FRACTIONS IMPLICITES. INDEPENDANCE DES FONCTIONS

2° Montrons que y« tend vers une limite lorsque n croît indéfiniment. Soit la série

M ^1 ■+- (ri— ri ) -^ (ra — Jî) H- . . .-+- ( V,|— Vn-l ) -h . . . .

Des relations on tire, d'après la condition de Lipschitz (qui est vérifiée).

Donc la série converge absolument et uniformément et la somme est une fonction continue.

Faisons la vérification.

*\insi yn tend vers une limite \ lorsque n augmente indéfiniment. Cette limite Y est une racine de l'équation (3), car la relation

devient, en passant à la limite, f(x^y) étant continue :

Y est une fonction de la variable x définie dans rinlervalle ( — (('^ -ha'). On a d'ailleurs

ce qui montre que Y tend vers zéro en même temps que x,

Uéquation n'admet pas d'autre racine tendant vers zéro avec X. Soit en effet Z une racine, inférieure à 6 en valeur absolue; des deux relations

Z = /(ar, Z), y,^ = /(r, yn-\ ) on déduit

|Z-j'J<K|Z-^,,|, et par suite

Donc Z — y,i tend vers zéro avec -•

4 CHAPITRB I.

Mais lim y„ = Y, donc nous avons ( • )

Deuxième cas : F(x^y)=zo. — Soit une fonction F(Xsy), nulle au point {xq, ^o), continue en x et en x, /a dérivée

n étant pas nulle^ nous avons^ autour de ce points une solution unique y =^ ^{x).

Il suffit, en efl'et, de remplacer Féquation F( J7, y) = o, par celle-ci

et l'on est ramené au cas précédent.

Nous prendrons

a = — r^o, jo) 7^ o,

de sorte que nous aurons

/(jro,yo) = o et

Nous sommes bien dans les conditions voulues.

Si nous dessinons la courbe F := o, nous voj'ons bien que nous sommes arrêtés, dans le problème qui nous occupe, par les points multiples et les points à tangente verticale.

Troisième cas, — Soient p fonctions, /,(j?i,j7j,...,./-„;7,,7,,...,^,,)i ..., /p(^i^^ti"",^n\yi,yi,';yp), des n-\-jj variables Xi^y/f, continues et admettant des dérivées parlielles continues j^ dans le voisinage des valeurs a:j=o,

(») Comme pour les équations difTércntiellcs (t. I, Cliap. XI) l'unicilé de solution est prouvée seulement autour de l'origine.