ET RELATIF A SES CHANGEMENTS DE FORME OU DE VOLUME. II

^^iix des X, mais passant par le centre de gravité dont il

^^agil, que j'appellerai O'. Or le travail total des pressions dans ^ liacune de ces rotations, dans celle, par exemple, qui se fait ^\ilour de O'-^', est nul, ou du moins du quatrième ordre négliî^eable de petitesse, par unité de temps.

Car soient rf6 cette rotation, r le rayon vecteur perpendiculaire mené d'un point quelconque y z') sur Taxe O' z' de rotation,

enfin 8 Tazimut qui définit la direction de ce rayon vecteur. On aura

yrz:/'C'osO. ^'r=/*sinO;

et, comme la rotation considérée consiste dans l'accroissement (Pi que reçoit Tazimut 6 sans que z' ni r varient, il vient, pour les déplacements corrélatifs suivant les axes,

Ç dx = r d cosO = — /• sinO di) — — y' d^), \ dy = r d sinO — /• cosO r/0 — x' e/O.

avec

dz' — o.

Le lrsL\aiil Xdx'-^-Y dy -h '^dz' d'une force quelconque (ayant les composantes X, Y, Z) appliquée au poial{x\y^ z'), vaudra donc (x'Y — j'X) ou le produit, par rfO, du moment de la force relatif à l'axe O^y. Par suite, le travail total des pressions dans un mouvement de rotation de la particule autour de O'^ sera le produit, par le facteur commun t/O, du moment total des pressions par rapport à l'axe dont il s'agit. Or on sait que, sur une particule, les moments des pressions par rapport à un tel axe se neutralisent, ou que, étajit individuellement du troisième ordre pour chaque face de l'élément, ils ont, pour toutes les faces, une somme du quatrième ordre.

Donc, par unité de temps, le travail considéré, produit de la dérivée finie ^ par la somme des moments, ne sera que du quatrième ordre et négligeable.

lOi. — n peut s'évaluer dans l'hypothèse d'une neutralisation parfaite des pressions suivant chaque axe ; cas simple d'une pression normale et uniforme.

Il est d'ailleurs évident que, à des écarts près encore négligeables du même quatrième ordre, on pourra, en évaluant le travail que

130 APPLICATIOX DU PRINCIPE DES FORCES VIVES A UNE PARTICULE MATÉRIELLE :

les pressions exercées sur la particule produisent dans ses déformations ou ses changements de volume, commettre d'infiniment petites erreurs relatives sur les pressions, qui sont du second ordre.

Or cette circonstance permettra de modifier les pressions dont il s'agit de manière à rendre rigoureuse leur neutralisation sur la particule suivant chaque axe, neutralisation qui n'y est qu'approchée et qui deviendra complète par l'application (fictive), sur la moitié des faces, de pressions supplémentaires du troisiènne ordre, destinées à faire que ces faces soient pressées ou tirées exactement comme leurs opposées. Autrement dit, les pressions pourront être censées en équilibre sur l'élément ou incapables d'y produire aucune translation, hypothèse qui, annulant leur composante totale suivant chaque axe, rend nul leur travail relatif à la translation (quelle qu'elle soit) du centre de gravité, et rend leur travail cherché, pour le mouvement de la particule par rapport à ce centre de gravité, identique à leur travail pour le mouvement vrai ou absolu, travail total dont le calcul sera parfois plus facile.

Nous appellerons dîh cette seconde partie du travail des pressions, savoir leur travail correspondant à la déformation (ou aux changements de dimensions) de la particule : nous l'évaluerons spécialement dans chaque cas où il sera utile de le faire.

Bornons-nous ici, comme exemple ayant pour but de fixer les idées, au cas le plus simple, le seul que traitent ordinairement les physiciens. C'est celui d'une pression uniforme, dont p désignera la valeur par unité d'aire, sollicitant, perpendiculairement partout, la superficie de la particule considérée.

La force exercée sur chaque élément de la surface y vaudra le produit de p par l'élément même ; et la composante du déplacement dans le sens de cette force, autre facteur du travail à évaluer, sera la hauteur du volume, sensiblement prismatique, décrit par l'élément dans son recul (positif ou négatif) vers l'intérieur de la particule, ou^ encore, sera l'épaisseur, normalement à l'élément considéré, de l'étendue infiniment mince comprise entre les deux positions successives, aux époques ^ et / rf/, de la surface de la particule, cette épaisseur étant comptée positivement au dedans de la particule, ou quand l'élément plan considéré empiète, dans son mouvement, sur le volume actuel V, et négativement au de-

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA THERMODYNAMIQUE. l2l

hors, c'est-à-dire quand, au contraire, le volume de la particule s'agrandit du côté de Télément plan. Le travail de la pression exercée sur Télément de surface dont il s'agit égalera donc, en grandeur et en signe, le produit de p par la diminution, positive ou négative, que le déplacement de cet élément de surface aura fait subir au volume V; et, par suite, on aura, pour toute la superficie de la particule,

(3o) dXL~ — pd\,

— rfV étant la perte totale de volume subie par la particule durant l'instant dt^ ou rfV la variation correspondante de son étendue.

105. — Résultat du calcul : formule fondamentale de la Thermodynamique.

En somme, le travail total, pour l'instant r//, des forces extérieures appliquées à la particule, sera

( 3i) f/Q -r M ( u du V ds^ w dw^ ^ d^.

Égalons-le, comme il a été dit, à l'accroissement AI ( u du 4- V dv -h w dw )-hMd[]

de l'énergie totale de la particule, et il viendra simplement

( 32) M f/U = dQ-i- d(B ou dq = "Si dV — d^.

Ainsi, le principe des forces vives, appliqué à un élément de volume de manière à éliminer des deux membres de l'équation le terme M{u du -\- v clç iv dw), fournit une relation simple entre la quantité rfQ de chaleur qui, du dehors, pénètre dans le volume durant un instant infiniment petit, l'augmentation de son énergie interne MU et le travail total de déformation û?G des pressions exercées sur sa surface, travail évalué, soit pour le mouvement relatif des diverses parties de la surface par rapport au centre de gravité du volume, soit encore pour tout le mouvement visible ou moyen local de chaque élément de la surface, mais en ayant soin alors de modifier les pressions, de quantités du premier ordre de petitesse par unité d'aire, au point de rendre exacte leur neutralisation suivant chaque axe. La somme de la quantité de chaleur t/Q