ÉQUATION DES FORCES VIVES POUR LE MOUVEMENT MOYEN LOCAL

i*" Celui, SMG(rt// -h 6^' -f- cw) de la pesanteur, ou autres forces analogues, sur toutes ses particules élémentaires M ;

2° Celui des pressions exercées sur la surface de toute la partie considérée, travail que nous représenterons par (où Tindice e rappellera qu'il s'agit d'un travail de pressions extérieures)'^

3** Enfin la somme, que nous appellerons rfQ<. (en employant encore le même indice), des flux de chaleur entrés durant l'instant par cette surface enveloppe de toute la matière en question. 11 viendra donc

' \ = ï M G(«M -4- H- cw)dt -f- d(^e-^ dQc

Remplaçons, dans le premier membre, chaque quantité M^/U, relative à une particule de cette matière, par sa valeur (3ii), qui est

Enfin observons que 2r/Q, somme de tous les flux de chaleur entrés dans les diverses particules, se réduit à la quantité rfQr entrée par la surface extérieure, vu que les deux flux pénétrant dans deux particules contiguës à travers leur surface de séparation sont, à chaque instant, égaux et contraires. Nous aurons, par conséquent,

et Téquation (33) se trouvera réduite à

(34) ^/S I M ( M» -i- ii'î ) 4- S r/^= X M G ( H- bv -h cm ) dt -h d(^ e-

Cette relation montre que la demi-force vive du mouvement moyen local on visible varie, d'un instant à l'autre, comme s'il n'y avait pas en même temps une rapide quoique imperceptible agitation calorifique, ni, par suite, des flux de chaleur à l'intérieur ou à travers la surface du corps, mais que la variation de Ténergie potentielle interne fut la somme des quantités dG relatives à tous les éléments de volume, ou égalât le travail de déformation absorbé par eux, travail total des parties principales (se faisant mutuellement équilibre) des pressions qu'ils supportent.

Nous aurons parfois, dans la suite du Cours, l'occasion de voir comment cette formule, relative à la demi-force vive totale du mouvement moyen local, peut s'obtenir, à partir des trois équa-

COMMENT s'Évalueront les changements de tempêratuue. i25

lions déduites de Tapplication du principe des quantités de mouvenient à un élément de volume, en multipliant respectivement ces trois équations par les trois composantes u dt^ v dt^ w dt du déplacement moyen local durant un instant dtj puis les ajoutant, d'abord pour une particule, et ensuite pour toute la matière considérée. On conçoit en effet que, l'accélération actuelle du mouvement ^oyen local étant partout déterminée, comme il a été dit, au 'ïioyen des seuls principes des quantités de mouvement et des 'ï^oments, la force vive qui correspond à ce mouvement puisse Se calculer sans recourir directement au principe de l'énergie.

107. — Équation déterminant les variations de Ténergie interne et de la température.

Mais l'équalion (32) que nous a fournie ce dernier principe pour une particule quelconque, et qui régit en quelque sorte l'ensemble de ses mouvements intérieurs, sera indispensable quand il s'agira d'évaluer le changement rfU, par unité de masse et durant un instant dt^ de l'énergie interne d'une telle particule ; ce qui aura lieu surtout lorsque sa température, dont dépendent les pressions et aussi, par suite, l'accélération du mouvement moyen local, changera au point qu'il faille l'introduire comme quatrième inconnue, à côté des trois composantes i^, (v de la vitesse de la particule, ou à côté de celles de son déplacement total jusqu'à l'époque /, parties variables sensibles des coordonnées z d'un quelconque de ses points matériels.

Alors, concurremment avec le principe des quantités de mouvement, qui (complété, quant aux lois des pressions, par celui des moments) donnera les trois équations nécessaires pour évaluer les composantes de l'accélération de la particule, on emploiera, disons-nous, l'équation (Sa), dans laquelle dlB et rfQ ou plutôt

^ dt et ^ dt s'exprimeront, comme on a vu, en fonction de l'état dt clt

moyen local actuel tant stati(|ue que dynamique de la particule et de la distribution actuelle des températures dans la région qu'elle occupe, tandis que M rfU ou plutôt M^c?/, différentielle en / de la fonction MU de son état statique moyen local et de sa température, aura, avec des termes où figureront les vitesses de déformation entrant dans l'expression de la dérivée en t de cet état statique^

I2<i IXTÉOnABILITK DU TRAVAIL DK DKFORMATION DES PRESSIONS

un dernier terme où la dérivée de U par rapport à la température se trouvera multipliée par la différentielle en / de celle-ci. Cette équation sera donc propre à faire connaître, comme nous le montrerons sur d'importants exemples, les changements de température éprouvés d\\n instant à Tautre par les diverses parties du système matériel étudié.

108. — Son application au cas d'un solide plongé dans un milieu à température uniforme. Énergie potentieUe d'élasticité.

Une simplification importante y est possible dans le cas d'un corps solide éloigné de son point de fusion, quand les variations de température dont il s'agit ne sont produites que par le mouvement moyen local lui-même, à raison surtout de la présence, dans Téquation (32), du terme d(r dépendant de ce mouvement. L'expérience montre, d'une part, que de petites modifications de l'état statique, c'est-à-dire des contractions ou des dilatations assez peu sensibles de la matière, développent alors, en général, de grandes pressions et même donnent lieu à des travaux rfC relativement considérables; d'autre part, que les variations simultanées de la température et, par suite, celles de Ténergie interne MU, entraînées par elles, ainsi que les affiuences ou sorties rfQ de chaleur qui en résultent, sont insignifiantes et peuvent être négligées (du moins à une première approximation) dans Tétude de ces mouvements, au même degré que peuvent l'être celles qui naissent des faibles changements accidentels de la température survenus pendant la durée des phénomènes.

En d'autres ternies, il est permis de regarder comme invariable, dans ce cas, la partie calorifique de l'énergie interne L par unité de masse, et défaire porter tout le changement M t/U sur Vautre partie, fonction seulement des très petites distances des situations moyennes autour desquelles oscillent calorifiquement les atonies de la particule. Cette autre partie de Y énergie interne est celle (|ue nous avons appelée (p. 1 07 ) Vénerffie potentielle d'élasticité, du moins à cette approximation où l'on néglige le frottement intérieur et où, par conséquent, on identifie les pressions à leurs valeurs élastiques. On pourra donc poser alors dQ = o et regarder le changement M dU de l'énergie interne comme ayant lieu sans variation de la température, mais en vertu seulement des

POUR UNE PARTICULE QUI SE DÉFORME A TEMPÉRATURE CONSTANTE. la;

ïnodificalions éprouvées par Télat stalique moyen local. Or il suit </e là qu'on aura sensiblement, dans les solides à température constante.

IC^%), — Intégrabilité du travail de déformation des pressions élas- ^ttques exercées sur une particule solide dont la température est ^x>nstante.

La relation (35) montre, en particulier, que le travail rfi^ pro- ^ ^lit à température constante dans une déformation inflniment ^îlite, par les pressions élastiques s'cxercant sur une particule un solide, ou par leurs parties principales qui se fonl équilibre Q Seules en jeu dans la déformation), constitue la différentielle ^^tale exacte d'une certaine fonction de son état statique moyen ^ocal.

Cette fonction, qui est MU, ou plutôt une partie de MU sensiblement indépendante de la température, savoir, une énergie de ressort ou de tension, comme on vient de voir, peut, dès lors, s'appeler puisqu'elle a d(5> pour différentielle.

Donc, si la particule passe graduellement d'un état primitif donné à tout autre état, assez peu différent toutefois du premier pour que, dans Tinlervalle, la contexture (groupement moléculaire) n'ait pas été altérée, ou pour que les pressions soient restées toujours les mêmes fonctions des déformations comptées à partir de l'état primitif, le travail total, f d(r^ de déformation, des forces élastiques exercées sur la particule, dépendra uniquement des deux états extrêmes dont il s'agit, et non de la succession des états intermédiaires : il égalera la variation simultanée de l'énergie potentielle d'élasticité de la particule.

110. — Démonstration de cette intégrabilité par le principe physique de l'impossibilité du mouvement perpétuel.

Cette intégrabilité de l'expression différentielle rfG quand la température est constante, ou plutôt n'éprouve que des variations infiniment petites, se démontre encore, sans supposer = o et indépendamment de la considération de Ténergie interne ML, en se basant sur un fait constant d'expérience qu'on appelle Vimpos-

IjS IXTÉQRABILITÉ DU TUAVAIL DE DÊFORMATIOX DES PRESSIONS,

sibilité du mouvement perpétuel. D'après ce fait capital, que la complication des phénomènes calorifiques n'a pas, jusqu'à ce jour, permis de ramener clairement aux deux principes fondamentaux de la Mécanique (pp. 12 et 21) s'il en est susceptible, ou à ses termes les plus simples s'il ne l'est pas, on ne saurait faire produire, en somme, aucun travail, aux pressions exercées par un corps qui, après une série de déformations, revient à son état primitif, quand ces transformations ont lieu dans un espace à température uniforme, et assez lentement pour que l'équilibre des températures (infiniment peu rompu à chaque instant) puisse se rétablir sans cesse par des échanges rfQ de chaleur et aussi pour qu'aucune force vive sensible ne soit engendrée.

Sans une telle impossibilité, en effet, rien n'empêcherait de fournir à une machine, en répétant indéfiniment les transformations dont il s'agit, une quantité illimitée de travail. Or celle-ci, il est vrai, ne serait pas, de la sorte, nécessairement créée de rien ou contrairement à la loi fondamentale de la constance de l'énergie-, car elle pourrait n'être que de la chaleur transformée, extraite du réservoir calorifique inépuisable que constitue le milieu terrestre ou atmosphérique (et même cosmique) dans lequel nous vivons. Mais une pareille condensation et utilisation de chaleur, au sein d'un espace supposé à température partout égale y choque le sens pratique et ne paraît nullement admissible, alors que l'agitation calorifique, toujours prête à se dissiper, jamais ne se condense d'elle-même (dans les circonstances où nous observons), soit sous sa forme propre, c'est-à-dire de manière à élever localement, si peu que ce soit, la température, soit même après transformation en une autre sorte d'énergie, comme serait une énergie élastique ou de ressort utilisable (•).

Ainsi, l'expression différentielle ( — r/(?) du travail des pressions exercées par un corps ou par une particule dans les conditions supposées, travail égal et contraire à celui, rfC, des pressions que subissent ce corps ou cette particule, ne doit donner une

(') Un développement plus complet de cet ordre de considérations conduit au Principe célèbre de Carnot, duquel se tirent, malgré l'obscurité du fond, d'importantes conséquences, que nous aurons l'occasion d'indiquer, au sujet de l'énergie interne et des forces élastiques dans tous les corps.