ONZIÈME LEÇON

APPLICATION DU PRINCIPE DES FOBCES VIVES AUX MOUVEMENTS VISIBLES OU MOVENS LOCAUX : ROLES QU'Y PRENNENT LE TRAVAIL DE DÉFORMATION DES PRESSIONS EXERCÉES SUR LES PARTICULES MATÉRIELLES ET L'ÉNERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR; ETC.

106. — Application du principe des forces vives au mouvement perceptible d'un corps quelconque.

On voit que, dans l'équalion des forces vives posée pour une particule de masse M, l'accroissement de la demi-force vive se rapportant au mouvement mojen local, et que représeataît le terme

commun aux deux membres, s'est éliminé de la formule finale (3^) [p. lai]. Mais il est aisé d'avoir une relation où entre cet accroissement de la demi-force vive perceptible, pour telle partie qu'on voudra du système, formée d'une agglomération, SM, de particules dont l'énergie interne totale s'exprimera par IMU. Il suffira, en effet, d'écrire l'équation des forces vives pour toute la partie considérée, et de tenir compte, dans le résultat, de ta formule précédente (32) appliquée à chaque particule M.

L'accroissement d'S^M{u^-+- ç'+w^) + 2M(fU, durant un instant dt, de la demi-force vive perceptible possédée par ce système partiel, et de son énergie interne, c'est-à-dire, en tout, de la somme des deux énergies propres, actuelle et polentielle interne, de ses particules, égalera (p. I0i)le travail des actions moléculaires extérieures exercées sur lui et de son poids total dû aux attractions de la matière suffisamment éloignée tant intérieure qu'extérieure. Or ce travail comprendra :

Il4 EQUATION DES FOHCES VITES POUR

1° Celui, 2MG(aM -i- bv ■+■ cw^dt, de la pesanteur, ou autres forces analogues, sur toutes ses particules élémentaires M;

2° Celui des pressions exercées sur la surface de toute la partie considérée, travail que nous représenterons par rfS, (où l'iadice e rappellera qu'il s'agit d'un travail de pressions extérieures) ;

3" Enfin la somme, que nous appellerons dQe (en employant encore le même indice), des flux de chaleur entrés durant l'instant t/f par cette surface enveloppe de toute la matière en question. Il viendra donc

*^'' j = I M G(au -i- bv -i- cw) dl + d^t-h rfQ,.

Remplaçons, dans le premier membre, chaque quantité Mt/U, relative à une particule de cette matière, par sa valeur (32 ), qui est

dC+rfQ.

Enfin observons que S</Q, somme de tous les flux de chaleur entrés dans les diverses particules, se réduit à la quantité dQc entrée par la surface extérieure, vu que les deux flux pénétrant dans deux particules contiguës à travers leur surface de séparation sont, à chaque instant, égaux et contraires. Nous aurons, par conséquent,

et l'équation (33) se trouvera réduite à

(34) rfI^M(uï+ !'>+«'') + S d(? = lMG(au + *P -H civ)rf(+<iC(.

Cette relation montre que la demi -force vive du mouvement moyen local ou visible varie, d'un instant à l'autre, comme s'il " y avait pas en même temps une rapide quoique imperceptible agitation calorifique, ni, par suite, des flux de chaleur à l'intérLCur ou à travers la surface du corps, mais que la variation de l'énergie potentielle interne fût la somme des quantités dis relatives à l«u^ les éléments de volume, ou égalât le travail de dé/orntation absorbé par eux, travail total des parties principales (se faisant mutuellement équilibre) des pressions qu'ils supportent.

Nous aurons parfois, dans la suite du Cours, l'occasion d« "'"^ comment cette formule, relative à la demi-force vive totale au mouvement moyen local, peut s'obtenir, i partir des trois équ»'

lions déduites de l'application du principe des quaniités de mouvement à un élément de volume, en multipliant respectivement ces trois équations par les trois composantes u dt, v dc, w dt du déplacement moyen local durant un instant dC, puis les ajoutant, d'abord pour une particule, et ensuite pour toute la matière considérée. On conçoit en effet que, l'accélération actuelle du mouvement moyen local étant partout déterminée, comme il a été dit, au moyen des seuls principes des quantités de mouvement et des moments, la force vive qui correspond à ce mouvement puisse se calculer sans recourir directement au principe de l'énergie.

107. — Équation déterminant les variations de l'énergie interne et de la température.

Mais l'équation (32) que nous a fournie ce dernier principe pour une particule quelconque, et qui régit en quelque sorte l'ensemble de ses mouvements intérieurs, sera indispensable quand il s'agira d'évaluer le changement d\J, par unité de masse et durant un instant dt, de l'énergie interne d'une telle particule ; ce qui aura lieu surtout lorsque sa température, dont dépendent les pressions et aussi, par suite, l'accélération du mouvement moyen local, changera au point qu'il faille l'introduire comme quatrième inconnue, à côté des trois composantes u, v, w de la vitesse de la particule, ou à côté de celles de son déplacement total jusqu'à l'époque (, parties variables sensibles des coordonnées x, y^ = d'un quelconque de ses points malériels.

Alors, concurremment avec le principe des quantités de mouvement, qui (complété, quant auiL lois des pressions, par celui des moments) donnera les trois équations nécessaires pour évaluer les composantes de l'accélération de la particule, on emploiera, disons-nous, l'équation (Sa), dans laquelle rfC et <fQ ou plutôt -^ dt et -^ dt s'exprimeront, comme on a vu, en fonction de l'état moyen local actuel tant stati<jue que dynamique de la particule et de la distribution actuelle des températures dans la région qu'elle occupe, tandis que MrfU ou plutôt M-j-dt, différentielle en / de la fonction MU de son état statique moyen local et de sa température, aura, avec des termes où figureront les vitesses de déformation entrant dans l'expression de la dérivée en t de cet état statique.

3 KlESSfONS,

un dernier terme oi'i la dérivée de U par rapport à la température se trouvera multipliée par la ditTérentielle en t de celle-ci. Cette équation sera donc propre à faire connaître, comme nous le montrerons sur d'importants exemples, les changements de température éprouvés d'un instant à l'autre parles diverses parties du système matériel étudié.

108- — Son application au cas d'un solide plongé danB un milieu & température uniforme. Énergie potentielle d'élasticité.

Une simplification importante y est possible dans le cas d'un corps solide éloigné de son point de fusion, quand les variations de température dont il s'agit ne sont produites que par le mouvement moyen local lui-même, à raison surtout de la présence, dans l'équation (Sa), du terme rfS dépendant de ce mouvement. L'expérience montre, d'une part, que de petites modifications de l'état statique, c'est-à-dire des contractions ou des dilatations assez peu sensibles de la matière, développent alors, en général, de grandes pressions et même donnent lieu à des travaux dis relativement considérables; d'autre part, que les variations simultanées de la température et, par suite, celles de l'énergie interne MU, entraînées par elles, ainsi que les affluences ou sorties rfQ de chaleur qui en résultent, sont insignifiantes et peuvent être négligées (du moins à une première approximation) dans l'étude de ces mouvements, au même degré que peuvent l'être celles qui naissent des faibles changements accidentels de la température survenus pendant la durée des phénomènes.

En d'autres termes, il est permis de regarder comme invariable, dans ce cas. Impartie calorifique de l'énergie interne U par unité de masse, et défaire porter tout le changement MrfU sur l'autre partie, fonction seulement des très petites distances des situations moyennes autour desquelles oscillent calorifîquement les atomes de la particule. Cette autre partie de Vénergie interne est celle que nous avons appelée (p. io-)Vénergie potentielle d'élasticité, du moins à cette approximation où l'on néglige le frottement intérieur et où, par conséquent, on identifie les pressions à leurs valeurs élastiques. On pourra donc poser alors dQ^ = o et regarder le changement M dU de l'énergie interne comme ayant lieu sans variation de la température, mais en vertu seulement des

modiCcalions éprouvées par l'état statique moyen local. Or il suit de là qu'oD aura sensiblement, dans les solides à température constante,

109. — Intégrabilîté du travail de déformation des pressions élastiques exercées sur une particule so^de dont U température est constante.

La relation (35) montre, en particulier, que le travail rfS produit à température constanle dans une déformation infiniment petite, par les pressions élastiques s'exerçant sur une particule d'un solide, ou par leurs parties principales qui se font équilibre (seules en jen dans la déformation), constitue la différentielle totale exacte d'une certaine fonction de son état statique moyen local.

Cette fonction, qui est MU, ou plutôt une partie de MU sensiblement indépendante de la température, savoir, une énergie de ressort ou de tension, comme on vient de voir, peut, dès lors, s'appeler G, puisqu'elle a t/G pour différentielle.

Donc, si la particule passe graduellement d'un état primitif donné à tout autre état, assez peu différent toutefois du premier pour que, dans l'intervalle, la contesture (groupement moléculaire) n'ait pas été altérée, ou pour que les pressions soient restées toujours les mêmes fonctions des déformations comptées à partir de l'état primitif, le travail total, J dO,^ de déformation, des forces élastiques exercées sur la particule, dépendra uniquement des deux états extrêmes dont il s'agit, et non de la suc~ cession des états intermédiaires : il égalera la variation simultanée de l'énergie potentielle d'élasticité de la particule.

HO. — Démonstration de cette intégrabilité par le principe physique de l'impossibilité du mouvement perpétuel.

Cette intégrabilité de l'expression différentielle rfS quand la température est constante, ou plutôt n'éprouve que des variations infiniment petites, se démontre encore, sans supposer rfQ ^ o et indépendamment de la considération de l'énergie interne MU, en se basant sur un fait constant d'expérience qu'on appelle Vimpos-

sibilité du mouvement perpétuel. D'après ce fait capital, que la complication des phénomëDes calorifiques n'a pas, jusqu'à ce jour, permis de ramener clairement aux deux principes fondamentaux de la Mécanique{pp. la et 21) s'il en est susceptible, ou à ses termes les plus simples s'il ne l'est pas, on ne saurait faire produire, en somme, aucun travail, aux pressions exercées par un corps qui, après une série de déformations, revient à son état primitif, quand ces transformations ont lieu dans un espace à température uni/orme, et assez lentement pour que l'équilibre des températures (infiniment peu rompu à chaque instant) puisse se rétablir sans cesse par des échanges 6?Q de chaleur et aussi pour qu'aucune force vive sensible ne soit engendrée.

Sans une telle impossibilité, en effet, rien n'empêcherait de fournir à une machine, en répétant indéfiniment les transformations dont il s'agit, une quanti té illimitée de travail. Or celle-ci, il est vrai, ne serait pas, de la sorte, nécessairement créée de rien ou contrairement à la loi fondamentale de la constance de l'énergie; car elle pourrait n'être que de la chaleur transformée, extraite du réservoir calorifique inépuisable que constitue le milieu terrestre ou atmosphérique (et même cosmique) dans lequel nous vivons. Mais une pareille condensation et utilisation de chaleur, au sein d'un espace supposé à température partout égale, choque le sens pratique et ne parait nullement admissible, alors que l'agilation calorifique, toujours prête à se dissiper, jamais ne se condense d'elle-même (dans les circonstances où nous observons), soit sous sa forme propre, c'est-à-dire de manière à élever localement, si peu que ce soit, la température, soit même après transformation en une autre sorte d'énergie, comme serait une énergie élastique ou de ressort utilisable (' ).

Ainsi, l'expression différentielle ( — dC) du travail des pressions exercées par un corps ou par une particule dans les conditions supposées, travail égal et contraire à celui, dS, des pressions que subissent ce corps ou cette particule, ne doit donner une

('} Un développement plus complet de cet ordre de considérations conduit au Principe célèbre de Cariiot, duquel se tirent, malgré l'obscurité du fond, d'importantes conséquences, que nous aurons l'occasion d'indiquer, au sujet de l'énergie interne et des forres élastiques dans tous les corps.

somme totale — fd(ô positive pour aucune suite continue de déformations ramenant le corps ou la particule à leur configuration première. Et elle ne peut davantage en donner une négative; sans quoi il suffirait de faire passer le corps ou la particule par les mêmes états, mais en suivant l'ordre inverse ou changeant simplement les signes des déplacements élémentaires successifs, pour obtenir cette valeur de la somme avec le signe plus. En effet, les mêmes éléments — d'à s'y retrouveraient tous,, sauf le signe, formés qu'ils seraient par les produits des mêmes forces (à très peu près) et de déplacements égaux mais contraires.

C'est dire que /</5 = o quand il y a identité des deux états statiques, initial et final, de la particule. Par suite, si, au contraire, on appelle fdl$ la somme des valeurs de l'expression dS depuis l'état initial jusqu'à tout autre état, et — fdis' la somme de ses valeurs dans le retour (effectué d'une manière continue quelconque) de cet autre état à l'état initial, ou fdiô' la somme analogue pour cette deuxième série d'états, mais supposés produits dans l'ordre inverse, on aura fd& — fdlë'^ o. Il vient donc bien fdG^zfdB'; et l'intégrale /rfC, évaluée en partant d'un état primitif constant, est bien une fonction parfaitement déterminée de la configuration finale seule de la particule.

111. — Hypothèses approximatiTes, pour l'appréciation des diangements de température provoquéB, dans les fluides, par les phénomènes mécaniques.

Cette démonstration, qui implique l'hypothèse de déformations assez lentes pour ne pas développer de force vive sensible et pour laisser l'équilibre de température (infiniment peu rompu à chaque instant) se rétablir sans cesse par des éclianges appropriés rt rfQ de chaleur, s'applique à des corps quelconques et, par conséquent, aux fluides, pour lesquels nous verrons, d'ailleurs, que le fait de l'intégrabilité de /dS à température constante est évident, à cause de la simplicité qu'y atteignent les lois des pressions. Mais on ne peut plus alors, surtout s'il s'agit de matières gazeuses, admettre tout à la fois, approximativement, la conservation de la température primitive avec l'annulation des flux de chaleur dQ. La raison en est que, vu, sans doute, l'étendue des échauffements ou des refroidissements (pour peu de chaleur gagnée ou B. — Leçons synthétiques, g

perdue par unité de volume) qu'eDtraine la faible densité soit des gaz, soit des vapeurs, et vu aussi la température toujours relativement assez haute de ces dernières ou même des liquides, l'agitation calorifique joue, dans les valeurs de leurs pressions el de leur énergie interne, un rdie prépondérant, auquel elle n'arrivait pas dans les solides. D'où il suit que les phénomènes mécaniques y font, en général, assez varier !a température, ou pour provoquer des flux c/Q de chaleur non négligeables, ou, du moins, si l'insuffisance de ces flux empêche le rétablissement de l'équilibre thermique et laisse les variations de la température s'accentuer, pour rendre la diCTérentielle M(/U de l'énergie interne notablement dépendante de celles-ci.

Le second cas se produit le plus souvent, avec une certaine approximation; car la conductibilité pour la chaleur, c'est-à-dire la facilité au passage des flux calorifiques, est très faible ches les fluides, surtout chez les gaz. Alors, en écrivant l'équation (32), on peut bien prendre encore rfQ^o et, par suite, M<fU — (/€= o, mais 11 n'est plus permis de supposer, dans (J, la température constante.

Nous verrons plus loin comment cette relation ainsi intei^ prêtée atteint son but, qui est de faire connaître les températures successives de la particule à laquelle on l'applique, et comment alors le travail dQ devient pour celle-ci la différentielle exacte d'une certaine fonction de son état statique moyen local actuel, bien différente d'ailleurs, au moins chez les gaz, de la fonction analogue correspondant à l'hypothèse d'une température constante.

Il est cependant quelques cas où presque tout le fluide se trouve comme en contact avec une paroi solide d'une épaisseur suffisante pour lui communiquer sa température sans en être sensiblement refroidie ou échaufl'ée (ce qui arrive surtout quand ce fluide est un gaz ou une vapeur d'une très faible masse par unité de volume, coulant le long d'un tube étroit); et l'on peut alors admettre, au contraire, l'invariabilité de la température du fluide, ou l'égalité de dis à la difl'érentielle totale de la dernière fonction de l'état actuel dont il vient d'être parlé.

En général, la vérité se trouve entre les deux hypothèses précédentes, confondues sensiblement dans le cas des solides, et qui

b6le des éhehoibs d'ëlastic. et dk pesanteur dans les hodteb. tibibleb. i3i consistent, l'une, à négliger les échanges </Q de chaleur dus au mouvement, ou à supposer nul, dans tes phénomènes mécaniques, l'efTet de la conductibilité entre particules voisines, l'autre, à raisonner, au contraire, comme si cet effet se trouvait sans cesse pleinement réalisé, au point de maintenir partout la température uniforme du milieu ambiant.

112. — Énergies d'élasticité et de pesanteur propres A chaque corps, dans les pToblèmes de Mécanique physique; leur emploi dans l'équation des forces rives-

Dans les problèmes relatifs au mouvement visible des corps et où l'on peut, avec quelque approximation, admettre soit l'absence des flux ûfQ de chaleur, avec la conservation de la température, s'il s'agit d'un solide, soit l'une ou l'autre seulement de ces circonstances s'il s'agit d'un fluide, l'expression /</E est donc (à une constante près), pour chaque particule, une fonction déterminée S de son état statique moyen local actuel et constitue, par suite, une véritable énergie potentielle d'élasticité.

De plus, quand il est question de phénomènes se passant près de la surface terrestre et rapportés à des axes liés à cette surface, la constance presque absolue de la pesanteur g en chaque endroit permet de regarder le poids M^ de toute particule comme une qualité qui lui serait inhérente ou qui du moins ne dépendrait, avec sa masse M, que de sa situation par rapport à la Terre. Alors l'expression Mg{au-i- bi'-\-Civ)dt, travail élémentaire de la pesanteur pour le déplacement de la particule, devient le travail correspondant du poids Mg de cette dernière, produit de M^ par l'abaissement (au + bv -\- cw) dt de son niveau, c'està-dire par la différentielle <^é, changée de signe, de son altitude au-dessus d'une sur/ace horizontale fixe choisie comme origine des altitudes, hauteur verticale que j'appellerai 6 et qui sera très sensiblement constante sur toute surface horizontale, du moins dans l'étendue à considérer. Or, à ce point de vue, le travail — Mgdè, à chaque instant, du poids de la particule, pourra évidemment être considéré comme la dépense d'une énergie potentielle M / gd&, dont il égale bien sans cesse le décroissement, et qui, variable seulement avec l'altitude 6 de la particule.

i3i kAle dks énergies d'élabtic. et de

paraîtra j[)/-o/»/-e à celle-ci, ou devra être appelée son énergie de

pesanteur.

Or, grâce aux deux énergies potentielles d'élasticité et de pesauteur ainsi introduites pour chaque partie du système matériel considéré, le principe des forces vives appliqué ans mouvements visibles comportera une certaine simplification dans son énoncé. Il signifiera, en effet, d'après la formule (34) [p- 124] où ''on transposera au premier membre le terme — tfSM / g di Am second, que la demi-force vive perceptible de tout corps terrestre, accrue de ses deux énergies potentielles d'élasticité et de pesanteur, constitue une certaine énergie totale ne variant, d'un instant à Vautre, que du travail dlâc des pressions exercées sur ta sur/ace de ce corps.

Mais il importe de ne pas oublier les restrictions admises ici, relativement soit au maintien, soit au mode de variatton de la température et, aussi, relativement à l'arrangement interne de la matière, supposée s'y trouver à l'état élastique ou sans frottements intérieurs appréciables.

FIN DES LEi;OWS SYNTHETIQUES.

' Impr. GAUTHIER'V