FONCTIONS IMPLICITES. INDÉPENDANCE DES FONCTIONS. FORMES QUADRATIQUES

La théorie des fonctions implicites est fort utile, pour la théorie des enveloppes, en (léométrie et dans un grand nombre de questions d'Analyse.

iNous allons la faire, dans le domaine réel et nous la referons, plus loin, pour les fonctions holomorphes ou analytiques,

La théorie des formes quadratiques sera ébauchée, comme application de la théorie de l'indépendance des fonctions, et à cause de son intérêt fondamental.

II est un minimum d'Algèbre que l'Analyse a besoin de connaître.

L Fonctions implicites. — Nous avons la relation : F(ar,^) = o, Peut-on en déduire une relation équivalente, dans un certain domaine :

Tel est le problème, dans le cas le plus simple. Résolvons-le, avec M. Goursat, par les approximations successives.

Premier cas : y=^f{x^ y), — Nous faisons plusieurs hypo-

thèses sur/. D'abord, nous sup\)osoi\ii / lipschitzienne en y, c'eslà-dire :

l/(^, yi ) - /(.^^ yt) I < H I j^, - yt l

Pélanl un nombre yï/îi. Ceci a lieu certainement si /est dérivablr eny^ la dérivée/',, étant bornée ( * ).

Nous admettrons que ceci ait lieu.

Supposons : 2**/(o, o) =o, et 3° f{jc^y) continu quand on a

Ëndn, 4" Z"'^'^**^'" *'^ sorte que nous prenons pour valeur de P ce nombre K

Prouvons alors que l'équation

a une solution et une seule ^ passant par r origine et continu^. Nous poserons

i" Montrons qu'en prenant x assez petit, |j'i|, ..., Ij'nl? ••• restent inférieurs à b. Par hypotlirse pour |.27|<a et |jk|<^i on a

l/(^,r)-/(^'0)|<K|j'| K <i; d'oii

l/(^.r)i<lr.|-^K|j|.

Gomme ^1 tend vers zéro avec x, nous pourrons prendre un nombre a'^a tel que, x restant compris entre — a' et -ha', on

ait

Si 1^1 est inférieur à é, on aura donc

pourvu que x soit compris entre — «'et -\- a\ Il s'ensuit que \y*h •••' ly«l' ••• seront tous inférieurs à 6.

(^) Voir les travaux de M. Lebesgue.