GRECS

l'œuvre des premiers mathématiciens grecs

ARITHMÉTIQUE DES PYTHAGORICIENS. — LES PREMIERS GÉOMÈTRES! THALÈS ET PYTHAGORE. — DE LA PART DES PYTHAGORICIENS DANS LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE.

Je veux vous entretenir aujourd'hui des premiers travaux des Grecs en Mathématiques (*).

Nous distinguerons naturellement deux ordres d'idées : l'arithmétique et la géométrie.

Commençons par l'arithmétique.

Nous savons positivement, d'après uneertain nombre de témoignages de l'antiquité, que l'école dePjrthagore sépara en deux parties ce que nous nommons aujourd'hui la science arithmétique; elle appela logistique la partie pratique, et arithmétique (le mot était employé pour la première fois) l'ensemble des études

(^) J'ai particulièrement utilisé pour cette leçon le chapitre de Cantor (Vorlesungen) sur l'Arithmétique des Pythagoriciens, la notice deM.Tannery sur l'Arithmétique pythagoricienne, à la fia de son ouvrage « pour la science hellène », et le livre de M. Tannery sur la Géométrie grecque.

théoriques sur les nombres ; tout comme la géométrie se divisa en géodésie et en géométrie proprement dite. Il nous est difficile de désigner avec exactitude ce qui composait la logistique. Nous n'avons, pour nous renseigner à ce sujet, que deux fragments, Tun de Gèminus, du P' siècle de notre ère, cité par Proclus ; Tautre d'Anatolius, qui vivait au III™® siècle et fut peut-être le professeur de Jamblique. La logistique ^serait l'ensemble des opérations da calcul proprement dit*, puis d'une série de. problèmes utiles dans les relations de la vie et dans les affaires, et à peu près semblables à ceux que nous avons trouvés dans le papyrus de Rhind (*). (Il est question, par exemple, de problèmes sur des nombres mélites eiphialitesy comme dit le texte d'Anatolius, c'est-à-dire sur des nombres de moutons ou de pommes — p^ov a les deux sens, — et sur des nombres de fioles). Un mot est particulièrement à remarquer dans le fragment d'Anatolius, il y est fait allusion aux méthodes helléniques et égyptiennes^ pour les multiplications et divisions. Le déchiffrement du papyrus de Rhind nous permet de deviner le sens de ces mots. Vous vous en souvenez, les Égyptiens, en fait de multiplications, n'effectuaient directement que la duplication, la multiplication par 2,

Q) Le papyrus grec d'Akhmim, dont il a été fait mention dans la troisième leçon, vient encore confirmer cette hypothèse sur le contenu de la logistique grecque.

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et, en fait de divisions, se contentaient de former les multiples successifs de Tun des nombres jusqu'à atteindre ou dépasser l'autre. Très probablement les Grecs auront feu de bonne heure trouver des procédés plus simples, analogues aux nôtres, pour effectuer les deux opérations, d'où la distinction de la méthode égyptienne et de la méthode hellénique. Et vous voyez par-là, disons-le en passant, que leur esprit mathématique sut s'appliquer même aux méthodes de calcul. Mais certainement ce ne fut pas de ce côté que se manifesta le mieux leur puissante originalité.

Les Pythagoriciens, ai-je dit, créèrent un mot nouveau, arithmétique y pour l'étude abstraite des nombres. iEn quoi consiste pour eux cette étude ? Quelles questions firent-ils entrer dans le cadre de l'arithmétique ? — Il n'est pas aisé de répondre avec beaucoup de précision. Nous n'avons des premiers Pythagoriciens aucun écrit qui puisse nous éclairer. Quelques passages du fameux dialogue de Platon où l'auteur fait parler un Pythagoricien, Timée de Locres, "quelques allusions d'Aristote, puis le petit traité de Nicomaque (P' siècle de notre ère) « l'Introduction arithmétique » , l'ouvrage de Théon de Smyrne (II"*® siècle), intitulé : ce ce qui, en Mathématiques, est utile pour la lecture de Platon (*) », enfin un fragment

(*) M. Dupuis en a publié récemment la traduction française. (Hachette, 92.) .

de Speusippe, neveu de Platon, conservé au milieu d'une compilation anonyme du IV"^® siècle : voilà à peu près tout ce qui peut servir à donner une idée bien sommaire d'ailleurs de l'arithmétique des Pythagoriciens. Il existe bien un traité complet que vous connaissez tous de nom, les Éléments d'Euclide, du 11°^® siècle avant l'ère chrétienne, où il serait naturel de chercher quelques indications sur le sujet qui nous occupe. Trois livres d'Euclide, les livres VII, VIII et IX , n'ont trait en eifet qu'à l'arithmétique. C'est là le type le plus ancien d'un traité systématique et théorique sur les propriétés des nombres. Toutes les démonstrations se font, il est vrai, avec l'appareil géométrique; les nombres, nombres entiers, sont représentés par des longueurs, et c'est sur des figures qu'on raisonne, mais, abstraction faite du mode de démonstration, nous avons là un véritable traité d'arithmétique ancienne. Nous pourrions nous demander, comme nous le ferons dans un instant pour la géométrie, si ce traité qui se présente d'une façon si achevée ne doit pas remonter au-delà d'Euclide, jusqu'aux VI""® et V"® siècles. Mais les sources que j'ai énumérées tout-à-l'heure, si elles ne nous font pas reconstruire avec précision l'arithmétique pythagoricienne, nous permettent du moins de lui reconnaître un esprit différent de celui de l'arithmétique euclidienne. De part et d'autre l'intuition géométrique se mêle aux considérations de nombres; seulement chez Euclide c'est la géométrie qui joue le principal rôle, et les figures géométriques sont formées de lignes

proprement dites; la traditioQ relative à raritlimèti""'^ pythagoricienne nous montre, au contraire, des fîgi géométriques se présentant comme ensemblede poi Les lignes sont ici des ffles d'unités-points ; une si de ces lignes pourra former, par exemple, un trianj une série de triangles superposés pourra fon une pyramide , etc. C'est l'étendue qui se résout unités, de façon à correspondre au nombre, et devient une sorte d'étendue-nombre, tandis que < Euclide la pensée est essentiellement géométrique : n'obtient des propositions d'arithmétique qu'en aj quant les résultats géométriques généraux desdèm( trations au cas où les longueurs seraient mesurées des nombres entiers ; les propriétés des nombres se voient qu'à travers des propriétés géométriques En dehors de cette distinction générale, les Pythî riciens se sont certainement préoccupés de quelc questions, dont nous ne trouvons pas trace chezEucl et inversement. — Si on voulait absolument rattat l'arithmétique d'Euclide à des travaux antérieurs. ne pourrait être qu'à des travaux ayant vu lej entre Platon et Euclide, et qui auraient créé uncoui arithmétique distinct du courant pythagoricien. Il assez curieux d'ailleurs que le courant nouveau i pas mis fin à l'ancien ; la tradition pythagoricie s'est poursuivie de son côté jusque dans Nicomat Thèon de Smyrne et même jusqu'au IV"* siècle notre ère.

Abstraction faite des rêveries mystiques sur

nombres, qu'il faut bien attribuer dans une certaine mesure aux Pythagoriciens, et dont je ne parlerai pas parce qu'il me paraît très difficile de dire exactement ce qu'il faut faire remonter jusqu'à eux, abordons enfin les questions arithmétiques que leur attribue la ♦ tradition.

Ils ont étudié les séries formées : 1 ° par les nombres entiers consécutifs ; 2® par les nombres impairs ; 3** par les nombres pairs, et ils ont établi que l'on a :

Les nombres obtenus par sommation des nombres entiers consécutifs étaient appelés par eux nombres triangulaires, les sommes des nombres impairs étaient tout naturellement appelées carrés, les sommes des nombres pairs étaient enfin les nombres hétéromèques.

En dehors des témoignages que nous fournissent à ce sujet Théon de Smyrne et Speusippe, un mot d'Aristote est assez significatif. Parmi les dix oppositions essentielles auxquelles, d'après lui, les Pythagoriciens ramenaient la distinction de toutes choses, il nomme l'impair et le pair, puis, plus loin, le carré et Yhétéromèque, faisant se correspondre l'impair et le carré, le pair et l'hétéromèque. Ajoutons que, dans le même chapitre des catégories, Aristote parle de la génération du carré, suivant les Pythagoriciens, par

Taddition du nombre impair 2n + 1 au carré n^. Ce n'est pas tout-à-fait sous cette forme qu'il le dit ; voici, en eifet, exactement ses expressions : Quand on entoure un carré d'un gnomon^ on a encore un carré. Arrêtons-nous un inii^tant sur l'interprétation de ce passage. Le gnomon des Pythagoriciens est la figure coudée à angle droit, telle que ABC, qui. reste quand on en supprime un carré plus petit.

Philolaiis y fait allusion dans un de ses fragments, ce qui pour nous est la preuve que cette notion remonte bien vraiment aux Pythagoriciens. Plus tard le sens en fut modifié et généralisé. Dans Euclide le gnomon est ce qui reste d'un parallélogramme dont on a supprimé un parallélogramme semblable ; et dans Héron d'Alexandrie le gnomon est défini : « tout ce qui, ajouté à un nombre ou à une figure, donne un tout semblable à ce à quoi il a été ajouté.» Cette définition conserve seulement la propriété essentielle du gnomon pythagoricien, celle à laquelle Philolaus et Aristote ont plusieurs fois fait allusion, à

savoir de changer la grandeur, mais non pas l'espèce de la figure autour de laquelle on la dispose.

Eh bien, il est aisé maintenant de comprendre que la phrase d'Aristote relative à la formation des carrés par les gnomons revient purement et simplement à la formation d'un carré par l'addition à n^ du nombre impair 2 n -|- 1 . — 1 représente le 1®^ carré, la figure en est un point. Le carré suivant 2 '^ ou 4 s'obtiendra en entourant ce point d'un gnomon formé de 3 points. Le carfé suivant, 3^ ou 9, s'obtient ensuite en entourant le précédent d'un gnomon formé de 5 points, et ainsi de suite

Nous trouvons donc dans la phrase d' Aristote la preuve incontestable que les Pythagoriciens ont bien sommé

les nombres impairs successifs 1 -{- 3 + 5 -|- En

même temps nous sommes éclairés sur leur façon de procéder, et pouvons nous laisser guider par cet exemple dans l'interprétation des deux autres faits : formation des nombres triangulaires et des nombres hétéromèques. La solution pythagoricienne ressort évidemment des figures suivantes où, d'une part, les triangles représentent les sommes 1, l-|-2> l^-^ + S, 1 4" 2 -|- 3 4" 4, et où, d'autre part, le triangle

LES PREMIERS MATHEMATICIENS OEECS !

dont la base a n points apparaît comme la moitié rectangle de n (n 4- 1) points :

C'est à peine s'il y a lieu de faire remarquer ens que les nombres hètèromèques sont les doubles

nombres triangulaires, 2, 4, 6, 8, étant les dou

del,2, 3,4,

Les Pythagoriciens ont très probablement a considère les nombres pyramidaux, sommes de n bres triangulaires successifs , et par conséquent m bres de points conteniis dans des figures pyramida Mais nous n'avons pas à cet égard des renseignemi assez précis. Ce que l'on peut citer de plus nat , es mot de Speusippe , que 4 est le premier nombre p; midal. C'est la somme des deux premiers nomi triangulaires 1 et 3.

Les Pythagoriciens distinguaient déjà les nom' plans et solides : ces expressions reviennent a souvent chez les auteurs qui reproduisent la tradi

pythagoricienne; Euclide en donne la définition au commencement du VII™® livre. Quand deux nombres, dit-il , se multipliant , font un nombre , celuiTci se nomme plan ( ctcito Joç ) . Quand trois nombres se multipliant font un nombre , celui-ci se nomme solide ( (jrepeog ). Que ces distinctions remontent bien aux Pythagoriciens, c'est ce qui résulte d'un passage du Timée , où il est dit qu'avec deux plans on peut former une progression géométrique, dont ils soient les termes extrêmes, ^n introduisant simplement un troisième plan comme moyen géométrique ; tandis que pour former avec deux solides une progression géométrique , il faut introduire deux moyens ; avec un seul ce serait impossible. Ce passage, qui a exercé la sagacité de pas mal de commentateurs, n'a de sens que si on voit dans ces plans et ces solides des nombres plans et des nombres solides^ répondant à la définition qu'en donne Euclide. Et avec cette interprétation, l'explication est assez claire : soient a &, a' V deux nombres plans, — a, 6, a', &', sont des nombres linéaires (nous dirions aujourd'hui premiers) ; et supposons qu'aucun des nombres a, &, ne soit égal à l'un des nombres a' , 6' . Un troisième nombre x permettant de former avec ceux-là, comme moyen, une progression géométrique doit être égal à [/^ a b x a' b'. Il faut et il suffit , pour que ce nombre soit entier et plan, que a et b soient égaux , ainsi qu'a' et b' ; on peut alors former à l'aide des nombres plans, a^ et a'^ , une proportion où le nombre plan a a' soit le terme moyen.

Prenons , au contraire , deux nombres solides abc, a' V d avec les mêmes hypothèses sur les facteurs qui les composent. La moyenne géométrique devrait être 1/ a è c X »' ^' c'. Or, a, h, c étant supposés distincts de a', 6', c', il est impossible de choisir les nombres solides de telle manière que le produit soit le carré d'un nombre solide. Il faut alors avoir recours à deux moyens, et cette fois, entre a & c et a' &' c', on pourra facilement choisir deux nombres ^lides satisfaisant à la question, c'est-à-dire en somme, donnant le même produit.

Exemple : ah c\a' V c.

Si les nombres solides sont des cubes a ^ et a' ^ ,

a^ a' et a a'^ , ou encore, dans Tordre inverse, a a'2 et a^ a', satisferont à la question.

Euclide démontre précisément qu'entre deux nombres carrés on peut insérer un moyen, et entre deux jcubes deux moyens proportionnels, et Nicomaque parlant de ces deux théorèmes d'Euclide les nomme platoniciens. Il fait donc allusion à ce passage du Timée qui, par conséquent, trouve bien dans cette interprétation son véritable sens(^). Et, d'autre part, à

(*) C'est à propos de la forme des corpuscules élémentaires des corps que se trouve amenée l'assertion mathématique de Platon. Son but est de montrer la nécessité de quatre espèces de ces corpuscules et non pas de trois seulement. Trois ne

cause du caractère pythagoricien de Timèe de Locres, les considérations qui précèdent peuvent être mises sur le compte des Pythagoriciens.

Or, elles sont alors fort instructives. En dehors de l'intérêt qui s'attache aux nombres plans et solides, elles témoignent de deux choses fort importantes :

A. Les Pythagoriciens ont étudié les proportions. —

B. Ils ont connu l'existence des irrationnelles ; ils ont su que 18l racine carrée d'un nombre ne peut pas toujours s'exprimer par un nombre. — Arrêtons-nous un instant sur ces deux points fondamentaux.

A. — Les arithméticiens grecs dont il nous reste quelques écrits s'occupent tous de ce qu'ils appellent analogies ou médiétés. Ce sont des groupes de trois nombres a, 6, m, tels que le rapport de deux différences

suffiraient pas pour que des solides, c'est-à-dire des volumes, s'exprimant, comme les parallélépipèdes rectangles équivalents, à l'aide de trois dimensions, pussent former une proportion géométrique. L'interprétation exposée ci-dessus qui se trouve dans Th. Martin, et qui avait été pressentie déjà par Proclus, Nicomaque, Jamblique et Macrobe, suppose que les dimensions des petits solides sont des nombres premiers, a Quoi de plus naturel, dit Th. Martin, que cette hypo- » thèse dans les habitudes de Platon ? Il a pensé que les » formes de ces quatre espèces de corps devaient être celles » de quatre polyèdres réguliers. Il a dû naturellement sup- » poser queles volumes de ces solides par eœcellejice devaient y> être exprimés par des nombres solides par excellence^ » c'est-à-dire que leurs trois dimensions linéaires devaient » être exprimées par des ?îow6re5 ^meatVes proprement diÏ5. »

formées avec eux soit égal au rapport de deux d'entre

eux. Exemple : ^l"^ =-^ .

En choisissant diversement les différences du premier rapport et les deux termes du second, les anciens étaient amenés à étudier un certain nombre de médiétés. Ainsi Théon de Smyrne en nomme dix. Trois d'entre elles étaient certainement connues des Pythagoriciens; un fragment d'Archytas, conservé par Porphyre, en fait foi. Ce senties médiétés arithmétique^ géométrique et harmonique^ définies par les égalités suivantes :

La l""® donne 2 m = a ^ b; mesi moyen arithmétique entre a et & ;

La 2°"® peut encore se définir : -^ = -^ , m est moyen géométrique entre a eib.

La 3°*® donne -^ = — -|- 4 » ^ ^ disons-nous encore aujourd'hui, est moyen harmonique entre a et b.

Le nom d'harmonique donné à cette dernière médiétè est à lui seul une marque de son origine pythagoricienne. Un passage de Philolaiis lui-même nous éclaire d'ailleurs là- dessus. Le cube y est appelé harmonie géométrique, en ce sens qu'il a ôffaces, 8 sommets, 12 arêtes. 6, 8, 12 forment bien la médiété

harmonique :

282 HUmÈMB LEÇON

Mais en même temps cette explication nous révèle l'origine de la dénortiination d'harmonique. Si, en effet au lieu de faire correspondre 1 à la première note de l'octave, on fait correspondre 6 pour n'avoir ensuite que des nombres entiers , c'est 8 qui correspondra à

la quarte, au lieu de-|-, et 12 à l'octave au lieu de 2.

6, 8, 12, sont essentiellement harmoniques.

Il importe de remarquer que l'étude des proportions chez les Pythagoriciens se fait à l'aide des nombres entiers. Bieiï que les résultats fournis par de telles proportions puissent s'appliquer, nous le savons bien, à n'importe quelle espèce de quantités proportionnelles, il n'en est pas moins vrai que théoriquement il y a une distance énorme entre une théorie des proportions faite uniquement «à l'aide des nombres arithmétiques et la vraie théorie des proportions, celle qui se trouve dans Euclide exposée sur des longueurs, et telle que tout ce qui sera établi sur

une proportion -^ = -^ s'appliquera, abstraction faite

de savoir si ces rapports sont ou non commensurables (*). Mais en tous cas on ne peut nier que la théorie

(*) Voici les définitions fondamentales de la proportionnalité, dans Euclide (Livre V, définitions, trad. Peyrard).

« Une raison est certaine manière d'être de deux grandeurs j> homogènes entre elles, suivant la quantité. Une proportion » est une identité de raisons. Des grandeurs sont dites avoir ^ une raison entre elles lorsque ces grandeurs étant multi- » pliées peuvent se surpasser mutuellement.

arithmétique des Pythagoriciens ne fût un acheminement vers celle d'Euclide.

B. — En second lieu, ai-je dit, les Pythagoriciens ont connu les irrationnelles. C'est là un fait capital. Nous en avons des preuves incontestables, d'abord par ce passage du Timée que j'ai cité tout-à-l'heure, puis par une affirmation très nette d'Eudème, l'historien des mathématiques, conservée par Proclus. «C'est à Pythagore, dit Eudème, que L'on doit la découverte des irrationnelles. » — Nous pouvons aller plus loin et indiquer comment, selon toutes probabilités, Pytha-

» Des grandeurs sont dites être en même raison, la pre- » mière à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque » des équimultiples quelconques de la première et de la troi- » sième, et d'autres équimultiples quelconques de la seconde » et de la quatrième sont tels que les premiers équimultiples ï> surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, » ou leur sont égaux à la fois, ou inférieurs à la fois. j>

En d'autres termes, a et b seront proportionnels à c et d, si, quels que soient les multiplicateurs entiers m et m', les mêmes signes d'inégalité ou d'égalité doivent être pris simultanément dans les relations que voici :

Cette définition, d'une entière clarté, qui supprime toute difficulté relative aux incommensurables , sert de base à la théorie de la similitude qu'Euclide expose dans le livre V.

gore y fut amené. Il savait que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit ; il connaissait déjà les noiïibres 3, A, 5, qui peuvent être ainsi côtés d'un triangle rectangle. L'idée dut lui venir tout naturellement de chercher d'autres groupes dénombres simples présentant cette remarquable propriété. Un procédé simple, comme l'indique M. Gantor, consistait à se donner des nombres pour les côtés de l'angle droit et à calculer ensuite la longueur de l'hypoténuse. Or, il suffisait de se donner 1 et 1 pour que le calcul . de l'hypoténuse posât le problème de l'extraction de la racine carrée de 2. Pythagore dut essayer des nombres fractionnaires compris entre 1 et 2, et, ne réussissant pas à en trouver un dont le carré fui 2, fut conduit à penser qu'il n'en existe pas, enfin il le démontra. Ici ce n'est plus une hypothèse, et nous pouvons même, d'après un témoignage d'Aristote, dire quelle fut sa démonstration. Elle est fondée, d'après le Stagirite, sur ce qu'un même nombre ne saurait être à la fois pair et impair. Or, justement l'une des démonstrations d'Euclide repose sur le même fait; nous sommes ainsi fondés à faire remonter aux Pythagoriciens cette démonstration euclidienne, qui, dans notre langage moderne, se réduit à ceci :

Supposons que l'hypoténuse et le côté du triangle rectangle isocèle soient entre eux comme les nombres entiers, premiers entre eux, a et b. Alors on a

-|j-= 2, ou «2=26^; a~, et par suite a est donc un

nombre pair, et dès lors b est impair. Mais soit a = 2 a", r égalité

ou 2 a'^ = 6-

montre aussi que &^ et par suite b est pair : b serait ainsi à la fois pair et impair, ce qui est absurde. — Donc il n'existe pas de couple d'entiers dont le rapport puisse représenter l^T^.

Nos renseignements sur cette question vont jusqu'à permettre de préciser que Pythagore ne s'occupa que de l'irrationnelle P^2". Il ne généralisa pas son théorème pour k^, car, d'après un témoignage de Platon, c'est le mathématicien Théodore de Gyrène qui, le premier, étudia |/3^. Celui-ci alla jusqu'à kT7-

J'ai dit que Pythagore dut être naturellement conduit à chercher les groupes de 3 nombres entiers capables de former un triangle rectangle, à résoudre, en nombres entiers, comme nous dirions aujourd'hui, l'équation x^ -[- y^ = z^.

Nous connaissons même, par Proclus, une solution de ce problème assez curieuse, due aux Pythagoriciens, sans doute à Pythagore lui-même. Elle consiste à prendre pour le plus petit côté un nombre impair, 2 n -f- 1> po^r l'autre côté de l'angle droit, la

moitié du carré de ce nombre moins 1 j i^^-^ j

et enfin Thypoténuse est alors la moitié du carré

augmenté de 1 1 ^ ^ ' ^ ^ J

M. Gantor pense que Pythagore put y être conduit par la suite d'idées* qu'expriment dans notre langue les égalités suivantes. On doit avoir :

y2^z2 x ^(z-fx) (Z — X).

Or, en comparant à l'identité

on posera z + x=5(2n4- 1)^

z — x= 1, ce qui donne pour x et pour z

Enfin je crois que cet exposé des questions d'arithmétique pythagoricienne sera complet, du moins dans la mesure de nos connaissances, si j'ajoute que les Pythagoriciens ont déjà étudié une catégorie de nombres qui jouera, chez Euclide, un rôle assez important, celle des nombres parfaits. Le nombre parfait est celui qui est égal à la somme de ses facteurs ; 6 par exemple , est égal à la somme 1 4" 2 -|- 3 , 28 = 1 -f 2 + 4 + 7 4- 14 ; 496, etc. — Un nombre supérieur à la somme de ses diviseurs se nomme déficient, un nombre inférieur abondant. —

Ces distinctions qui se trouvent dans Euclide remontent sûrement aux Pythagoriciens, puisqu'Aristote, dans sa métaphysique, leur attribue le nombre parfait.

Il est temps d'en venir à la Géométrie.

Si les premiers arithméticiens grecs furent les Pythagoriciens, la tradition désigne Thaïes comme le premier géomètre. Eudéme , dans le fragment cité par Proclus, lui attribue les propositions énonçant :

L'égalité des angles à la base d'un triangle isocèle ;

L'égalité des angles opposés par le sommet ;

La division du cercle par un diatnètre en deux parties égales ;

Et l'égalité de deux triangles qui ont un côté égal compris entre deux angles égaux.

Mais Eudème possédait-il un ouvrage remontant à Thaïes, ou bien procédait-il par conjectures pour lui attribuer ces connaissances ? Il est très probable qu' Eudème procède indirectement, supposant chez „Thalès la connaissance de tel théorème qu'il juge nécessaire à tel problème pratique résolu par le Milésien. M. Tannery, qui s'est appliqué à mettre ce point en évidence, se fonde sur un texte précis de Proclus : « Eudème; y est-il dit, fait remonter à Thaïes le théorème de l'égalité de deux triangles qui ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, car il dit que Thaïes devait nécessairement s'en servir d'après la manière dont on rapporte qu'il déterminait la distance des vaisseaux en mer.» Or, voici un procédé, certainement employé

à Rome, et si simple que M. Tannery n'hésite pas à y voir le procédé de Thaïes.

Soit B le point inaccessible dont on veut connaître la distance au ^oint A. On élève en A sur le terrain la perpendiculaire à AB, et on porte sur cette perpendiculaire, à la suite Tune et Tautre, deux longueurs égales AD, DG; puis on élève en G la perpendiculaire à AG, en sens inverse de AB^ jusqu'à sa rencontre en E avec DB : GE représente la longueur cherchée.

Il est clair que, pour l'établir rigoureusement, on devra dire : les triangles A B D ^ D G E sont égaux comme ayant un côté égal (AD=DG) compris entre deux angles égaux : '5 et S sont droits, et les angles en D sont opposés par le sommet. — Ainsi ce n'est pas seulement ce cas d'égalité des triangles, c'est aussi l'égalité des angles opposés par le sommet, dont cette démonstration supposerait la connaissance, et cette deuxième proposition est justement une de celles qu'Eudème attribuait aussi à Thaïes. Du reste, au sujet de cette proposition, Eudème dit lui-même: «Thaïes l'a découverte, mais Euclide l'a démontrée.»

LES PREMIERS MATHEMATICIENS GRECS 2f

Rien ne nous autorise plusdèslorsàdire que Thaï ait démontré aucun des théorèmes qu'on lui attribu' et nous n'avons pas de raison sérieuse de voir ( lui le penseur qui rompt avec la science égyptienn avec la science pratique , pour créer la géomèti grecque. Il est très possible que Thaïes , en gèomètr comme en physique générale , servit bien plutôt i lien entre la science égyptienne et la science grecqu en transportant à Milet un certain nombre de procéda de pratiques , de connaissances courantes , et donna ainsi l'élan pour une foule de questions.

Un seul témoignage pourrait faire hésiter pour géométrie ; c'est celui de Pamphila , du l" siècle i notre ère, — cité par Diogène Laerce, — suivant lequ Thaïes aurait le premier inscrit le triangle rectang dans un demi-cercle. Il s'agit évidemment de cet propriété que les angles inscrits dans un derai-cerc sont droits. Les historiens des mathématiques M. Gantor, par exemple, ont généralement conclu < ce témoignage de Pamphila à la connaissance ch Thaïes du théorème relatif à la somme des angles d'i triangle. Eudèmeen attribue, il est vrai, la démonstr lion aux Pythagoriciens ; mais un passage de Geminu suivant lequel l'étude du cas général a été précédée < celle de quelques cas particuliers , a laissé croire q les cas particuliers avaient été le fait de Thaïes. C'< là une opinion qui n'est rien moins que fondée , quant au théorème de l'angle droit inscrit dans i demi-cercle , il n'exige même pas théoriqueraen i9

pour être établi^ la connaissance de la somme des angles d'un triangle. — « En somme, dit M. Tannerj, » la tradition relative à Thaïes se réduit probablement » à des données relatives à des problèmes pratiques. »

C'est très vraisemblablement Pythagore qui, le premier, va imprimer à la géométrie grecque le cachet de science abstraite et démonstrative qui la caractérise. Du reste, le fragment historique de Proclus qui se rattache plus ou moins directement à Eudème , dit formellement : « Pythagore transforma l'étude de la « géométrie et en fit un enseignement libéral , car il » remonta aux principes supérieurs et rechercha les » problèmes abstraitement et par l'intelligence pure. »

La démonstration , telle que nous la trouvons dans Euclide, telle qu'elle est restée la marque la plus caractéristique peut-être des sciences mathématiques, plus encore que la nature des objets qu'elles étudient, — cette démonstration a donc été très probablement introduite par Pythagore.

Mais ce n'est pas seulement la méthode de démonstration euclidienne que nous sommes en droit de faire remonter jusqu'à lui : une partie fort importante des éléments d'Euclide semble aujourd'hui lui être due également.

Dans son livre sur la Géométrie grecque, exemple remarquable de ce que peuvent, pour la reconstruction de l'histoire des idées, les méthodes combinées de critique historique et philologique , M. Tannery nous donne un chapitre particulièrement intéressant sur

« la tradition relative à Pythagore. » Je ne résiste pas au désir de vous en indiquer les traits principaux.

Il s'agit de savoir d'abord à quelles sources puisait l'historien des mathématiques, Eudème, dont Proclus nous conserve quelques fragments , pour ce qui concerne les mathématiciens antérieurs à Euclide; et M. Tannery va découvrir, parmi les nuages de cette époque lointaine, absolument comme fit Leverrier pour sa planète , un traité de Géométrie composé par les Pythagoriciens, publié vers le milieu du V™® siècle, et sur le modèle duquel auraient été écrits , 150 ans plus tard, les Éléments d'Euclide, — en le complétant bien entendu.

Le point de départ de cette découverte est dans un passage de Jamblique mal interprété jusqu'ici : « Voici, y est-il dit, comment les Pythagoriciens disent que la géométrie fut rendue publique. L'argent des Pythagoriciens fut perdu par l'un d'eux; à la suite de ce malheur , on lui accorda de battre monnaie avec la Géométrie » Viennent ensuite ces mots :

« IxaXeÎTo ^6 -h YewjAeTpia Trpo; TUuSayopou tdTopia. » Ils avaient été traduits jusqu'ici : la géométrie fut appelée par Pythagore histoire, — ce qui n'avait aucun sens. M. Tannery leur donne la signification , plus correcte d'abord, et ensuite plus claire : la Géométrie fut appelée tradition suivant Pythagore. En d'autres ternies, les Pythagoriciens publièrent un traité de géométrie, qui dut prendre le titre : tradition suivant Pythagore , —

et c'est ce traité qu'Eudème eut sans doute entre les mains.

Je vous laisse le soin de voir dans le livre même de M. Tannery comment il achève de nous faire partager sa conviction , comment en particulier , il réduit à ses justes proportions la fameuse légende du secret pythagoricien , et comment il fixe la date du traité , dont il a fait la découverte. Ce qui nous intéresse davantage maintenant , c'est de savoir ce que contenait ce traité. Or, voici, à cet égard, la méthode que suitM; Tannery.

Entre Pythagore et Euclide quels sont les travaux, rentrant dans le cadre des Éléments , que la tradition nous signale? Cette liste dressée, rien ne nous empêche d'attribuer aux Pythagoriciens tout ce qui restera des Éléments. — Mais d'un autre côté , il est aisé de faire le décompte des connaissances attribuées à Pythagore : comparons-le aux résultats de la preniière enquête, et, s'il y a accord dans les conclusions, nous aurons de fortes chances de tenir la vérité.

Depuis les premiers Pythagoriciens jusqu'à Euclide, c'est, d'après Proclus , Eudoxe et Théétète, qui ont joué le rôle le plus important dans la constitution des Éléments. Des témoignages précis et concordants permettent d'attribuer à Eudoxe le V""® livre des Éléments , c'est-à-dire la théorie de la proportionnalité-, telle, je l'ai déjà dit, que les définitions et les raisonnements laissent de côté la question de l'incommensurabilité des longueurs ; — et , en outre^ les théorèmes du livre XII relatifs au volume de la pyramide et du cône.

— Quant à Thèétète , disciple de Socrate , on peut le regarder comme l'auteur de la théorie des incommensurables , exposée dans le livre X, — et lui attribuer en même temps le livre XIII consacré à la construction des polyèdres réguliers. Si donc nous retranchons encore les livres VII, VIII, IX, traitant d'arithmétique , dans un esprit différent , avons-nous dit , de l'arithmétique pythagoricienne, ce qui reste de l'œuvre d'Euclide peut , sans contradiction manifeste , être attribué aux Pythagoriciens.

Il reste , pour achever de faire la lumière , à énumérer les données précises que nous fournit pour les Pythagoriciensle commentaire de Proclus sur Euclide:

1° « Eudème fait remonter aux Pythagoriciens , » dit Proclus , l'invention de ce théorème , que dans » un triangle la somme des angles vaut deux droits, » et il dit qu'ils le démontraient comme il suit : Par le » sommet A du triangle ABC, menons D E parallèle » à B G. Puisque B G , D E sont parallèles et que les » angles alternes internes sont égaux , on a : E A D

DAB = ABG

et EAG = AGB

» Ajoutez de part et d'autre BAG. On aura donc :

DAB + BAC 4- GAE, » c'est-à-dire DAB + BAE,

» c'est-à-dire deux droits =la somme des trois angles » du triangle AB G. La somme des angles d'un triangle » est donc égale à deux droits. Telle est la dèmonstra- » tion des Pythagoriciens. »

Ils possédaient donc , vous le voyez , la théorie des parallèles.

2"* « Si six triangles équilatéraux ou trois hexagones, » ou quatre carrés assemblés par Je sommet remplis- » sent exactement quatre droits, et ce sont les seuls, » c'est là un théorème pythagoricien. »

Les Pythagoriciens avaient étudié les polygones réguliers.

3** « Si l'on écoute ceux qui veulent raconter l'his- » toire des anciens temps , à propos du théorème du » carré de l'hypoténuse, on peut en trouver qui attri- » buent ce théorème à Pythagore et lui font sacrifier » un bœuf après sa découverte. »

Vous vous rappelez que nous avons trouvé la connaissance dé ce théorème en Egypte et en C3iine , très probablement aussi dans l'Inde.- Pythagore le rencontra donc, au moins dans le cas particulier du triangle 3, 4, 5, et en donna sans doute une démonstration générale. Sur cette démonstration, nous ne savons absolument rien. Proclus laisse entendre quelque part que ce n'était pas celle d'Euclide, renseignement insuffisant à nous éclairer.

4° « Ce sont, nous dit-on d'après Eudème, d'an- » ciennes découvertes dues à la muse des Pythagori- » ciens , que la parabole des aires , leur hyperbole ou

» leur ellipse. C'est de là que plus tard on prit ces noms » pour les transporter aux coniques; tandis que, pour » ces hommes anciens et divins , c'était dans la cons- » traction plane des aires sur une droite déterminée » qu'apparaissait la signification des termes. Si vous » prenez la droite tout entière et que vous y terminiez » Taire donnée , on dit que vous faites la parabole de » cette aire ; si vous lui donnez une longueur qui dé- » passe la droite, c'est l'hyperbole; si une longueur » qui lui soit inférieure, c'est l'ellipse , une partie de la » droite restant en dehors de l'aire construite. » . . . . C'est là un document d'une extrême importance. Ces problèmes dont Euclide achève de nous donner le sens précis, reviennent en somme à la construction de longueurs, dont on connaît d'une part le produit (l'aire du rectangle construit sur elles) , et d'autre part la somme ou la différence. En langage moderne, en effet, voyez de quoi il s'agit:

p étant la longueur donnée AB , et S étant l'aire dont on demande de faire la parabole ; le problème de la parabole simple sera défini par l'équation

[Trouver une longueur x telle qlie le rectangle construit sur x^B et x ait une aire égale à S. (fig. 1)].

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Le problème de la parabole en hyperbole sera défini par l'équation

S=px+x2

[Trouver une longueur BG = x telle que le reo tangle construit sur les deux longueurs AG (p+x) et x, — c'est-à-dire le rectangle AGDE, (fig. 2) ait une aire égale à S ] .

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