Problème (*). — Déterminer sur le segment ( > -f

fonction F (x) telle que F (o) = Ao, F;,, = A, . . ., ^^ = A„, . , ., A„ étant des nombres donnés quelconques, et qui soit analytique sur tout le segment ( » 4-- )> sauf peut-être à l'origine.

A cet effet, remarquons que la série

oii/(p) est un entier positif quelconque et e^ = ±: i, est absolument et uniformément convergente pour ..x^-y ainsi que ses dérivées de tous les ordres; de plus, elle est analytique sur tout ce segment, sauf peul-êlre à l^origine.

Il en sera donc de même de la fonction

(16) F(x) = \',-^ \\x -^^tpXP[(i- x^)f^p^- b^l

où o < 6^^ I, lorsque e^ =z 4- 1 ; et i 1 &,, < 2, lorsque e^ =: — 1 et de plus ^0= ^1 = '• Je dis que, parmi les fonctions (16), il y en a toujours une et une seule qui satisfait au problèmCy pourvu que Ton pose Zp = i chaque fois que/(/?) =1 o. En effet, la série T{x) et ses dérivées étant uniformément convergentes, on aura leurs valeurs à Torigine en faisant .r = o dans les séries correspondantes. En d'autres termes, si, après avoir développé (i — x^y^P\ on réunit les mêmes puissances de x dans la série ( 16), le terme libre sera F(o), le coefficient de x sera F'(o); et, en général, le coefficient de x**

sera Donc, pour résoudre le problème, il faut et il suffit de

( ' ) Cf. BouEL, Leçons sur les fondions de variables réelles, p. 68.

SUR LES SÉBIES NORMALES. ly^

satisfaire aux équations

j Ai -h eo(i — 60) = Ao,

l ei(i — 6,) — eo/(o) = Aï,

a;-+-£i(i — ôi) = Al,

D'où Ton tire d'abord A^ =: A^, A', = A,, puisque 60=61 = 1. Posons, d'autre part, A,, = an 4-(3«, où a„ est un nombre entier et oljâ;,< I. Faisons ensuite ô„ = j — £„;/„ et remarquons que les conditions relatives à b^ entraînent o5y„< i.

Les équations (17) prennent la forme

(\7bis)

Yî— eo/(o) = aj-hp„

Ta— e,/(i) = aa-l-?3,

Donc

et enfin

/ —60/(0) = aj, — sj /( ^) -*- ^0 ; = «4»

(r8) y — ^«/'/(2/^)-^ ^îp-« ^ ='"=^tp-hiy

et — 61/(0 = ««»

^tp-tA V — -»- Êîp- s • — -"^i-^ = • . • = «ÎP-+-1

Les équations (18) déterminent successivement les produits £0/(0), €1/(2), etc., et Ton devra attribuer chaque fois à /la valeur absolue du produit et à £(= ±: i) son signe; /(i), £p/(3), £3, etc., se déterminent pareillement.

Le problème est donc résolu.

5. Généralisation. — Il suffira d*ajouter quelques simples remarques pour résoudre le problème plus général de déterminer une /onction de la variable réelle ayant des dérivées données de tous les ordres en plusieurs points.

En effet, pour résoudre le problème général, il suffira de savoir construire une fonction ^ (x) telle que ses dérivées de tous les ordres s^annulent aux. points a^, ^S) • • •) ^/-i> ^1+1» >••) <^a et prennent des valeurs données quelconques au point a/. Nous pouvons supposer, pour fixer les idées, at = o, et déterminons, comme nous venons de le faire, une fonction F(x) par la condition que pour a? = o toutes ses dérivées soient égales à celles de la fonction

Dans ces conditions, la fonction

aura à Torigine des dérivées égales à celles que devait avoir ^{a:) et des dérivées toutes nulles aux points a,, a,, . . ., a/i, Oi^^y , . ., a,.

Mais la généralité même de la méthode indiquée, qui conduit à attribuer une valeur à une série divergente quelconque, en est un

SUR LES SÉRIES NORMALES. SyS

défaut qui diminue notablement son intérêt pratique : une méthode qui donne toujours une fonction sans singularités sur un segment déterminé ne donne évidemment pas, en général, la fonction qu^on obtiendrait par prolongement analytique, dans le cas où le rayon de convergence de la série de Taylor donnée est non nul .

On pourrait, sans doute, appliquer les séries normales pour sommer pratiquement (*) les séries de Taylor divergentes; mais je crois qu'il est moins conforme à la nature des séries normales de procéder ainsi que de les employer directement à intégrer les équations différentielles qui conduisent à des séries de Taylor divergentes ('). Celte remarque me conduit à indiquer une méthode générale pour développer directement en séries de polynômes qu'on pourra, si Ton veut, transformer en séries normales (§ 2), les intégrales des équations dilTérentielles, dont les développements de Taylor ont des rayons de convergence nuls.

IV. — Application de la méthode aux équations différentielles.

6. Intégration de Inéquation différentielle •^ = — y -\~1? {x), — Considérons d^abord Téquation diflerentielle

et cherchons son intégrale qui s^annule, lorsque x tend vers zéro par valeurs positives. En écrivant a priori

(20) ^ = aia?-f-.. .-l-a,jar«-h. . .,

on est amené à attribuer aux coefficients de la série (20) les valeurs

La série (20) serait donc partout divergente.

Nous allons pourtant démontrer que l'intégrale en question existe effectivement y en la développant en une série de polynômes convergente uniformément, ainsi que toutes ses dérivées^ pour o^ j?S i et ayanty par conséquent ^ le développement (20) comme développement de Taylor (ou asymptotique) à l'origine,

A cet effet, faisons les deux remarques suivantes :

( * ) Voir BoREL, Leçons sur les séries divergentes, ^^) Voir ma Thèse.

276 SEftGB BERNSTEIN.

Première Remarque. — L'équation différentielle

x^ -^ =— ^ -t- A|(3r*-4- a?) -h At(2a7'H- J?*) -h. . .H- An(/iar«-»->-f- a?'»)

a pour intégrale^ qui s* annule à l'origine^ le polynôme

Ai a? -4- At a?* -H.,. -h A«rF«,

quelles que soient les constantes A,, A,, ..., A».

Deuxième Remarque. — «Si / est une intégrale s'annulant à l'origine de Inéquation

ou |P (.r) I < ùt sur un segment OB de l'axe positifs on aura sur le même segment | j | .< a.

En effet, si y, qui est nul à IWigine, atteignait, en croissant, la valeur de oc, on aurait en même temps y =^ ot, et -^ ^o, ce qui est incompatible avec Téquation (21) et Thypothèse faite sur P(.r).

Il résulte aussi de ce que |/ | < a et |P (^) | < a, que Ceci posé, considérons le polynôme

x(i — a?)"-» = a: ~ Ci, a7»-f- CJ,a:». . ,(— i)«-*a7'»,

qui reste, en valeur absolue, inférieur à -> lorsque o5j?5 i. Maison

peut évidemment identifier un polynôme quelconque de degré n, sans terme libre, à une expression de la forme

Aoar-h Ai(ar*-har)-i-...-H A„i[(/i — 1)3?»-+- a?»-*]. En particulier, on aura

(22) x(i — ar)«-i = Aî,"-»îa? -4- A««-»î(ar«-h a^) H-. . .

-♦- Air-i*n('* — i)a?«-4- a7«-«],

(/i-i)A<.'L-,t)==(,)„-,Cji}, (n^2)Al,'«V)+AÎ-i'> = (-i)«-«CSiî, • ï

xa;;-»+a;--." = (-')*c*-.,,

D*où, successivement.

Ai».-,' ) = L LL ( C7-Î + il2^ ) ,

(.3) A<-.) = (,)*^[-CA;, + i C*±t +

aj?

Gjtî-

Cg-{

Sans examiner de plus près les valeurs des coefficients A^, remarquerons seulement que, quel que soit le nombre /t, on déterminer N assez grand pour qu'on ait

dès que n > N.

Ceci posé, divisons Tégalité (22) par AJ,'*"'^ et posons

nous aurons

nous peut

= ar — j B^^-i^Carî-h ar) -H. . .4- B5,'LV[(i — i)a?'»^- ar'^-M ! ;

donc, pour n suffisamment grand,

(^4) où

\^-M^)\< -rrûTT) < TnrTi

Or, en vertu de la première remarque, Téquation

admet une intégrale /„ s'annulant à Torigine

(25) ^„= B^,"-» J a: -+-... -f-BS».-!*'^"-*- . . . .

2y% SERGE BBRNSTEIN.

En attribuant à n des valeurs entières croissantes, ou conclut de la seconde remarque que la série de polynômes

converge uniformément pour ola?^ i, cary„+, — y„ étant une solution, qui s'annule à Torigine, de Téquation

on a

puisque

|A,(ar)-/„(a7)|<^.

De plus, la fonction y définie par la série (26) sera Tintégrale s^annulant à Torigine de Téquation

^*^=-r + /i(^) + [/î(^)-/i(^}]^-...+ [/«(^)-/«-iWJ-...

ou de Téquation ( 19)

puisque

Il résulte enfin de Tinégalilé | /n-n — /« | < "Xm* ^"* ® ^'®"» ^"^^

que soit h^ pour des valeurs de n assez grandes^ que la série (26) est indéfiniment dérivable (*), et, par conséquent, y a la série (20) pour série de Taylor.

Voici, à présent, comment on pourra intégrer l'équation générale

où P(^) est une fonction quelconque holomorphe et nulle à Torigine

P(j7)= 6oiF+ 6,a?«4-...-4-6„ar«-»-'-i-....

( * ) S. Bernstein, Sur V approximation des fonctions continues par des polynômes^ théorème V {Comptes rendus^ 27 février 1911). On pourrait aussi déduire

dy d^ Y direclement de Téquation (19) que les séries représentant x"^-^! ^^TTa' ^^^'

CLX cLX

convergent uniformément.

En cherchant de nouveau la solution qui s'annule à Torigine, on obtient, en général, une série de Taylor partout divergente. Je dis que cette solution Y existe égaleoaent; de plus, y étant la solution (26) que nous venons de trouver de Téquation (19), on a

où la constante

et F (07) est une fonction holomorphe à Torigine. En effet, identifions

(28) P(ar) = 6oar-h6ia?s-i-...-h6„a:«+»-4-...= Aoa?-+-A,(ir«-ha?)-+-...

H-A„(/iar«-^>-4-ar«)-|-

Nous en tirerons immédiatement les formules (27) comme nous avions obtenu les formules (28), si nous nous arrêtons à une valeur déterminée de n :

Art = — 9 n

bn-\ bn

An-i =

* k k(k-hi) k{k-^i)(k+ciy -^^ ^' k{k-\-\)...n

Ao =6o-6.-i--^-H... + (-i)«^.

Mais en faisant croître n indéfiniment, nous voyons que tous les coefficients A ;t tendent vers des limites déterminées, qui font converger le second membre de (28) à l'intérieur du cercle de convergence de P(j7). Par conséquent, il suffira de prolonger indéfiniment ces seconds membres des formules approchées (27) pour avoir les valeurs exactes des coefficients A^t :

1 Ao=6o-6,+ ^ +...-^(-i)«^+...,

28o 8EBGB BERN6TE1N.

La série (si8) se décompose en deux parties : Ao^* et

Fi(ar) = Ai(a:«H-ar) -I-. . .-h A„(nx«-^»-+-ar'») -h. . .. L'équation

aura pour intégrale s^annulant à Torigine A^y = ^Ï^V étant donné par la formule (si6), et Téqualion

aura pour intégrale

F(ar) =s Aiar-H Ata:« + .. .-h A«a?«-+-. ..,

qui est holomorphe à l^origine. Donc

Y = ar + F(x).

7. Relation de la méthode proposée avec la théorie des séries sommables de M. BoreL — Quoique les lignes suivantes m^éloignent encore des séries normales, il me semble utile de terminer cette Note en indiquant le lien étroit entre le procédé d'intégration du paragraphe précédent et la théorie bien connue des séries divergentes de M. Borel qui, comme on sait, est également applicable à l'équation (21). Dans ce but, reprenons nos calculs en supposant ;r(i — j:)'*"* remplacé par un polynôme quelconque

R«(a?) = [GSzîart-CSzîar^-i-h... -h (-i)«-iCS.,ar] (-!)'«-«,

où nous conservons les mêmes lettres pour les coefficients qui sont à présent arbitraires en valeur absolue.

Il est facile de voir quelle est la condition générale qu'on doit imposer au polynôme Rn(^) et que nous appellerons condition A.

Condition A. — La condition nécessaire et suffisante pour que la méthode d' intégration du paragraphe précédent^ où l'on remplace x{i — a:)"~* par R^(j:), conduise également à une expression de la solution^ convergente pour oSx^h^ est que

G^t + GA,,^~c;,-^..:+ ^^^^^^, cgz{

tende uniformément verso avec -, lorsque O-xSh.

Il suffit, en effet, de remarquer que les A^/~*^ étant toujours donnés par les fornaules (a3), on a, en posant comme précédemment,

nin-X) ^k

où

/«(a:) = B'«-»J(x«-ha?) -t-. . .-h Bl.'lri^^K/i — i)a7«-h a?«-ï].

Par conséquent, il sera nécessaire et suffisant que l'expression (29) tende vers zéro pour que le polynôme

(25) yn = Bi'»-iïa: -h. . .-h BJ/LV'ar'»-»

tende uniformément vers la solution cherchée^ de Téquation (19). Or, voyons comment le polynôme (29) est lié au développement (so) partout divergent de y. On a, évidemment,

LcA -4 ' çk+i I , î rn-\

ou bien, en remplaçant Tindice (n — i) par n^ et en remarquant que, dans la série divergente ( 20), a^ = ( — i )*~ ^{^'— i ) î >

= éiA =akV^ '.

Ainsi, nos polynômes approchés se mettent sous la forme

où tous les >. sont positifs et inférieurs à i.

, Rappelons, d'autre part, les principes fondamentaux de la théorie des séries divergentes.

Soient une série quelconque

S = wj -+- Mj -h . . . -h a„ -h . , .

282 SBRGB BBHNSTBIN

et ses sommes partielles

S, = ui-hUi,

Nous considérerons avec M. Borel les sommes

S^") = a',«> S, + ûti«> S, 4- . . . H- a;«î S„,

tous les a étant positifs. Il convient de donner le nom de sommes de M. Borel aux sommes S^"^ jouissant des propriétés suivantes :

I" ait*' tend vers zéro^ si, k étant quelconque^ mais fixe^ n croit indéfiniment.

20 a^j'')4- «(«) 4.. . 4- a^«J = , a(«)^ où oLn"^ tend vers zéro^ si n croît indéfiniment.

Ces deux conditions sont, comme on le vérifie facilement, nécessaires et suffisantes pour que lim S^"^ = S, lorsque la série S converge.

Et enfin :

3*» f^a limite de la différence. Celte condition (remplie d'ellemême pour les séries convergentes) exprime que, si le procédé de sommation donne une valeur déterminée L à la série S, le même procédé appliqué à la série m© -+- "i -♦-"»-+-•••-+- «nH-- . • fera attribuer à cette dernière la valeur t/o+L. C'est à cause de cette condition qu'on peut affirmer, par exemple, que toutes les fois qu'une somme de M. Borel relative à la série S = i — 2-1-4 — ...-f-( — 2)"-!-... aura une valeur déterminée L, elle satisfera à l'égalité L =: i — 2L;

donc L = j9 valeur qu'on obtient par le prolongement analytique de pour x = 2.

tend vers zéro uniformément (dans une région déterminée, si les u,. sont des fonctions) pour n = 00.

Ceci posé, nous allons montrer que notre condition A est équivalente à la condition 3°, et, par conséquent, toutes les sommes de M, Borel^ relatives à l'équation (19) [oa à l'équation (21)], con-

çergent vers une même limite parfaitem^ent déterminée^ qui n^est autre que l'intégrale de cette équation ( * ).

En effet, on peut écrire le polynôme (25 bis) sous la forme

où les expressions

sont des sommes partielles de la série (20) et

Par conséquent

> pour o < A-^ /i.

En posant ensuite

nous trouvons également

Donc

^ GO >t- G» -;- — - G» -4- -u G"

= «^S, ^- af,«>S2 -h. . .4- ai«) S„H-,) — («7») Si -h. . .-h <«> S«)-

Ainsi, la différence qui figure dans la condition 3» est identique à notre expression (29).

(») La convergence pour Téquation (21) peut être déduite du fait établi plus haut que son intégrale ne diffère que d'une fonction, holomorphe à l'origine^ de l'intégrale (multipliée par une certaine constante) de l'équation (19).

1. Singularité des fonctions analytiques. Théorème de M. Hadamard* — Soient deux éléments analytiques :

9{X) = l.anxn^ (S^{x) = ZbnXn

ayant pour rayons de convergence R et Rj et définissant des fonctions /(a:), g{x) n'ayant que des singularités isolées, «i, Oj, *.. pour/, et Pi, Pî, ... pour g.

Formons l'élément $j(ar) = 2û:„6„a?«; il définit une fonction F(a?) ne pouvant avoir d'autres points singuliers que les points («a, fit).

Pour le prouver, formons un contour G de la manière suivante :

Un cercle c, de rayon r < R et <RRi, ayant l'origine pour centre. Puis un cercle F ayant O pour centre et un très grand rayon p. Enfin un petit cercle (a) autour de chaque point a et une coupure / réunissant les cercles V et (a).

Nous avons alors un domaine D dans lequel /a; est holomorphe.

Si la fonction gi — ) n'est pas holomorphe, quand le point z est sur le

contour G, c'est que l'on a x = z^.

Le point rr = zp, pétant fixe^ décrit un contour Cp, semblable à G.

Formons de même les contours Cp , Gp , ....

Au cercle (a) correspondent des cercles (api), (xPt\

A la coupure l correspondent des coupures /^ , /p , ....

Excluant les cercles et respectant les coupures, nous avons un domaine, dépendant de p, Àp ; rr étant à l'intérieur de Ap et z sur G, les fonctions

/(-s) et ^f — j sont holomorphes.

La fonction \\{x) définie par la relation

,.-H(.)=jr/u)^(f)^

est donc holomorphe.

Dans le cercle c, on aura le développement

^{x):=^anbnX^,

Donc H(a:)est \^ prolongement analytique de l'élément $*, etc.

2. La fonction /^ étant méromorphe dans tout le plan^ quelle est la condition pour que U fonction

soit uniforme dans tout le plan ?

(Il faut et il suffit que tous les résidus de /- soient nuls.) Même question pour la fonction

Ç Udu

= eJ X.

(Il faut et il suffît que tous les résidus soient des nombres entiers et, s'ils sont > o. Gj sera holomorphe.)

(G. HuMBERT, Cours y t. II.)