à définir complètement l'état du système; mais si trois variables (T, S, a?) sont nécessaires pour définir l'état du système étudié , les courbes tracées dans le plan TOS sont les projections de courbes gauches ; celles-ci peuvent ne pas se couper alors que leurs projections se coupent.
Dans ce mode de représentation, les modifications isothermiqms sont représentées par des droites parallèles à OS. Si la modification iso-
Fig. 17.
thermique A B (fig. 17) est réversible, la, qxxdnitité de chaleur absorbée dans cette modification est égale à l'aire couverte de hachures du rectangle ABôaA. Les modifications isentropiques sont représentées par des parallèles à l'axe OT. Si les modifications isentropiques considérées sont réversibles, elles sont en même temps adiabatiques ; les
i50 CHAPITRE VIII
droites parallèles à l'axe T ne représentent qtie des modificcuions adiabatiques réversibles (') .
Entropie d'un gaz. — Supposons que l'unité de masse d'un gaz obéisse à la loi
(168) PV*zzconst.
A: étant une quantité constante différente du
rapport y =: -^ des deux chaleurs spécifiques du
gaz étudié.
La loi de Mariotte donne
(169) PVzzRT.
En différentiant ces deux équations on trouve
Par suite, la quantité de chaleur absorbée dans une modification infiniment petite est
(170) rfQ = PrfV + c„(/Tzz j^ (/T + c„rfT
(') D'après ce que nous avons dit plus haut le diagramme entropique représente dans le plan ï S non seulement les modifications réversibles, mais encore les modifications réelles d'un système, à la condition que durant ces transformations le travail des forces de viscosité et de frottement soit nul. En particulier, si un système ne présente ni viscosité ni frottement, la représentation de son entropie en fonction de sa température jouit dans tous les cas des propriétés que nous avons énoncées.
On déduit de là
"*— T — iir-l"" T
OU, en intégrant,
(171) S — Si zz c^-j-^ log. nép. ^.
Application du diagramme entropique aux moteurs à gaz. — Pour discuter l'application du diagramme entropique aux moteurs à gaz, prenons comme exemple l'étude publiée par M. Boulvin (Revue de Mécanique, février 1897, p. 122) d'après un essai fait par M. le Prof. D.-S. Capper en janvier 1895 sur un moteur Otto-Crossley de sept chevaux nominaux. Nous avons reproduit dans la figure le diagramme en P,V et le diagramme entropique donnés par M. Boulvin.
Données de la question :
1" La masse totale du système évoluant dans le moteur est de 0^8^,002293;
2" Température de la charge avant la compression, 305% 5 abs.;
3" La chaleur développée par l'explosion est de 9"^*^ 135 ; ce nombre est le produit du pouvoir calorifique par kilogramme (10 500) par le poids de gaz admis par charge (0''8',00087). On suppose que ce gaz brûle complètement;
4* L'ensemble des neuf courbes d'indicateur
relevées pendant l'essai a permis de tracer un diagramme moyen représenté en trait plein dans la figure 18 (diagramme en P,V); l'examen des
oi»
Chambre d'explosion
courbes de compression et de détente montre qu'elles répondent à l'équation
dans laquelle
pv zzconst.
Le rapport y des chaleurs spécifiques des gaz. (combustible et produits de la combustion) est 1,37.
Les diagrammes ont été tracés comme si le
poids (lu corps engagé dans le cycle était de 1 kilogramme ; pour ramener la figure au poids réel il suffit d'agrandir les abscisses dans le
Ceci posé, considérons le diagramme en P, V (fig. 18).
Les températures absolues aux points B, C, D, E du diagramme se déterminent en fonction de celle au point de départ A, soit 305% 5 abs.
Première hypothèse. — Admettons que ron puisse considérer le système évoluant dans le moteur comme ayant à chaque instant des transformations AB, BC, CD,DE to même température en tous ses points et qu'il soit possible de lui appliquer les lois des gaz parfaits.
?i\Pa, î^a> T^; Pft» ^ft» Tfc sont les valeurs de la pression, du volume et de la température aux points A etB, la loi de Mariotte donne
la - % '
Or les données caractéristiques de la machine
font connaître - ; le diagramme permet de mesurer p^ etpft-, cette équation donne donc T^ en fonction de T^.
En opérant de même pour les autres som-
i54 CHAPITRE VIII
metsC, D, E,M, Boulvin a trouvé
Ta= 305%5abs.
Ti,= 443%6 Tc=1364%4 Trf=1460»,6 Te z= 1 024%4
Étudions maintenant les diverses transformations qui constituent le diagramme en P, V.
1" Compression du mélange combustible; transformation A B. — L'équation de cette courbe est
Deuxième hypothèse. — Le travail de la viscosité et du jvoiiemeni est négligeable,
La formule (1 7 1) donne pour la variation d'entropie pendant cette transformation
ou en remarquant que
c„zz0,1911, Sb— Sa = — 0,014.
En prenant pour S^ la valeur arbitraire 0, 014 on trouve Sb = 0. La variation d'entropie pendant la compression est représentée sur le diagramme entropique par la courbe AiB, (0°"'", i
par degré, 500 mill. par unité d'entropie) <fig.l9).
L'aire ft, B, A, a.ft,, qui serait nulle si la compression était adiabatique, représente la quan-
Fig. 19.
OiOOl O,0tt 0009 0.00% 0.005 OOM Ol007 aOOB 0.000 0.01
Entropie.
tité de chaleur dégagée par le système évoluant dans le moteur ou la quantité de chaleur absorbée par la paroi durant la compression.
Enfin soient U^ l'énergie interne du système dans l'état A, Ub son énergie interne dans l'état B, le principe de l'équivalence donne d'après la fig. 18, en désignant par — Q^ la quantité de
i56 CHAPITRE VIII
chaleur absorbée par le système,
(172) — E Q; + aire 6B Aa= E (Ub — Ua).
2" Explosion. — Cette modification est représentée sur le diagramme réel par les lignes B G etCD.
Pour calculer la variation d'entropie Sd — S^ pendant cette transformation, substituons à la modification réelle la suite des modifications fictives suivantes :
{a^) Combustion soiis le volume constant V^ à la température T^.
Cette réaction absorbe une quantité de chaleur égale à
Troisième hypothèse. — Supposons que Ventropie ne varie pas pendant cette réaction (').
Dans le plan TOS le point figuratif de Tétat du système garde sa même position B, avant et après cette réaction.
(«j) Échauffement des produits de la combustion sous le volume constant v^ de la température Tf,dla température T..
(») D'après l'équation (166) cette hypothèse revient à la suivante : pendant la réoÀition considérée le travail de viscosité et de frottement est égal à E Qr^
Cette modification fictive, pour laquelle on peut toujours considérer comme négligeable le travail de viscosité et de frottement, absorbe une quantité de chaleur
La variation d'entropie est
Se ~ Sb rz Cl, log. nép. ^
c'est-à-dire
Se — SB = 0,2i6.
ou
Se = 0,216
puisque
Sb =
C, est dans le plan TOS (fig. 19) le point figuratif de l'état du système à la fin de cette modification fictive.
Si B, C, est la courbe qui a pour équation
S — Sb =: Cy log. nép. ^,
l'aire 6, B,C, c, 6, figure la quantité de chaleur absorbée pendant cette même modification fictive à laquelle sont applicables les équations (163) et (164).
(«3) Échauffement des produits de la œmbmtion sous la pression constante p^ de la température T^ à la température Trf.
i58 CHAPITRE YIII
Cette modification absorbe une quantité de chaleur
Cp (Td — Te) .
La variation d'entropie est donnée par la formule
Sd — Se zz Cp log. nép. Y 5
o'est-à-dire
Sd— Se =0,018.
OU
So = 0, 234.
D, est dans le plan TOS le point figuratif de l'état du système à la fin de cette modification fictive.
Si C, D, est la courbe qui a pour équation
S — Sc = Cp log. nép. Y '
l'aire c,C,D,d,c, représente la quantité de chaleur absorbée pendant cette modification fictive durant laquelle on peut considérer le système comme dénué de viscosité et de frottement.
La quantité de chaleur absorbée par le système pendant les deux modifications fictives (a,) et (ag) est représentée dans le plan TOS par l'aire 6, B, C,D,d, 6,.
3" Détente des gaz brûlés.
Quatrième hypothèse. — Durant cette détente qui
s'effectue suivant la courbe DE (fîg. 18), le travail de la viscosité et du frottement est négligeable, La variation d'entropie est :
^E — -^D — c„ ~Y"3ï~ir7 — *o§- "6p. ^
c'est-à-dire
Se — Sd = 0,013.
ou
Se = 0,247.
El est dans le plan TOS le point figuratif de l'état du système à la fin de cette modification fictive.
Si D, E, est la courbe qui a pour équation
s — ^D =z C; , . log. nep. 71
l'aire d,D,E,e, d, représente la quantité de chaleur oA^orôée pendant cette modification.
Ceci posé, la quantité totale de chaleur absorbée pendant l'ensemble des modifications fictives (a,), (a,), (aj) et pendant la détente a pour expression
(173) QT^ + c„(Te-T,) + c^(Td-Te) + 05 = Q-
en désignant par Qd la quantité de chaleur absorbée pendant la détente.
Cherchons la relation qui existe entre cette quaïitité de chaleur Q et la quantité de chaleur Q'
qui est réellement absorbée pendant les phases de Texplosion et de la détente par le système évoluant dans le moteur.
Pour cela désignons par Ub l'énergie interne du système dans l'état B et par Ug son énergie interne dans l'état E, le principe de l'équivalence donne
(174) E Q' — aire 6 B G D E A a zz E (Ue — Ub).
Mais il est facile de voir qu'en comparant les transformations réelles BC + CD + DE (fig. 1 8) aux transformations (a,), (a^), (a,), DE, le travail produit par le système évoluant et sa variation d'énergie interne ont les mêmes valeurs dans les deux cas. 11 est donc permis d'écrire que l'on a la relation
Posons
(176) Q, = Ce (T, - T,) + c, (Td - T,) + Qd-
Cette quantité de chaleur Q, est représentée dans le plan TOS (fig. 19) par l'aire 6, B.C.D, E,e,6,. Elle est, comme on dit quelquefois, la quantité de chaleur visible au diagramme pendant r explosion et la détente.
D'autre part ajoutons membre à membre les équations (172), (174), (175), nous trouvons :
(177) E (Q — Ql) — aire A B G D E A = E(Ue — Ua).
Enfin, comme nous Pavons montré en faisant la théorie du diagramme Beau de Rochas-Otto, nous avons
(178) E(Ua-Ue) = -EQt,+ Ec„(T«~T,).
Les équations (177) et (178) retranchées membre à membre donnent donc en tenant compte de la relation (173)
(179) aire ABCDEA=E [(QT^QT^)+(Q,Qj)-c„(Te-T.)]
Traçons maintenant dans le plan TOS (fig. 19) la courbe A,E, qui a pour équation
S — Sa = ^„ log. nép. jT'y
elle donne
Se -Sa = 0,233 ou
Se = 0,247
c'est-à-dire le point E, et l'aire a,A,E,e,a, représente, d'après (171), la quantité de chaleur
D'après la représentation dans le plan TOS des quantités de chaleur Q, et QJ, la quantité de chaleur
Qi"Q!"^.(fe-T«), , .
est représentée dans le ^[^éme pjan TOS par l'aire A.B.C.D.E. A,.
152 CHAPITRE YIII
Or nous faisons dans tout le calcul les approximations suivantes :
1 • Les chaleurs spécifiques du mélange combustible et du mélange des produits de la combustion sont égales entre elles.
On en déduit la relation
2" Le travail résistant dû à la contre-pression des gaz brûlés pendant leur échappement dans P atmosphère est négligeable
De ces approximations il résulte que la quantité de chaleur équivalente au travail indiqué a pour expression d'après (176)
et que l'aire A, B, C, D, E, A, représente cette quantité de chaleur dans le plan TOS.
Nous pouvons donc résumer ce que nous venons de dire dans le tableau suivant :
Chaleur disponible par V explosion Qtj, = 9.135 «••.
Chaleur transformée en tra-
mil indiqué Qi— 05— c„(ïe— T«)=l,7818"».
(Elle est obtenue en plani métrant Taire
AiBiCiDiEi Al.) Chaleur dégagée par le s^s-
tème évoluant pendant
la compression ou cUa-
leur absorbée par la paroi
pendant la compression. . . Q^ =0,1331 **'.
PRINCIPE DE CARNOT-CLAUSiUS 163
(Elle est obtenue en pla-
nimétrant Taire
61 Bi Al ai fei)
Chaleur dégagée par le système évoluant pendant la course motrice ou chaleur absorbée par la paroi pendant la course motrice, — Q = Qt^ — Qi = 4,0721 *^.
(La chaleur visible au
diagramme Qi est obtenue
en planimétrant Taire 6iBiCiDiEi«i6i;
l'autre chaleur est obtenue
par différence.)
Chnleur (Ue — Ua) (relation 178) -QT^+Ct,(Te—Ta)=— 5,987 «»,
(La chaleur Co (T« — Ta) s'obtient en planimétrant Taire ai Ai Ei pi ai )
Ceci posé, considérons le cylindre du moteur (sans l'enveloppe à circulation d'eau) et le piston. Quand le régime permanent est établi, on peut admettre que ces deux solides sont dans le même état au début et à la fin d'une série des quatre temps de la marche du moteur; il en résulte que la quantité totale de chaleur absorbée par ce système est nulle. Cette quantité totale de chaleur est la somme de :
i* La quantité — q^ de chaleur dégagée par le métal du cylindre et fournie à l'eau de réfrigération ;
2" La quantité — q, de chaleur perdue par rayonnement;
i64 CHAPITRE VIII
3* La quantité q de chaleur absorbée pendant le premier et le quatrième temps, chaleur fournie par les gaz évoluants ;
4" La quantité de chaleur QJ absorbée pendant la période de compression ;
5* La quantité de chaleur — Q = Q,.^ — Q, absorbée pendant les phases de l'explosion et de la détente ;
On a donc :
ou
Dans les expériences précédentes
qe "=. 4,047 calories, }r^ 0,137 calories
(cette quantité n'a pas été déterminée exactement, mais seulement évaluée à peu près).
Par suite :
q-=. — 0,0212 calories
Dans les échanges de chaleur qui se produisent pendant le premier et le quatrième temps entre le système évoluant gazeux et les masses métalliques du cylindre de la machine et du piston, ces parois dégagent finalement 0,0212 calories, chiffre insignifiant dans le cas actuel.
PRINCIPE DE CARNOT-CLAUSIUS i65
Étudions maintenant les transformations du système défini de la manière suivante :
1" Le cylindre du moteur (sans l'enveloppe à circulation d'eau) et le piston ;
2" La masse du système évoluant ; elle est la somme de la masse M, des gaz brûlés restant dans l'espace nuisible et de la masse (M^ + M',) du mélange combustible (Mj, masse du gaz d'éclairage), (M',, masse de l'air) introduit dans le moteur.
Appliquons le principe de l'équivalence aux transformations de ce système produites pendant les quatre temps de la marche en définissant pour le système évoluant l'état initial et l'état final suivants :
/ Masse Mi des gaz brûlés restés dans l'espace
^. ..... , nuisible et occupant le volume de cet
Etat initial l . 1 • * jc *
j , I espace à une certaine température sous
de la masse 1 . • • j n j i» *
xM i xM i xMf 1 une pression voisine de celle de 1 atmos-
\ 1 phère
Al» •*? I Masse Ms + M'* du mélange combustible à 1 unité, f * 1 1 / 1
occupant le volume vi sous la pression pa
\ de l'atmosphère à la température Ti.
État final / Masse Mi des gaz brûlés ; état final identique
de la masse l à l'état initial ;
Ml + Mj + M'a < Masse Ma + M'a du mélange des produits de
supposée égale / la combustion occupant le volume vi' sous
à l'unité. \ la pression pa à la température Ti.
La quantité totale de chaleur absorbée se compose :
1' De la quantité de chaleur — q^; q^ repré-
i66 CHAPITRE YIII
sente la chaleur absorbée par l'eau du réfrigérant;
2" De la quantité de chaleur — q^ ; q^ représente la chaleur dégagée par rayonnement;
3" Le la quantité de chaleur — q;q représente la quantité de chaleur dégagée à l'extérieur du moteur par la masse Mj + M', des gaz brûlés s'échappant de ce moteur pendant le quatrième temps de la marche ; nous négligeons la quantité de chaleur échangée pendant le premier temps entre le milieu extérieur et la masse M^ + M\ de gaz combustible pénétrant dans le moteur.
Le travail produit est égal à la somme :
1^ De l'aire ABCDEA (fig. 18), en négligeant le travail de la contre-pression pendant la période d'échappement;
2" Du travail — p^v^ produit pendant le premier temps (introduction de la masse combustible M, + M',);
3" Du travail produit pendant le quatrième temps par la masse M^ + M', de gaz brûlés qui s'échappent dans l'atmosphère.
Le principe de l'équivalence donne donc, en
désignant par A U la variation d'énergie interne, — Egr, — Egr^— Egr— aireABGDEA+;?«y,— e=EAU; d'où on déduit :
(181)?=!— g^e—g^r— AU— g(aire ABCDEA— /)«!;, + e).
Mais si on considère l'état initial et l'état final du système, on voit que la variation AU est égale à la variation d'énergie interne de la masse Mj + M'j passant de l'état de mélange combustible sous la pression p^ à la température T, à l'état de mélange des produits de la combustion dans les mômes conditions de température et de pression. Si on admet que la chaleur de combustion sous volume constant du mélange employé est indépendante de la température et que les gaz de la combustion peuvent être regardés comme des gaz parfaits, on peut écrire que l'on a
(182) AU = -Qt,.
Si on néglige la condensation de la vapeur d'eau pendant la période d'échappement des gaz, on a.& = p„v\; si jenfin on néglige la dilférence (v, — v\) des volumes du gaz combustible et des gaz de la combustion pris dans les mêmes conditions de température et de pression (© — p^v,=0), l'équation (181) devient :
Quantité de chaleur dégagée à l'extérieur par les gaz de l'échappement = ç ou
(183) jzz— gr, — gr,+ Qr,-|ABCDEA
En remplaçant les lettres par leurs valeurs
données plus haut, nous trouvons
Qt^i^ 9,135 1 aire ABCDE Az=i,7818
Quantité de chaleur dégagée à l'extérieur par les gaz de l'échappement zz g = 3,169 calories.
La variation totale d'énergie interne AU peut s'écrire
(184) AUzzA, U + Le-L\
A, U représentant la somme des variations de Vénergie interne du système évoluant dans le moteur pendant le premier temps et pendant le quatrième temps.
En faisant les approximations qui nous ont conduit à la relation (182) et en tenant compte de la relation (178), la relation (184) devient :
(185) Al U zz — Cr, (Te — Ta) m — aire ai A, Ei ei ai.
Avec les données numériques dont nous nous sommes déjà servis nous trouvons
Al Uz= — 3,148 calories
Tels sont les principaux résultats que nous fournit une analyse rigoureuse des essais d'un moteur à gaz. Les mêmes conclusions eussent
pu être obtenues d'une manière plus simple sans recourir à la représentation entropique; celle-ci n'est d'ailleurs susceptible que d'une application très limitée. En effet si elle nous donne directement par l'application des équations (163) et (164) la valeur des quantités de chaleur absorbées pendant la compression et pendant la détente, il n'en est plus de même quand il s'agit d'analyser les autres phases du fonctionnement du moteur. Pendant l'explosion la quantité de chaleur absorbée est donnée par l'équation (1 86), dérivée de l'équation (165)
(186) QzzfTdS-^T.
dans laquelle t désigne le travail des forces de viscosité et de frottement.
Comme on ne connaît que le signe de t, il a fallu pour avoir Q prendre une méthode détournée qui, pour être justifiée, a rendu l'analyse assez complexe. Enfin l'étude de la période d'introduction et celle de la période d'échappement n'ont pu être abordées par la méthode du diagramme entropique ; dans la figure 19, aucune courbe ne représente la variation de l'entropie en fonction de la température pendant ces deux phases du mouvement. En effet si, par une approximation qui est déjà discutable, on peut
d70 CHAPITRE VIII
considérer le système évoluant comme ayant la même température en tous ses points à chaque instant des phases de compression et de détente, il n'est pas possible d'admettre qu'il en est ainsi durant le premier et le quatrième temps, phases dans lesquelles la partie du système évoluant qui se trouve dans le moteur a une masse continuellement variable. Pour étudier ces périodes dif fonctionnement, on est obligé d'abandonner la méthode du diagramme entropique pour revenir à la méthode générale de Hirn, fondée uniquement sur le principe de l'équivalence. C'est ce que nous avons fait dans les calculs qui précèdent pour obtenir les échanges de chaleur entre le système évoluant et les masses métalliques du cylindre et du piston, pour calculer la chaleur dégagée à l'extérieur par les gaz de l'échappement, etc.
En résumé, la méthode de représentation graphique des quantités de chaleur mises en jeu pendant le fonctionnement d'un moteur à gaz, méthode fondée sur l'application du théorème de Carnot-Clausius, se présente à nous comme une méthode dont la puissance est très limitée, dont l'application est délicate et dont l'utilité au point de vue pratique est certainement contestable. Cette méthode appliquée sans une discussion approfondie des conditions de sa légitimité a con-
duit quelques ingénieurs à déduire de la considération du diagramme entropique certaines propositions dont l'exactitude est douteuse. C'est ainsi que M. Boulvin, dans l'excellent article que nous avons cité plus haut, dit que l'aire u^A^E^e^a^ (fig. 19) représcutc « la chaleur perdue par les gaz de Véchappement sous forme de chaleur interne ». La relation (185) nous montre qu'il n'en est pas ainsi ; l'aire en question représente la diminution de l'énergie interne ou de la chaleur interne du système évoluant dans le moteur pendant le premier et pendant le quatrième temps du fonctionnement, c'est-à-dire, si on admet que tous les gaz sont parfaits et que T„ est la température , des gaz contenus dans l'espace nuisible,
(187) c, [Ta - Ml T„ - (M. + M'.) T|]
+ c, [(M, + M'.) Ti + MiTn - Te] = Al U.
On voit donc que la proposition de M. Boulvin n'est exacte qu'à la condition de considérer le premier terme comme négligeable par rapport au second, ce qui n'a lieu que dans certains cas particuliers.
Nous pensons donc que, dans l'étude, calorimétrique d'un moteur à gaz, il est plus simple et plus fécond de ne pas considérer la représentation entropique et d'aborder le problème par la
172 CHAPITRE YIII
méthode générale du principe de l'équivalence qui a conduit Hirn, et après lui l'un de ses plus brillants disciples, M. Dwelshauvers-Dery, à des découvertes si remarquables dans le domaine des moteurs thermiques.
