TRAVAUX QUE BEPRÉSENTE LE FLUX DE CHAL. RELATIF A UN ÉLÉMENT PLAN. III

grâce aux travaux considérés, des actions moléculaires s^ exerçant à travers les surfaces de séparation de ces régions diverses.

Comme l'énergie ainsi transmise d'une région à Tautrc est sensible seulement sous forme de chaleur, on donne au travail total, effectué de la sorte dans le mouvement imperceptible d'agitation, des forces s'exerçanl à travers un élément plan sur la matière contiguë située d'un côté désigné de cet élément, le nom de /IiiJr de chaleur (*). 11 sera fini par unité d'aire et durant l'unité de temps, puisqu'il aura transmis, au bout d'un temps fini, une quantité sensible d'énergie calorifique au volume de matière que limite une surface finie. On voit en outre que, rapporté à Tunité d'aire, un pareil flux dépendra de l'état slatique moyen local et de la température qui existent près de l'élément plan, mais surtout des inégalités de distribution de celle-ci dans le voisinage, ou de sa rapidité de variation suivant les divers sens, dans une étendue extrêmement petite. En effet, le flux s'annulera si la température y devient uniforme.

Revenons maintenant au cas général d'un mouvement moyen local ou visible, se superposant à l'agitation calorifique d'ordirtaire beaucoup plus rapide. Comme celle-ci se fait très sensiblement de la même manière que si elle était seule, du moins quand le frottement intérieur est négligeable ou quand les groupes moléculaires ont à chaque instant leur forme et leur orientation d'équilibre pour l'état moyen local actuel, les travaux,

\{dx -h d\ ) H- Y(^/j H-f/r/) Zydz dX,).

dont il s'agit d'évaluer la somme, auront une première partie, X -h Y rf/j 4- Z ûfij, identique à ce qu'ils seraient tout entiers si l'agitation calorifique régnait seule.

En d'autres termes, cette partie donnera, wi tout, sur un élément plan, le flux de chaleur qui le traverse, flux ne différant pas sensiblement de celui qu'on aurait, pour la répartition actuelle de la température tout près de l'élément et pour l'état statique moyen

(*) Il n'est pcul-ètre pas inutile de dire ici que, lorsqu'on l'évaluera en ca/ories, ce que font d'ordinaire les physiciens, celle valeur devra èu*e convertie en kilogrammètres, c'est-à-dire multipliée par 435 (équivalent mécanique de la chaleur) avant de pouvoir figurer dans nos formules.

lia FLUX DE CHALEUR QUI s'aJOUTENT AUX TRAVAUX DES PRESSIONS.

local qu'on y observe, si cet étal statique persistait, ou qu'il n'y eût pas de mouvement visible.

97. — Il comprend en outre le travail des pressions qui représentent les sommes de ces actions moléculaires.

Mais les travaux considérés auront, en outre, la partie,

\dx-\-Y dy -^-Zdz.

à laquelle ils se réduiraient sans l'agitation calorifique. Or r/x, dy^ dzy relatifs au mouvemenl moyen local, y seront des facteurs fort peu près constants dans chaque très petite étendue perceptible ou presque perceptible. Par suite, pour toutes les actions moléculaires exercées à travers une petite portion d'élément, et dont il s'agira de sommer le travail, cette première partie donnera

expressions où SX, S Y, SZ, projections totales, suivant les divers axes, des actions moléculaires considérées, seront évidemment les composantes de ce que nous avons nommé la pression exercée sur la partie correspondante d'élément plan. Et la somme ainsi obtenue, formée des produits des trois composantes de celle pression par les composantes de mêmes sens du mouvement visible ou moyen local éprouvé par la surface matérielle qui la supporte, est ce qu'on peut appeler, et ce qu'on appelle en effet, le travail de la pression .

En résumé, les pressions, que Ton se représente subies par les faces d'un élément de volume, ou par la superficie d'un corps quelconque, sont bien des forces fictives propres à remplacer les actions moléculaires réelles exercées sur l'élément ou sur le corps à travers ces surfaces, tant qu'on se propose d'évaluer uniquement les impulsions totales et les moments de ces actions. Mais elles cessent généralement de pouvoir remplir le même but dès qu'il s'agit d'évaluer des travaux; car ii faut alors, pour avoir le vrai travail total des actions moléculaires considérées, joindre aux travaux des pressions ceux que les actions moléculaires résumées en elles produisent dans l'imperceptible mouvement d'agitation calorifique, et qui constituent les Jlux de chaleur. Âinsi ces flux,

PUOPRIKTKS DES FLUX DE CHALEUH. Il3

fonclion principalement des inégalités de distribution de la température de part et d'autre des surfaces qu'ils traversent, échappent complètement au travail des pressions, c'est-à-dire ny sont pas compris, quoique dus aux mêmes forces élémentaires.

98. — Egalité des deux flux de chaleur, de sens contraires, relatifs aux deux faces d'un môme élément plan.

Nous pouvons remarquer, d'ailleurs, que les actions moléculaires exercées, à travers un élément plan, sur la matière située d'un côté de cet élément, ne sont pas seulement égales et contraires aux. réactions , s'exerçant suivant les mêmes droites de jonction imperceptibles, de cette matière sur celle qui est de l'autre côté , de manière que les pressions soient elles-mêmes égales et contraires sur les deux faces de l'élément plan; mais qu'on peut, de plus, admettre l'égalité, en valeur absolue, avec signes différents, des deux sommes respectives des travaux produits par ces actions durant un instant dt.

En eff'et, ces deux sommes réunies, travail total des forces exercées aux extrémités des imperceptibles droites de jonction /• dont il s'agit, ou qui traversent l'élément plan, sont les diff<érentîelles partielles, par rapport aux distances en question /*, de l'énergie potentielle interne, changée de signe, du corps où est tracé l'élément plan. Or nous avons précédemment remarqué (p. 38), en définissant l'énergie potentielle interne, que le nombre des droites de jonction ainsi coupées par une surface ne se trouve presque rien à côté du nombre de celles que contient ce corps ou même seulement que contient une particule matérielle sensible; de sorte que le travail total qui leur correspond est insignifiant en comparaison de la variation simultanée de l'énergie potentielle interne de Tune des deux parties en lesquelles cette surface divise le corps. Mais, au contraire, le travail des actions moléculaires exercées, à travers la surface, sur cette partie, ou d'un seul côté, modifie, en général, très grandement la variation de la même énergie, et lui est pour le moins comparable. Donc, tandis que ie travail total des actions s'exerçant à travers un élément plan sur les deux côtés de cet élément plan est toujours négligeable, celui des actions exercées sur un seul des côtés ne l'est pas; d'où il suit bien que les travaux des actions appliquées aux B. — Leçons synthétiques. S

n'i ASSIMILATION DES FLUX DE «MIALEUR A DES ECOULEMENTS FLUIDES.

deux côlés, ou aux deux couelies superficielles limitées par l'élément plan, se neutralisent, c'est-à-dire sont relativement égaux avec signes contraires.

Comme d'ailleurs, vu la lenteur avec laquelle varient d'un point à l'autre les déplacements moyens locaux, ou vu, par conséquent, leur égalité très sensible pour les deux couches superGcielles que sépare un élément plan, cette parité est évidente en ce qui regarde les travaux des pressions, il s'ensuit qu'elle devra se produire également pour l'autre partie des travaux d'actions moléculaires, c'est-à-dire* pour les flux de chaleur traversant dans les deux sens l'élément quelconque de surface considéré.

Voilà pourquoi Von peut, sans erreur appréciable, assimiler la chaleur à une matière {/ui passerait à travers l'élément plan, ou regarder le flux qui entre d\in côté comme sortant de Vautre; car l'un de ces flux constitue un travail positif emnaagasiné sur une face, et l'autre, un travail négatif perdu sur la seconde face.

99. — Principe de la quasi-neutralisation des flux de chaleur sur tout élément de yolume.

La neutralisation des deux travaux totaux des actions moléculaires exercées, sur les deux faces d'un élément plan, à travers cet élément, se démontre, comme on voit, en admettant que chacun d'eux soit au moins de l'ordre de grandeur de la variation simultanée de l'énergie potentielle interne d'un élément de volume limité par l'élément plan. Mais, en réalité, ils se trouvent incomparablement plus grands ; car, rapportés à l'unité de temps, ils sont, en général, de l'ordre de l'aire de l'élément plan, c'est-à-dire du second ordre de petitesse, tandis que la variation, rapportée de même à l'unité de temps, de l'énergie potentielle interne dont il s'agit, est de l'ordre du volume dans lequel elle se produit, c'est-à-dire du troisième. Et comme la variation simultanée de Ténergie actuelle, tant visible que calorifique, du même volume, est également comparable à celui-ci ou encore du troisième ordre, ainsi que le travail du poids de la particule, le principe des forces vives, appliqué à cette particule ou volume élémentaire considéré, montre que les travaux des actions moléculaires exercées, à travers ses faces, sur toute sa couche superficielle, devront se neu-

QUASI-NEUTRALISATION DES FLUX DE CIIALEUH SUR UN ÉLÉMENT DE VOLUME, i i5

traliser, à des différences près du troisième ordre, négligeables à coté de ces travaux qui sont du deuxième. Donc les travaux en question ont leur somme relativement nulle, comme Tétaient déjà les sommes des composantes, suivant un axe quelconque, de toutes ces actions, et les sommes de leurs moments relatifs au même axe, sommes qui se réduisaient à celles des composantes et des moments analogues des pressions exercées sur les faces du volume élémentaire.

Mais il y a lieu de répéter ici, à propos des travaux de ces pressions, le raisonnement que nous venons de faire pour les travaux des pressions exercées sur les deux faces d'un élément plan. Le déplacement moyen local suivant chaque axe étant pareil dans toute l'étendue d'une particule, à des erreurs relatives près de l'ordre de ses dimensions, ou du premier ordre, le travail total de leurs composantes parallèles au même axe aura pour première partie le produit du déplacement moyen local commun dont il s'agit par la somme algébrique de ces composantes, somme nulle, ou plutôt du troisième ordre de petitesse, comme le seront les produits, composant son autre partie, des pressions (du second ordre) par les petites inégalités (du premier ordre) des déplacements moyens locaux de leurs points respectifs d'application. Donc les travaux des pressions se neutralisent séparément, à des termes près du troisième ordre de petitesse, et l'excédent des travaux totaux des actions moléculaires considérées sur ceux-là, c'est-à-dire les flux de chaleur qui pénètrent à la fois dans la pai^tieule, se neutraliseront aussi à ce de*j^ré d'approximation,

100. — Ce principe permettra d'exprimer tous les flux relatifs à un môme point en fonction de trois d'entre eux, qui dépendront eux-mêmes, principalement , des dérivées premières de la température suivant les divers sens.

De même que l'annulation relative, ou ayant lieu à des erreurs négligeables près, de la somme algébrique soit des pressions appliquées à des particules d'orientations diverses, soit de leurs moments, nous permettra bientôt d'exprimer la pression s'exerçant en un point donné sur un élément plan quelconque, en fonction de celles qu'y supportent trois éléments plans rectangulaires, de même aussi, l'annulation de la somme des (lux de chaleur in-

il6 DE QUOI DÉPENDENT LES FLUX DE CHALEUR.

troduits dans de pareilles particules nous fera connaître, en fonction des flux qui traversent trois éléments plans rectangulaires se croisant en un point donné, celui qui passera en même temps par tout autre élément plan mené au même point.

Quant à ces trois flux principaux, les explications précédentes suffisent pour prévoir qu'ils dépendront, en général, de la nature de la matière et de son état moyen local, ainsi que de sa température dans une très petite étendue autour de Télément plan, mais surtout des variations ou inégalités aflectant cette température à la traversée de l'élément plan.

101. — Pénétration exceptionneUe du principe des forces vives, comparé à ceux des quantités de mouvement et des moments , dans rétude des mouvements intimes des corps.

Il résulte de ce qui précède que l'application du principe des forces vives à un élément de volume ne donne pas d'indication directe sur ses vitesses perceptibles, à cause des quantités (Ténergie interne et les flux de chaleur) qui y figurent, quoique n'ayant que des rapports compliqués avec le mouvement moyen local. Mais, justement pour cela, elle fournira d'importantes indications, souvent indispensables, sur l'état intérieur d'agitation de la matière et, par suite, sur la température, c'est-à-dire sur ce qui s'éliminait des autres principes généraux de la Mécanique à raison même de leur trop grande simplicité. Le grand avantage de l'équation des forces vives est donc précisément, par la trace qu'elle conserve de circonstances intimes échappant aux autres équations, (le suppléer et compléter celles-ci quand le mouvement invisible de la matière se trouve influer sensiblement sur les phénomènes observables.

Or nous verrons qu'il existe beaucoup de ces phénomènes, savoir, tous ceux dans lesquels* des variations notables de la température obligent à introduire celle-ci parmi les fonctions inconnues. Alors il est nécessaire, même pour ne déterminer quc^ le mouvement moyen local, d'avoir une équation définissant les changements de la température d'un instant à l'autre; et nous verrons qu'on ne peut la former que par une application appropriée du principe des forces vives à une particule matérielle.

APPLICATION DU PRINCIPE DES FORCES VIVES A UNE PARTICULE MATÉRIELLE. I17

lOâ. — Application du principe des forces vives à une particule matérieUe : premièrement, travail de la pesanteur et travail des pressions, pour le mouvement de translation de la particule.

Considérons donc un élément de volume donné V, de masse M; et ayant désigné, conformément à des notations déjà adoptées dans la Leçon précédente, par

MG la force extérieure s'exerçant sur toute sa masse, force de pesanteur ou de nature analogue, dont on a déjà appelé a, 6, c les Irois cosinus directeurs;

MU son énergie interne à Tépoque /, U étant ainsi l'énergie interne de son unité de masse ;

//, i\ iv les composantes, suivant les axes, de la vitesse simultanée de son centre de gravité, laquelle diffère très peu, en grandeur et en direction, des vitesses moyennes locales ou perceptibles de ses diverses parties ;

exprimons que la variation M(« du -t- r dv 4- w d\v) -h M dViy durant un instant dt^ de son énergie totale |M(f^2-|-r^-i- iv^)-i-MU, vaut la somme, que nous appellerons rfQ, des tlux de chaleur entrés pendant le môme instant par ses diverses faces, plus le travail total produit en même temps par son poids et par les pressions exercées sur sa superficie.

Le poids a, comme nous avons vu, même travail que s'il était tout entier appliqué au centre de gravité de la particule. Quant aux pressions, leur travail est évidemment la somme de ce qu'il serait si toutes les parties de la surface ne possédaient que le mouvement môme du centre de gravité de la particule, et de la valeur qu'il aurait si, au contraire, les diverses parties de la surface n'étaient animées que de leur mouvement relatif par rapport à ce centre de gravité; caria vitesse, suivant un axe quelconque, de chaque petite partie de la surface, est bien celle du centre de gravité, plus ou moins un petit écart du premier ordre (c'est-à-dire comparable aux dimensions de la particule) constituant la vitesse relative de cette partie par rapport au centre de gravité.

Ne comptons d'abord que la première partie, savoir le travail des pressions pour le déplacement du centre de gravité ; et joignons-y celui de la pesanteur, qui peut être tout entier, comme

Il8 TRAVAIL DES PRESSIONS, SUR UXE PARTICULE MATÉRIELLE,

nous venons de dire , rattaché à ce mouvement. Nous aurons ainsi à considérer le déplacement iidt^ ou v dt^ ou wrf/, suivant chaque axe, du centre de gravité de la particule, et à le multiplier par la composante totale de même sens des pressions exercées sur elle et de son poids, c'est-à-dire de toutes les actions extérieures qu'elle supporte. Or ces composantes totales sont précisément les trois composantes M Jf ~~^ force molrîce. Ainsi le travail considéré, ou correspondant au mouvement du centre de gravité, est M rf/ + . . ou

M ( u du -i- V dv -h- w dw ).

103. — Deuxièmement, travail des pressions, pour le mouvement de la particule par rapport à son centre de gravité; c'est un travail de déformation et non de rotation.

Reste à y ajouter le travail des pressions pour le mouvement relatif des diverses parties de la surface par rapport au centre de gravité de la particule. Les déplacements par unité de temps, ou vitesses suivant les axes, qui y figureront comme facteurs, s'y trouveront de l'ordre de petitesse des dislances existant entre le centre de gravité et la surface, c'est-à-dire du premier ordre; et, les pressions elles-mêmes y étant, sur chaque face, du second ordre, le travail dont il s'agit sera, par unité de temps, du troisième ordre, ou comparable au volume de la particule.

Il importe de reconnaître que la partie de ce travail attribuable à un mouvement d'ensemble, c'est-à-dire à une rotation qu'éprouverait par unité de temps la particule autour de son centre de gravité, se trouve seulement du quatrième ordre, et négligeable par rapport à son autre partie; de sorte que le travail en question se rapporte essentiellement à la déformation, aux changements de dimensions de la particule et constitue ce qu'on peut appeler, pour abréger, un ti en ail de déformation.

En effet, toute rotation élémentaire (ou relative à un instant dl^ de la particule autour de son centre de gravité équivaut, comme l'on sait, au point de vue des déplacements produits ou, par suite, du travail développé, à trois rotations infiniment petites, effectuées successivement autour de trois axes O'x', y\ ^ parallèles à