Problème de l'agrégation

Soit une surface S et soit s une portion quelconque de S, sans point commun avec Oz et n'ayant pas de plan tangent parallèle à 0;;.

I. Soient A Vaire de la projection de * sur le plan xy\ B le volume limité par 5, par A et par le cylindre projetant; C le volume limité par s et le cône ayant s pour base et O pour sommet; D le volume limité par s et par le conoïde ayant pour directrice le contour de *, O-5 pour axe, le plan xy pou^ plan directeur.

Montrer que l'on a

tant que s n'est pas traversé par certaines lignes situées sur S.

II peut y avoir des conventions de signe à faire sur B, C, D ; on les énoncera géométriquement.

II. Le cône (réduit à une nappe) qui limite C détermine, sur le cylindre de révolution qui a Oz pour axe, et de rayon u/t, une aire dont les éléments seront affectés des mêmes signes que les éléments correspondants de C : soit E cette aire.

On fait tourner s autour de Oz et l'on désigne par F le volume de révolution ainsi engendré, par G l'aire de la section méridienne de ce volume, un élément de F ou de G étant également affecté d'un signe.

Déterminer la surface S de manière que, pour toute portion s (sans point commun avec Oz ni plan tangent parallèle à Oz) prise sur cette surface, on ait la relation

(9.) aA-i-6B-4-3cC-HcE-+--^ h^G = o,

OÙ a, 6, c, e,/, g sont des constantes. Montrer que S doit vérifier une certaine équation aux dérivées partielles du premier ordre dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x, y^ z^ p, où p = ^x^ -+- y^ (le radical étant pris positivement). Indiquer (en l'énonçant encore géométriquement) la détermination du signe commun à donner à un élément quelconque de F et à l'élcment correspondant de G de manière que cette équation soit la même pour toute la surface considérée.

Trouver les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles ainsi obtenue, en employant les coordonnées semi-polaires p, a> (coordonnées polaires de la projection du point sur le plan xOy).

Étudier les projections de ces caractéristiques sur le plan xOy. Faire voir qu'il peut exister des caractéristiques qui soient situées sur un cylindre de révolution d'axe 0>s, et discuter leur forme.

ni. On suppose les constantes 6, c liées par la relation (3) 6h-3c = o.

On considère l'intégrale curviligne

prise d'un point M à un point M' de la surface S, le long d'un chemin L situé tout entier sur cette surface. Montrer que si S satisfait à la condition

qui lui a été imposée dans la deuxième partie, et si, sous le signe / , le

signe du terme en dz a été convenablement choisi, l'intégrale I ne change pas de valeur lorsque, M et M' restant fixes, on déforme d'une manière continue, sur la surface, la ligne L tracée entre ces deux points.

Si, au lieu de la relation (3), les constantes &, c ont entre elles la relation

une propriété analogue à la précédente appartient à l'intégrale

J =z I z — i — {x dy —y dx) — tgz -^ (x dx-hy dy)

-4- P e/p* dz — a(x dy — y dx)

où P est un polynôme entier en p convenablement choisi et e est l'une des deux quantités -hi, — i.

IV. On suppose en outre que la surface S contient une circonférence dont le plan passe par G 2 et qui n'a aucun point commun avec O^, ni avec le cylindre de révolution précédemment considéré (deuxième partie). Sur chacune des caractéristiques issues des différents points de cette circonférence, on prend un arc limité, et cela de manière que la portion £ de S ainsi délimitée ne contienne aucune singularité.

En supposant donnée la valeur de l'intégrale I [dans le cas de la relation (3)] ou J [dans le cas de la relation (4)] le long d'un certain chemin L joignant M et M' et situé sur £, quelles sont les autres valeurs que peut acquérir cette intégrale lorsqu'on remplace L successivement par tous les autres chemins qu'on peut tracer entre les mêmes points sur Z ?

Indiquer la relation qui' doit exister entre le rayon de la circonférence, la distance de son centre à Oz et les coefficients de l'équation (2) pour que la valeur de l'intégrale considérée soit unique dans ces conditions.

6. Intégrer la fonction e--' le long d'un rectangle formé par l'origine, le point R, le point R + ia et le point la. On fera croître R indéfiniment, a est donné. En déduire les valeurs de

I e-'^ C0S2 ax dx et / e-'* s'in^ax dx.