NEUVIÈME LEÇON

PRINCIPE DES FORCES VIVES POUR UN SYSTÈME PARTIEL. TRAVAIL DES FORCES. - ÉNERGIE INTERNE.

8i. Extension du principe des forces vives au cas d'un système partiel.

De même que nous avons étendu les principes des quantités de mouvement et des moments à des systèmes partiels, c'est-à-dire à des systèmes sur lesquels s'exercent certaines actions extérieures en outre des actions intérieures égales et opposées deux à deux, de même aussi il y a lieu de chercher ce que devient, pour un tel système partiel, le principe des forces vives, c'est-à-dire la loi fondamentale de la conservation des forces vives ou de Ténergie.

Souvenons-nous, dans ce hut, que nous avons, de la formule exprimant le principe des forces vives pour le système complet auquel appartient notre système partiel, déduit les équations de mouvement des divers points de ce dernier,

(21) '^di=-^^ "'Tt=^^' "'-57 = ^^'

en la dilTércntiant par rapport à ^, groupant ensemble tous les termes du résultat qui contenaient en facteur la même composante w, V ou (V de vitesse, et annulant enfin le coefficient total de cette composante. Donc, à partir des équations ainsi obtenues ( 24 ), on parviendra au principe que l'on cherche (généralisé de celui de la conservation des forces vives), en suivant la marche inverse, c'est-à-dire en multipliant toutes les équations, comme (24), rela — tives aux divers points du système partiel, par les composantescorrespondantes r ou (V de vitesse, et puis faisant la somme — Or cela revient évidemment, sauf l'introduction du facteur infini-

COMMENT s'introduit, EN MÉCANIQUE, LA NOTION DU TRAVAIL DES FORCES. 97

ment petit rf/, à multiplier les équations ( par les chemins il de = dXy V dt = dy^ kv dt = dz^ parcourus suivant les axes durant un instant dt, puis à ajouter les résultats analogues d'abord pour un seul point du système partiel, et ensuite pour tous.

Dans le premier membre , chaque expression de la forme

ni(udu V dv wdw) sera la dilTérentielle , la demi-force vive, '-^ {u^ iv'^) ou -^V^, d'un des points : la somme de toutes les expressions pareilles, d^ représentera

par suite l'accroissement, pendant l'instant dt^ de la demi-force vive totale ou énergie actuelle du système.

Quant au second membre obtenu, valeur de celle demi-force vive acquise, il se composera d'autant de termes triples qu'il existera de forces F = y X'^-H Y'-^-t- agissant sur le système partiel; et chacun d'eux aura la forme \ dx dy 7j dz ou sera la somme des produits des trois composantes de la force considérée parles composantes analogues du déplacement de son point d'application durant Tinstant dt,