On donne Véquation

a étant une constante, et Ton demande de choisir le chemin d* intégra^ tion L de sorte que l'intégrale

/ e^ ^«-> {z — !)-«-> dz

soit une solution de l'équation différentielle.

10. Quelle est la forme des équations F(r,^, z,j5, ^) = o telle que les équations différentielles des caractéristiques admettent les intégrales

p ±q = const., p ; q =z const.

H. Chercher les solutions singulières des équations au\ dérivées partielles

pq-z=zo^

pq -^ z-¥- ax -4- 6j^ = o,

F^ -+- Fif -+- FJ = o,

les F étant des fonctions de x^ y y z^ p, q\ X, fz, v étant des nombres entiers > i.

(Ë. GouRSAT, Leçons sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre,)

PROBLÂIIBS. 289

12. Chercher les solutions singulières de Téquation diiïérenlielie

(J. HoRN, GewÔhnliche Differentialgleichungen, Samnilung Schubert, L).

13. Application des approximations successives. — Soil X = — X, £ désigaant le logarithme népérien. Posons

Si l'on a

Inéquation a une racine j? = a entre o et - et une racine a: = 3 entre - et 1. On les obtient par ces deux chaînes d'approximations :

xt l{xx) =yy x^\{xt) =y, Xi\(xt)=y, jr,X(a?,) =j^,

(A. SoHMERPELD, Nachrichtcn der Gesellschaft der Wissenschaften zu GÔttingen, 1908.)

Si l*on avait une équation différentielle ordinaire

l'intégrale serait

z = eJ * \a-^j^ieJ* dx\.

Montrer que si l'on donne, sur une courbe A(^, /)) du plan xy : z = a{ty

et si l'on forme l'intégrale curviligne, du point ({, 1]), au point (x^ y),

dy suivant une courbe G, définie par -^ =/(a7, y)^ la solution sera

s = e^lri la{t)-hl ^{x,y)e^lrï dx \.