POUR UNE PARTICULE QUI SE DÉFORME A TEMPÉRATURE CONSTANTE

somme totale — f ^(d positive pour aucune suite continue de déformations ramenant le corps ou la particule à leur configuration première. Et elle ne peut davantage en donner une négative; sans quoi il suffirait de faire passer le corps ou la particule par les mêmes états, mais en suivant l'ordre inverse ou changeant simplement les signes des déplacements élémentaires successifs, pour obtenir cette valeur de la somme avec le signe plus. En effet, les mêmes éléments — rfG s'y retrouveraient tous, sauf le signe, formés qu'ils seraient par les produits des mêmes forces (à très peu près) et de déplacements égaux mais contraires.

C'est dire que fd^ = o quand il y a identité des deux états statiques, initial et final, de la particule. Par suite, si, au contraire, on appelle / dlB la somme des valeurs de l'expression d(r depuis l'état initial jusqu'à tout autre état, et — fd^' la somme de ses valeurs dans le retour (effectué d'une manière continue quelconque) de cet autre état à l'état initial, ou f diB' la somme analogue pour cette deuxième série d'états, mais supposés produits dans l'ordre inverse, on aura fd^ — fdÇ>'— o. Il vient donc bien fd(D=fd&\ et l'intégrale fd^^ évaluée en partant d'un état primitif constant, est bien une fonction parfaitement déterminée de la configuration finale seule de la particule.

iil. — Hypothèses approximatives y pour l'appréciation des changements de températiire provoqués, dans les fluides, par les phénomènes mécaniques.

Cette démonstration, qui implique l'hypothèse de déformations assez lentes pour ne pas développer de force vive sensible et pour laisser Téquillbre de température (infiniment peu rompu à chaque instant) se rétablir sans cesse par des échanges appropriés ±: rfQ de chaleur, s'applique à des corps quelconques et, par conséquent, aux fluides, pour lesquels nous verrons, d'ailleurs, que le fait de l'intégrabilité de fd(B d température constante est évident, à cause de la simplicité qu'y atteignent les lois des pressions. Mais on ne peut plus alors, surtout s'il s'agit de matières gazeuses, admettre tout à la fois, approximativement, la conservation de la température primitive avec l'ai^nulation des flux de chaleur t/Q. La raison en est que, vu, sans doute, l'étendue des échauffemenls ou des refroidissements (pour peu de chaleur gagnée ou

B. — Leçons synthétiques. 9

l3o DES DÉFORMATIONS yUI s'kFFECTUKNT SANS KCIIANGES SENSIBLES DE CHALEUR.

perdue par unité de volume) qu'entraîne la faible densité soit des gaz, soit des vapeurs, et vu aussi la température toujours relativement assez haute de ces dernières ou même des liquides, l'agitation calorifique joue, dans les valeurs de leurs pressions et de leur énergie interne, un rôle prépondérant, auquel elle n'arrivait pas dans les solides. D'où il suit que les phénomènes mécaniques y font, en général, assez varier la température, ou pour provoquer des flux rfQ de chaleur non négligeables, ou, du moins, si l'insuffisance de ces llux empêche le rétablissement de l'équilibre thermique et laisse les variations de la température s'accentuer, pour rendre la différentielle M rfU de l'énergie interne notablement dépendante de celles-ci.

Le second cas se produit le plus souvent, avec une certaine approximation; car la vonductihilité pour la chaleur, c'est-à-dire la facilité au passage des flux calorifiques, est très faible chez les fluides, surtout chez les gaz. Alors, en écrivant l'équation (3'/i), on peut bien prendre encore rfQ = o et, par suite, Mr/U — d<^ = o, mais il n'est plus permis de supposer, dans U, la température constante.

Nous verrons plus loin comment cette relation ainsi interprétée atteint son but, qui est de faire connaître les températures successives de la particule à laquelle on l'applique, et comment alors le travail r/cT devient pour celle-ci la différentielle exacte d'une certaine fonction de son état statique moyen local actuel, bien différente d'ailleurs, au moins chez les gaz, de la fonction analogue correspondant à riiypothèse d'une température constante.

Il est cependant quelques cas où presque tout le fluide se trouve comme en contact avec une paroi solide d'une épaisseur suffisante pour lui communiquer sa température sans en être sensiblement refroidie ou échaulfée (ce qui arrive surtout quand ce fluide est un gaz ou une vapeur d'une très faible masse par unité de volume, coulant le long d'un tube étroit); et l'on peut alors admettre, au contraire, Tinvariabilité de la température du fluide, ou l'égalité de dKl^ à la différentielle totale de la dernière fonction de l'état actuel dont il vient d'être parlé.

En général, la vérité se trouve entre les deux hypothèses précédentes, confondues sensiblement dans le cas des solides, et qui

HÔLE DES ENERGIES D'ÉLASTIC. ET DE PESANTEUR DANS LES MOUVEM. VISIBLES. l3l

consistent, l'une, à négliger les échanges rfQ de chaleur dus au mouvement, ou à supposer nul, dans les phénomènes mécaniques, l'effet de la conductibilité entre particules voisines, l'autre, à raisonner, au contraire, comme si cet effet se trouvait sans cesse pleinement réalisé, au point de maintenir partout la température uniforme du milieu ambiant.

l lâ. — Énergies d'élasticité et de pesanteur propres à chaque corps, dans les problèmes de Mécanique physique; leur emploi dans l'équation des forces vives.

Dans les problèmes relatifs au mouvement visible des corps et où l'on peut, avec quelque approximation, admettre soit l'absence des Ilux c/Q de chaleur, avec la conservation de la température, s'il s'agit d'un solide, soit l'une ou l'autre seulement de ces circonstances s'il s'agit d'un fluide, l'expression fdtî est donc (à une constante près), pour chaque particule, une fonction déterminée de son état statique moyen local actuel et constitue, par suite, une véritable énergie potentielle d^êlasticité.

De plus, quand il est question de phénomènes se passant près de la surface terrestre et rapportés à des axes liés à cette surface, la constance presque absolue de la pesanteur g en chaque endroit permet de regarder le poids M^^- de toute particule comme une qualité qui lui serait inhérente ou qui du moins ne dépendrait, avec sa masse M, que de sa situation par rapport à la Terre. Alors l'expression ^\g{au - -\- C(v) dt^ travail élémentaire de la pesanteur pour le déplacement de la particule, devient le travail correspondant du poids ^Ig de cette dernière^ produit de par V abaissement {au -I- 4- c\v) dt de son niv eau, c'està-dire par la différentielle ^6, changée de signe, de son altitude au-dessus d'une sur/ace horizontale fixe choisie comme origine des altitudes, hauteur verticale que j'appellerai t et qui sera très sensiblement constante sur toute surface horizontale, du moins dans l'étendue à considérer. Or, à ce point de vue, le travail — Mgdù, à chaque instant, du poids de la particule, pourra évidemment être considéré comme la dépense d'une énergie po- P^

tenlielle M / gdicf^ dont il égale bien sans cesse le décroisse-

meut, et qui, variable seulement avec l'altitude t de la particule,

l32 RÙI.E DES KXEllOIKS D'KLASTIC. ET DE PESANTEUR DANS LES MOUVEM. VI9IBLBS.

paraîtra propre à celle-ci, ou devra être appelée son énergie de pesanteur.

Or, grâce aux deux énergies potentielles d'élasticité et de pesanteur ainsi introduites pour chaque partie du système matériel considéré, le principe des forces vives appliqué aux mouvements visibles comportera une certaine simplification dans son énoncé. 11 signifiera, en effet, d'après la formule ( 34) [p- i5t4] où l'on

transposera au premier membre le terme — rfSM f du se-

cond, que la demi-force vive perceptible de tout corps terrestre^ accrue de ses deux énergies potentielles d'élasticité et de pesanteur, constitue une certaine étiergie totale ne variant, d'un instant à rautre, que du travail d^e des pressions exercées sur la surface de ce corps.

Mais il importe de ne pas oublier les restrictions admises ici, relativement soit au maintien, soit au mode de variation de la température et, aussi, relativement à Tarrangement interne de la matière, supposée s'y trouver à Fétal élastique ou sans frottements intérieurs appréciables.