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, il

Enfin le problème de la parabole en ellipse sera défini par l'équation

S =px — x^

[Trouver une longueur BG= x telle que le rectangle construit sur AG (p — x) et x, le rectangle AGDE (fig. 3), ait une aire égale à S.]

Plus généralement, Euclide, dans le livre VI (28 et 29), substitue à la figure à construire un parallélogramme tel que le parallélogramme à ajouter ou à retrancher (à la place du carré du cas précédent), doit

être semblable à un parallélogramme donné. Le problème revient en somme à celui que définit l'équation S = pxjfkx~. La suite de la citation de Proclus^ dont je ne vous donnais tantôt que les premières lignes, fait allusion directe aux problèmes traités par Euclide, et se termine ainsi : voilà ce qu'est la parabole d'après Vantique tradition venue des Pythagoriciens. — On ne saurait plus nettement leur attribuer les solutions du problème général tel qu'il est traité par Euclide.

Cette solution suppose la connaissance du rapport des aires de deux polygones semblables. Du reste , en dehors de Proclus , Plutarque attribue cette connaissance à Pythagore; il ajoute même que le sacrifice dont parle la tradition doit avoir eu pour cause le problème : construire une figure équivalente à une figure donnée et semblable à une figure donnée , — bien plutôt que le théorème du carré de l'hypoténuse. — Enfin, d'un autre côté , Hippocrate de Chios , dans son fameux travail sur les lunules, prouvera, vers le milieu du V'"® siècle, qu'il connaît le rapport des aires de deux figures semblables déjà étendu à des segments de cercle (*).

5® Proclus enfin fait remonter à Pythagore la construction des polyèdres réguliers. — Le Timée sur ce dernier point vient apporter une confirmation

(*) Voir , sur ces questions , outre la Géom. grecque : De la solution géométrique des problèmes du second degré avant Euclide — de P. Tannery — Mémoires de la Société des Se. phys. et nat. de Bordeaux , t. IV.

sérieuse. Vous savez que les éléments composant , d'après Texposé platonicien , le feu , Tair , Teau et la terre , ont les formes du tétraèdre , de Toctaèdre , de Ticosaèdre et du cube , et que Dieu se servit du dodécaèdre pentagonal pour tracer le plan de l'Univers. L'origine pythagoricienne de la théorie des polyèdres réguliers est d'ailleurs suffisamment prouvée encore par un passage de Philolatis faisant une allusion très claire aux cinq polyèdres réguliers inscrits dans la sphère.

Quant au dodécaèdre en particulier , le problème de sa construction, particulièrement difficile, revient à celle du pentagone régulier. La légende du pythagoricien Hippasus , précipité dans la mer pour avoir publié cette construction, et avoir ainsi usurpé la gloire qui revenait au maître ; puis la légende suivant laquelle le pentagone étoile servait de signe 'de ralliement aux Pythagoriciens — donnent une dernière confirmation à cette opinion que, dès le VI"*® siècle, les Pythagoriciens ont non seulement étudié les cinq polyèdres réguliers , mais encore ont su construire le pentagone régulier , ce qui exige la division d'une droite en moyenne et extrême raison.

En résumé , vous voyez , les témoignages positifs de la tradition viennent merveilleusement confirmer les premières conclusions. Ce traité de géométrie , publié par les Pythagoriciens , ébauchait et parfois poussait fort loin toutes les théories de la géométrie euclidienne, si on excepte la théorie de la proportion-

nalité des longueurs , les développements sur les incommensurables, et les volumes dérivant de la mesure de la pyramide.

L'œuvre de Tècole pythagoricienne nous apparaît ainsi démesurément grande , mais n'oublions pas que si le génie de Py thagore fat assez puissant pour donner l'élan , ce n'est pas à lui seul que nous sommes redevables de l'œuvre entière; c'est aux Pythagoriciens, à des hommes ayant collaboré et s'étant transmis leurs travaux de génération en génération pendant prés de 150 ans qu'il faut faire honneur de cette géométrie.

Ce n'est pas seulement , vous le sentez bien , une branche spéciale des mathématiques qu'ils ont créée. On peut dire que la mathématique tout entière est en germe dans leur œu Vre. D'abord , — '- nous l'avons dit , — la méthode démonstrativ e , celle qui pourra servir à caractériser les mathématiques est définitivement fondée. Certes, en vue d'une rigueur de plus en plus parfaite, on diminuera sans cesse le nombre des postulats , mais un raisonnement sera déclaré mathématique, et cela éternellement sans doute, s'il est construit sur le type des raisonnements euclidiens, c'est-à-dire, d'après nos conclusions , sur le type des démonstrations pythagoriciennes.

La géométrie se trouve particulièrement portée à un degré fort avancé.

L'algèbre ne s'en dégage pas sous forme d'algorithme spécial, mais au fond ses concepts fonda-

mentaux s'y trouvent impliqués. Les problèmes du second degré sont abordés et même résolus, jusqu'à un certain point, dans le problème de la division d'une droite en moyenne et extrême raison, ainsi que dans les fameuses questions relatives à la parabole des aires.

La méthode des limites, avec les notions de Tinfiniment petit et de l'infiniment grand, c'est-à-dire avec les notions fondamentales du calcul infinitésimal, doivent se dégager bien aisément de l'œuvre pythagoricienne, car nous savons positivement qu'au milieu du V°^® siècle, Hippocrate de Ghios étendra aux cercles le théorème relatif au rapport des aires de deux polygones semblables.

Enfin, la fusion des concepts d'étendue et de quantité , de la figure et de la relation quantitative , la géométrie analytique en un mot , est si bien impliquée dans les travaux pythagoriciens, que la correspondance des sections du cône à ces relations qu'en notre langage moderne nous avons énoncées :

• S = px

S = pxHhkx^, par conséquent, la correspondance de ces courbes à certaines équations — '• apparaîtra bientôtdansla théorie des coniques.

Plus que dans tous les autres domaines assurément les premiers travaux des mathématiciens grecs semblent comporter, comme une suite naturelle, le développement colossal qu'ont atteint, depuis deux siècles surtout , la géométrie et l'analyse.

C'est partout, vous le voyez , la même conclusio les savants grecs du VI""* et du V"* siècle avant J.' ont posé les problèmes fondamentaux, et élaboré premières notions essentielles de notre science n derne. Les siècles suivants ont vu se développer cf science naissante ; puis il y a eu un arrêt, et il a fa attendre que l'esprit humain, se réveillant d'un loi sommeil, recouvrât à l'aurore des temps modernes, qualités nécessaires à la continuation de, Vœw grecque.

Certes, il ne doit pas y avoir d'équivoque : il ser puéril de comparer de trop près tes travaux de Clat Bernard ou de Pasteur aux méditations d'Empédo ou même d'Aristote. Un point capital fait sentir différence; tandis que l'expérimentation est aujourd'I la base de toute recherche scientifique, elle fait coi plètement défaut chez les Grecs. Ils ont observé, m; ils n'ont pas franchi la distance qui sépare la sim] observation de la méthode expérimentale. Personi je crois, ne songe à le contester.

Mais on va plus loin, et il n'est pas rare de voir si tenir aujourd'hui l'incompatibilité absolue de l'est grec avec les exigences des méthodes moderne si les Grecs n'ont pas créé la science expérimenta c'est que leur tournure d'esprit les en aurait rent

incapables. Seul ce qui est démontré, ce qui s'explique

conformément à des vues a priori ^ ce qui peut rentrer,

aux yeux de la raison, dans l'ordre immuable des choses, était accepté par eux comnje donnée scientifique. Leur science était fatalement condamnée à échouer. Il fallait, pour que la nôtre pût naître, une éducation nouvelle de l'esprit humain, qui le détournât du besoin constant de démonstration rationnelle, et l'amenât à demander à l'expérimentation la vérification continuelle de ses théories. Cette éducation, le fidéisme religieux du moyen âge l'aurait réalisée. Y a-t-il vraiment une diîïérence aussi radicale, I aussi profonde, entre les Grecs et les modernes, dans la manière de conduire la science ? Les Grecs observaient et même scrupuleusement, si on se reporte seulement au temps d'Aristote. Or, croit-on vraiment que l'expérimentation soulève, à l'égard d'un esprit pour qui la vérité scientifique est inséparable de la démonstration rationnelle, des impossibilités, des incompatibilités que ne comporte pas la simple observation ? Est-ce que vous pensez, par exemple, que les Grecs aient pu amener l'astronomie au point où l'ont portée Hipparque et Ptolémée, sans accepter de corriger sans cesse leurs théories explicatives des mouvements des astres pour chaque ii;*régularité que les conceptions antérieures su' expliquaient pas? Les faits observés étaient-ils négligés sous prétexte que, loin d'être démontrés, ils détruisaient chaque fois les explications de toute une catégorie de phénomènes du même ordre !

SCIENCE GRECQUE ET SCIENCE MODERNE àvH

Et la croyance à l'ordre immuable dos choses empêchait-elle donc, comme le fera plus tard le respect de rautoritè, ancré dans l'esprit du moyen âge, d'e gistrer sans crainte les observations nouvelles ?

Pense-t-on, d'autre part, que la science mod renonce à comprendre, à expliquer? Vojis savez que le savant n'est satisfait, au contraire, que lors a pu ramener les faits aux lois. «Le renoncem* l'intelligibilité des choses, a écrit quelque part M. [ troux, est un des caractères de l'esprit scientifique, crois qu'il faut se garder de prendre à la lettre une formule. Le savant ne doitpas attendre, pour enregii un fait, de savoir l'expliquer : cela est vrai. Mais i faut tôt ou tard faire rentrer le fait dans la loi, là une intelligibilité à laquelle il ne renonce que un temps. Où il n'y a qu'une suite d'observations aucun lien entre elles, on ditqu'iln'ya pasde scie

La loi, objectera-t-on, n'a pas pour nous le ca tère de cette vérité absolue, éternelle, où les G voulaient atteindre, quand ils voulaient compren Sans doute ! Mais encore ne croyez pas qu'ils n quent au savant ces types éternels,'immuables, lesquels les Grecs aimaient à fixer leur peu Allez dire à un physicien qu'on a trouvé quelque de l'eau qui ne bout pas à 100" sous la pression j maie, ou de l'oxygène qui èteîntune allumette enfl mée, et vous verrez comme il vous recevra ! Essa pour le convaincre, de lui suggérer l'idée d'un c e — de ce cataclysme sous la réserve duquel

manuels de philosophie , de mon temps du moins , aimaient à se placer quand il était question de la fixité des lois de la nature, — vous verrez comme notre physicien accueillera cette plaisanterie. Si l'eau ne bout pas à 1 00° sous la pression normale, il n'y a pas de cataclysme qui tienne, ce n'est pas de l'eau ! Si l'oxygène éteint une allumette enflammée, ce n'est pas de l'oxygène ! Il y a donc pour le physicien quelque chose qui est Veau, et quelque chose qui est Voxygène, en dépit de toute expérience, de toute surprise que réserve l'observation ! Pour n'avoir pas à nos yeux la môme réalité objective, ces types, ces conceptions, n'impliquent-ils pas, à l'égal des idées de Platon, l'éternité, la constance, l'immutabilité dont a besoin le savant de tous les temps, pour édifier quelque chose qui soit véritablement de la science?

Aussi je ne crois pas à une différence aussi essentielle qu'on le dit entre l'esprit de la science grecque et celui de la science moderne, mais seulement à une différence de degrés dans le rôle joué par le fait expérimental. Et en vérité^ si l'on songe que le peuple grec n'est resté lui-même que si peu de temps, que la science véritablement grecque n'a pu durer plus de quatre siècles , je me demande comment il ne vient pas naturellement à l'idée qu'elle n'a pas eu le temps de mûrir. C'est un caractère de jeunesse et d'inexpérience de demander et d'exiger le pourquoi de toutes choses, de croire à l'explicabilitéde tout ; ne le voyonsnous pas par les questions que nous posent sans cesse

SCJENGE GRECQUE El SC3ENGE MODERNE 305

,]], les enfants? Il faut atteindre un certain degré de

],; maturité pour imposer une limite à cette soif d'expli-

cations, pour savoir attendre des faits nombreux et concordants avant de dégager une théorie.

j^^,t D'ailleurs, pendant le temps qu'a duré la science

grecque, ne voyons-nous pas s'accentuer peu à peu des indices de cette maturité où elle parviendrait, si on lui en laissait le temps ? Quels que soient les caractère communs à Aristote et à ses prédécesseurs, n'estil pas évident que son œuvre marque un progrès sérieux dans la voie qui- conduit à l'étude du fait ind ividuel indépendamment des idées générales aprio ri'i Enfin, on me paraît méconnaître le caractère de notre science positive, quand on la juge plus voisine que la science grecque de la tradition religieuse du moyen âge. Nous acceptons aujourd'hui, dit-on, un fait sans le comprendre, c'est-à-dire sans le rattacher tout de suite à quelque théorie qui l'explique, mais, en tout cas, nous ne l'acceptons pas sans preuves. Le savant, s'il renonce aux raisons logiques, exige des preuves d'un autre ordre : il demande à voir, à toucher, à peser, à mesurer. Or, je ne vois pas que le besoin.de preuve expérimentale soit plus compatible avec le fidéisme religieux que le besoin de démonstration déductive.

Bien au contraire, la certitude qui se produit par une vue a priori^ en dehors des faits, se rapproche évidemment de la conviction religieuse mille fois plus que la certitude expérimentale. Déclarer que le mou-

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(joei

306 HUITIÈKE LEÇON

vement des astres est circulaire parce que Ii ment circulaire est parfait, cela n'èquivai presque à dire qu'on croit parce qu'on croi Aristole ou l'expérinientateur moderue qui do pression du besoin le plus vif de raison d( Dites-moi, encore, je vous prie, lequel des d semble présenter le plus manifestement la d'esprit que le fidèisme du moyen âge ètaii 'de produire, d'un savant d'aujourd'hui qui qu'à ce qu'il voit, ou de Parménide disant > voyez tourner le monde, n'en croyez rien » sûr par des raisons logiques qu'il ne touri Quel est celui des deux qui vous donne le pi ment la sensation du mystère, do miracle ?

En fait de miracle. : « Il y en a un dans 1 » M. Renan le disait ces jours-ci au ba » l'Association des études grecques, c'est » antique. Oui, 500 ans environ avant J.-G.

» de se dessiner dans l'humanité un type ■» sation si parfait, si complet, que tout ce ( » précédé rentra dans l'ombre. C'était vra » naissance de la raison et de la liberté. »

Eh bien. Messieurs, je vous le demande, '.

et la liberté ne sontr-ce pas là , abstraction subtilités d'analyse dont se joue la marche di nité, les éléments vitaux de notre civilisati notre science moderne ?