DIXIÈME LEÇON

SUITE DE L'ÉTUDE DES FORCES VIVES ET DU TRAVAIL ; FLUX D CHALEUR; L0[ FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE.

96. — On travail des «ctioas moléculaireB exercAes da dehors sor la couche snperâcîelle d'une particule ou d'un corps : il oon^rend une première partie, dite flux de chaleur, qui est purement calorifique.

Si le travail de la pesanteur ne se trouve pas rendu plus complexe par les invisibles vibrations qui constituent la chaleur, il n'en est pas de même du travail des actions moléculaires exercées, par exemple, à Lravers les faces d'un élément de volume, et à des dislances imperceptibles, sur sa couche superficielle. Ces forces sont grandement modifiées par l'agitation calorifiqite, qui fait varier les plus petites et plus influentes distances intermoléculaires de fractions comparables à leurs valeurs et dans des sens aussi rapidement changeants que le sont ceux mêmes des vitesses correspondantes. Par suite, les produits des composantes X, Y, Z, suivant les axes, de ces forces, par celles, Jl < ^^^ vitesses en question, n'ont généralement plus, sur de petites étendues, leurs valeurs mo^'cnnes nulles.

Et, en effet, si l'on suppose d'abord, pour simplifier, qu'il n'y ait pas de mouvement moyen local, ou que l'agitation calorifique règne seule, les travaux, XrfÇ-t- Yrfr, + ZcfÇ, des forces dont il s'agit, se trouveront, en général, tellement peu négligeables, que l'agitation calorifique et, avec elle, l'énergie interne totale s'accroîtront, comme on sait, dans tes régions où la température est le plus basse, pour diminuer au contraire dans les régions uù elle est le plus élevée ; ce qui ne peut évidemment se faire que

grâce aux travaux considérés, des actions moléculaires s'exerçant à travers les surfaces de séparation de ces régions diverses.

Comme l'énergie ainsi transmise d'une région à l'autre est sensible seulement sous forme de chaleur, on donne"au travail total, effectué de la sorte dans le mouvement imperceptible d'agitation, des forces s'exerçant à travers un élément plan sur la matière contiguë située d'un côlé désigné de cet élément, le nom Aejîux de chaleur ('). Il sera fini par unité d'aire et durant l'unité de temps, puisqu'il aura transmis, au bout d'un temps fini, une quantité sensible d'énergie caiortiique au volume de matière que limite une surface finie. On voit en outre que, rapporté à l'unité d'aire, un pareil flux dépendra de l'état statique moyen local et de la température qui existent près de l'élément plan, mais surtout des inégalités de distribution de celle-ci dans le voisinage, ou de sa rapidité de variation suivant les divers sens, dans une étendue extrêmement petite. En elTet, le flux s'annulera si la température y devient uniforme.

Revenons maintenant au cas général d'un mouvement moyen local ou visible, se superposant a l'agitation calorifique d'ordinaire beaucoup plus rapide. Comme celle-ci se fait très sensiblement de la même manière que si elle était seule, du moins quand le frottement intérieur est négligeable ou quand les groupes moléculaires ont à chaque instant leur forme et leur orientation d'équilibre pour l'étal moyen local actuel, les travaux,

X((fe4-<^) -J- Y(rfr -Hrfr,) -H Z(rf; -I- rfï),

dont il s'agit d'évaluer la somme, auront une première partie, Xf^^H- Yrfv) + 'LdC„ identique à ce qu'ils seraient tout entiers si l'agitation calorifique régnait seule.

En d'autres termes, cette partie donnera, en tout, sur un élément plan, le flux de chaleur qui le traverse, flux ne différant pas sensiblement de celui qu'on aurait, pour la répartition actuelle de la température tout près de l'élément et pour l'état statique moyen

(') Il n'est peut-être pas inutile de dire ici que, lorsqu'on l'évaluera en calo-. riei, ce que font d'ordinaire les physiciens, cette valeur devra être convertie en kilograminétren, c'est-à-dire multipliée par ^i5 (équivalent mécanique de la cUalear) avant de pouvoir lîgurer dans nos foi'uiules.

local qu'on y observe, si cet état statique persistait, ou qu'il d'; eût pas de mouvement visible.

97. — Il comprend en outre le travail des pTABBionsquireprèEeiiteiit les sommes de ces actions molàcuUires.

Mais les travaux considérés auront, en outre, la partie,

Xdx-i-Ydj'-\-Zds,

à laquelle ils se réduiraient sans l'agitation calorifique. Or dx, dy, de, relatifs au mouvement moyen local, y seront des fadeurs fort peu près constants dans chaque très petite étendue perceptible ou presque perceptible. Par suite, pour toutes les actions moléculaires exercées à travers une petite portion d'élément, el dont il s'agira de sommer le travail, cette première partie don-

(SX)rfj- + {LY)rff -r(ï;Z)rfj,

expressions où £X, SY, SZ, projections totales, suivant les divers axes, des actions moléculaires considérées, seront évidemmeul les composantes de ce que nous avons nommé \a pression exercée sur la partie correspondante d'élément plan. El la somme ainsi obtenue, formée des produits des trois composantes de cette pression par les composantes de mêmes sens du mouvement visible ou moyen local éprouvé par la surface matérielle qui la supporte, est ce qu'on peut appeler, et ce qu'on appelle en eifet, le travail de la pression.

En résumé, les pressions, que l'on se représente subies par les faces d'un élément de volume, ou par la superficie d'un corps quelconque, sont bien des forces fictives propres à remplacer les actions moléculaires réelles exercées sur l'élément ou sur le corps à travers ces surfaces, tant qu'on se propose d'évaluer uniquement les impulsions totales et les moments de ces actions. Mais elles cessent généralement de pouvoir remplir le même but dès qu'il s'agit d'évaluer des travaux; car il faut alors, pour avoir le vrai travail total des actions moléculaires considérées, joindre aux travaux des pressions ceux que les actions moléculaires résumées en elles produisent dans l'imperceptible mouvement d'agitation calorifique, et qui constituent \esjlux de chaleur. Ainsi ces flux.

FROFRrÉTÉS DES FLUX

fonclîoQ principalemenl des inégalités de distribution de la température de part et d'autre des surfaces qu'ils traversent, échappent complètement au travail des pressions, c'est-à-dire n'y sont pas compris, quoique dus aux mêmes forces élémentaires.

98. — Égalité ies deux flux de chaleur, de sens contraires, reûtifs aux deux faces d'un mftme élément plan.

Nous pouvons remarquer, d'ailleurs, que les actions moléculaires exercées, à travers un élément plan, sur la matière située d'un côté de cet élément, ne sont pas seulement égales et contraires aux réactions , s'exerçant suivant les mêmes droites de jonction imperceptibles, de cette matière sur celle qui est de l'autre côté , de manière que les pressions soient elles-mêmes égales et contraires sur les deux faces de l'élément plan; mais qu'on peut, de plus, admettre l'égalité, en valeur absolue, avec signes différents, des deux sommes respectives des travaux produits par ces actions durant un instant dt.

En effet, ces deux sommes réunies, travail total des forces exercées aux extrémités des imperceptibles droites de jonction r dont il s'agit, ou qui traversent l'élément plan, sont les différentielles partielles, par rapport aux distances en question r, de l'énergie potentielle interne, changée de signe, du corps où est tracé l'élément plan. Or nous avons précédemment remarqué (p. 38), en définissant l'énergie potentielle interne, que le nombre des droites de jonction ainsi coupées par une surface ne se trouve presque rien à côté du nombre de celles que contient ce corps ou même seulement que contient une particule matérielle sensible; de sorte que le travail total qui leur correspond est insignifiant en comparaison de la variation simultanée de l'énergie potentielle interne de l'une des deux parties en lesquelles cette surface divise le corps. Mais, au contraire, le travail des actions moléculaires exercées, à travers la surface, sur cette partie, ou d'un seul côté, modifie, en général, très grandement la variation de la même énergie, et lui est pour le moins comparable. Donc, tandis que le travail total des actions s'exerçant à travers un élément plan sur les deux côtés de cet élément plan est toujours négligeable, celui des actions exercées sur un seul des côtés ne l'est pas; d'où il suit bien que les travaux des actions appliquées aux B. — Leçons ayntkétiques. 8

deux côtés, ou aux deux couches superficielles limitées parl'élément plan, se neutralisent, c'esl-à-dire sont relativement égaux avec signes contraires.

Comme d'ailleurs, vu la lenteur avec laquelle varient d'un point à l'autre les déplacements moyens locaux, ou vu, par conséquent, leur égalité très sensible pour les deux couches superficielles que sépare un élément plan, cette parité est évidente en ce qui regarde les travaux des pressions, il s'ensuit qu'elle de\Ta se produire également pour l'autre partie des travaux d'actions moléculaires, c'est-à-dire pour les flux de chaleur traversant dans les deux sens l'élément quelconque de surface considéré.

Voilà pourquoi l'on peut, sans erreur appréciable, assimiler la chaleur à une matière qui passerait à travers l'élément plan, ou regarder le flux qui entre d'un côté comme sortant de l'autre; car l'un de ces flux constitue un travail positif emmagasiné sur une face, et l'autre, un travail négatif perdu sur la seconde face.

99. — Principe d« la qnasi-neutralisatloii des flux de chaleur sur tout élément de Tolome.

La neutralisation des deux travaux totaux des actions moléculaires exercées, sur les deux faces d'un élément plan, à travers cet élément, se démontre, comme on voit, en admettant que chacun d'eux soit au moins de l'ordre de grandeur de la variation simultanée de l'énergie potentielle interne d'un élément de volume limité par l'élément plan. Mais, en réalité, ils se trouvent incomparablement plus grands; car, rapportés à l'unité de temps, ils sont, en général, de l'ordre de l'aire de l'élément plan, c'est-à-dire du second ordre de petitesse, tandis que la variation, rapportée de même à l'unité de temps, de l'énergie potentielle interne dont il s'agit, est de l'ordre du volume dans lequel elle se produit, c'est-à-dire du troisième. Et comme la variation simultanée de l'énergie actuelle, tact visible que calorifique, du même volume, est également comparable à celui-ci ou encore du troisième ordre, ainsi que le travail du poids de la particule, le principe des forces vives, appliqué à cette particule ou volume élémentaire considéré, montre que les travaux des actions moléculaires exercées, à travers ses faces, sur toute sa couche superficielle, devront se neu-

traliser, à des di£FéreDces près du troisième ordre, négligeables à côté de ces travaux qui sont du deuxième. Donc les travaux en question ont leur somme relativement nulle, comme l'étaient déjà les sommes des composantes, suivant un axe quelconque, de toutes ces actions, et les sommes de leurs moments relatifs au même axe, sommes qui se réduisaient à celles des composantes et des moments analogues des pressions exercées sur les faces du volume élémentaire.

Mais il 7 a lieu de répéter ici, à propos des travaux de ces pressions, le raisonnement que nous venons de faire pour les travaux des pressions exercées sur les deux faces d'un élément plan. Le déplacement moyen local suivant chaque axe étant pareil dans toute l'étendue d'une particule, à des erreurs relatives près de l'ordre de ses dimensions, ou du premier ordre, le travail total de leurs composantes parallèles au même axe aura pour première partie le prodnit du déplacement moyen local commun dont il s'agit par la somme algébrique de ces composantes, somme nulle, ou plutôt du troisième ordre de petitesse, comme le seront les produits, composant son autre partie, des pressions (du second ordre) par les petites inégalités (du premier ordre) des déplacements moyens locaux de leurs points respectifs d'application. Donc les travaux des pressions se neutralisent séparément, à des termes près du troisième ordre de petitesse, et l'excédent des travaux totaux des actions moléculaires considérées sur ceux-là, c'est-à-dire les flux de chaleur qui pénètrent à la fois dans la particule, se neutraliseront aussi à ce degré d'approximation.

100. — Ce principe permettra d'exprimer tous les flux relatifs à un mArne point en fonction de trois d'entre eux, qui dépendront eox-memeB, principalement, des dérivées premières de la température suivant les divers sens.

De même que l'annulation relative, ou ayant lieu à des e négligeables près, de la somme algébrique soit des pressions appliquées â des particules d'orientations diverses, soit de leurs moments, nous permettra bientôt d'exprimer la pression s'exerçant en un point donné sur un élément plan quelconque, en fonction de celles qu'y supportent trois éléments plans rectangulaires, de même aussi, l'annulation de la somme des flux de chaleur in-

IlC DE QUOI DÉPENDENT LES FLUX DE CHALEUR.

troduUs dans de pareilles particules nous fera connaître, en fonction des flux qui traversent trois éléments plans rectangulaires se croisant en un point donné, celui qui passera en même temps par tout autre élément plan mené au même point.

Quant à ces trois Qaji principaux, les explications précédentes sufiisent pour prévoir qu'ils dépendront, en général, de la aature de la matière et de son état moyen local, ainsi que de sa température dans une très petite étendue autour de l'élément plan, mais surtout des variations ou inégalités alTectant cette température à la traversée de l'élément plan,

101. — Pénétration «xceptionnella du principe des forces vives, comparé à ceux des quantités de mouvement et des moments, dans l'étude des mouvements intimes des corps.

Il résulte de ce qui précède que l'application du principe des forces vives à un élément de volume ne donne pas d'indicatiou directe sur ses vitesses perceptibles, à cause des quantités (l'énergie interne et les ilux de chaleur) qui y figurent, quoique n'ayant que des rapports compliqués avec le mouvement moyen local. Mais, justement pour cela, elle fournira d'importantes indications, souvent indispensables, sur l'état intérieur d'agitation de la matière et, par suite, sur la température, c'est-à-dire sur ce qui s'éliminait des autres principes généraux de la Mécanique à raison même de leur trop grande simplicité. Le grand avantage de l'équation des forces vives est donc précisément, par la trace qu'elle conserve de circonstances intimes échappant aux autres équations, de suppléer et compléter celles-ci quand le mouvement invisible de la matière se trouve influer sensiblement sur les phénomènes observables.

Or nous verrons qu'il existe beaucoup de ces phénomènes, savoir, tous cens dans lesquels des variations notables de la température obligent à introduire celle-ci parmi les fonctions inconnues. Alors il est nécessaire, même pour ne déterminer que le mouvement moyen local, d'avoir une équation définissant les changements de la température d'un instant à l'autre; et nous verrons qu'on ne peut la former que par une application appropriée du principe des forces vives à une particule matérielle.

103. — Application dn principe des forces vives à one particule matérielle : premièrement, travail de la pesanteur et travail des pressions, pour le mouvement de translation de la particule.

Considérons donc un élément de volume donné V, de masse M ; et ayant désigné, conformément à des notations déjà adoptées dans la Leçon précédente, par

MG la force extérieure s'exerçanl sur toute sa masse, force de pesanteur ou de nature analogue, dont on a déjà appelé a, b, c les trois cosinus directeurs;

MU son énergie interne à l'époque (, U étant ainsi l'énergie interne de son unité de masse;

u, V, w les composantes, suivant les axes, de la vitesse simultanée de son centre de gravité, laquelle diffère très peu, en grandeur et en direction, des vitesses moyennes locales ou perceptibles de ses diverses parties ;

exprimons que la variation M.(u du -i- v dt' -\- wdw)-i-MdU, durant un instant dt, de son énergie totale 5M(«'-|-c*-(-iv*)-|-MU, vaut la somme, que nous appellerons (/Q, des flux de chaleur entrés pendant le même instant par ses diverses faces, plus le travail total produit en même temps par son poids et par les pressions exercées sur sa superficie.

Le poids a, comme nous avons vu, même travail que s'il était tout entier appliqué au centre de gravité de la particule. Quant aux pressions, leur travail est évidemment la somme de ce qu'il serait si toutes les parties de la surface ne possédaient que le mouvement même du centre de gravité de la particule, et de la valeur qu'il aurait si, au contraire, les diverses parties de ta surface n'étaient animées que de leur mouvement relatif par rapport à ce centre de gravité; caria vitesse, suivant un axe quelconque, de chaque petite partie de la surface, est tien celle du centre de gravité, plus ou moins un petit écart du premier ordre (c'est-à-dire comparable aux dimensions de la particule) constituant la vitesse relative de cette partie par rapport au centre de gravité.

Ne comptons d'abord que la première partie, savoir le travail des pressions pour le déplacement du centre de gravité; et joignons-y celui de la pesanteur, qui peut être tout entier, i

I UNE PAntlCULE MATÉRIELLE,

nous venons de dire , rattaché à ce mouvement. Nous aurons ainsi à considérer le déplacement udi, ou vdt, ou wdt, suivant chaque axe, du centre de gravité de la particule, et à le multiplier par la composante totale de même sens des pressions exercées sur elle et de son poids, c'est-à-dire de toutes les actions extérieures qu'elle supporte. Or ces composantes totales sont précisément les trois composantes M -- — v.' - ■ de sa force motrice. Ainsi le travail considéré, ou correspondant au mouvement du cenire de gravité, est M ( ^ « rf( + . . . I ou

n{u du ^ V dv -A- iv dw ).

103- — Deuxièmement, traTail des presBions, pour le monrement de la particule par rapport A son centr» de gravité; c'est on travail de déformation et non de rotation.

Reste à y ajouter le travail des pressions pour le mouvement relatif des diverses parties de la surface par rapport au centre de gravité de la particule. Les déplacements par unité de temps, ou vitesses suivant les axes, qui y figureront comme facteurs, s'y trouveront de l'ordre de petitesse des distances existant entre le centre de gravité et la surface, c'est-à-dire du premier ordre; et, les pressions elles-mêmes y étant, sur chaque face, du second ordre, le travail dont il s'agit sera, par unité de temps, du troisième ordre, ou comparable au volume de la particule.

Il importe de reconnaître que la partie de ce travail attribuable à un mouvement d'ensemble, c'est-à-dire à une rotation qu'éprouverait par unité de temps la particule autour de son centre de gravité, se trouve seulement du quatrième ordre, et négligeable par rapport à son autre partie; de sorte que le travail en question se rapporte essentiellement à la déformation, aux changements de dimensions de la particule et constitue ce qu'on peut appeler, pour abréger, un travail de déformation.

En effet, toute rotation élémentaire (ou relative à un instant dl) de la particule autour de son centre de gravité équivaut, comme l'on sait, au point de vue des déplacements produits ou, par suite, du travail développé, à trois rotations infiniment petites, effectuées successivement autour de trois axes 0'x\ 0'y\ O' z' parallèles à

ET RELATIF A SES CRANaEHENTS DE FORME OU DE VOIDME.

ceux des x, y, z, mais passunt par le centre de gtavité dont il s'agit, que j'appellerai O', Or le travail total des pressions dans cbacunc de ces rotations, dans celle, par esemple, qui se fait autour de 0*5', est nul, ou du moins du quatrième ordre négligeable de petitesse, par unité de temps.

Car soient d% cette rotation, r le rayon vecteur perpendiculaire mené d'un point quelconque {a^,y, /) sur l'axe O' z' de rotation, enfin 8 l'azimut qui définit la direction de ce rayon vecteur. On

et, comme la rotation considérée consiste dans l'accroissement rffi que reçoit l'azimut ô sans que z' ni r varient, il vient, pour les déplacements corrélatifs suivant les axes,

( dx'= rrfcosB= — rsinSrfe = — /tffl,

Le travail X rfa:' -|- Y rfy -+- Z </z' d'une force quelconque (ayant les composantes X, Y, Z) appliquée au point (3;',^, z*), vaudra donc (x'Y — >''X)(^, ou le produit, par t^, du moment de la force relatif à l'axe Ql z' . Par suite, le travail total des pressions dans un mouvement de rotation de la particule autour de OV sera le produit, par le facteur commun cffl, du moment total des pressions par rapport à l'axe dont il s'agit. Or on sait que, sur une particule, les moments des pressions par rapport à un tel axe se neutralisent, ou que, étant individuellement du troisième ordre pour chaque face de l'élémeat, ils ont, pour toutes les faces, une somme du quatrième ordre.

Donc, par unité de temps, le travail considéré, produit de la dérivée finie -r par la somme des moments, ne sera que du quatrième ordre et négligeable.

104. — Il peut s'évaluer dans l'hypothèse d'une neutralisation parfaite des pressions suivant chaque axe \ cas simple d'une pression normale et uniforme.

Il est d'ailleurs évident que, à des écarts près encore négligeables du même quatrième ordre, on pourra, en évaluant le travail que

les pressions exercées sur la particule produisent dans ses déformations oa ses changements de volume, commettre d'infiniment petites erreurs relatives sur les pressions, qui sont du second ordre.

Or cette circonstance permettra de modifier les pressions doot il s'agit de manière à rendre rigoureuse leur neutralisation sur la particule suivant chaque axe, neutralisation qui n'y est qu'approchée et qui deviendra complète par l'application (fictive), sur la moitié des faces, de pressions supplémentaires du troisième ordre, destinées à faire que ces faces soient pressées ou tirées exactement comme leurs opposées. Autrement dît, [es pressions pourront être censées en équilibre sur l'élément ou incapables d'y produire aucune translation, hypothèse qui, annulant leur composante totale suivant chaque axe, rend nul leur travail relatif à la translation (quelle qu'elle soit) du centre de gravité, et rend leur travail cherché, pour le mouvement de la particule par rapport à ce centre de gravité, identique à leur travail pour le mouvement vrai ou ahsolu, travail total dont le calcul sera parfois plus facile.

Nous appellerons dis celte seconde partie du travail des pressions, savoir leur travail correspondant à la déformation (ou aui changements de dimensions) de la particule : nous l'évaluerons spécialement dans chaque cas oii il sera utile de le faire.

Bornons-nous ici, comme exemple ayant pour but de fixer les idées, au cas le plus simple, le seul que traitent ordinairement les physiciens. C'est celui d'une pression uniforme, dont p désignera la valeur par unité d'aire, sollicitant, perpendiculairement partout, la superficie de la particule considérée.

La force exercée sur chaque élément de la surface y vaudra le produit dey> par l'élément même ; et la composante du déplacement dans le sens de cette force, autre facteur du travail à évaluer, sera la hauteur du volume, sensiblement prismatique, décrit par l'élément dans son recul (positif ou négatif) vers l'intérieur de la particule, ou, encore, sera l'épaisseur, normalement à l'élément considéré, de l'étendue infiniment mince comprise entre les deux positions successives, aux époques i et ( -4- dt, de la surface de la particule, cette épaisseur étant comptée positivement au dedans de la particule, ou quand l'élément plan considéré empiète, dans son mouvement, sur le volume actuel V, et négativement au de-

[.A THERMO DYNAHIOUE. 131

hors, c'est-à-dire quand, au coatraire, le volume de la particule s'agrandit du côlé de l'élément plan. Le travail de la pression exercée sur l'élément de surface dont il s'agît égalera donc, en grandeur et en signe, le produit de p par la diminution, positive ou négative, que le déplacement de cet élément de surface aura fait subir au volume V; et, par suite, on aura, pour toute la superficie de la particule,

(3o) dG = -pdV,

— dV étant la perte totale de volume subie par la particule durant l'instant dt, ou d\ la variation correspondante de son étendue.

lOS. — Résultat do calcul : formule fondamentale de la ThermodTiiamique.

Eu somme, le travail total, pour l'instant dt, des forces estérieures appliquées à la particule, sera (3i) dq-i-M(udu-i-fdf+a'da') + dë.

Égalons-le, comme il a été dit, à l'accroissement M ( o f/u -H v rf^ -i- «■ rfw ) -H M rfU de l'énei^ie totale de la particule, et il viendra simplement (32) M rfU = rfQ -k/G ou dq = MdV — dE.

Ainsi, le principe des forces vives, appliqué à un élément de volume de manière à éliminer des deux membres de l'équation le terme M(u du + vdv -iriv d<.v), fournit une relation simple entre la quantité rfQ de chaleur qui, du dehors, pénètre dans le volume durant un instant infiniment petit, l'augmentation de son énergie interne MU et le travail total de déformation d^ des pressions exercées sur sa surface, travail évalué, soit pour le mouvement relatif des diverses parties de la surface par rapport au centre de gravité du volume, soit encore pour tout le mouvement visible ou mojen local de chaque élément de la surface, mais en ayant soin alors de modifier les pressions, de quantités du premier ordre de petitesse par unité d'aire, au point de rendre exacte leur neutralisation suivant chaque ase. La somme de la quantité de chaleur dÇ^

LA THEItMODTNAXIQUE.

fournie et du travail de déformation dis exercé égale, eu effet, l'accroissement M rfU de l'énergie interne.

Cette relation, où des quantités de chaleur figurent comme étant des travaux de forces ('), et dont l'utilité nous apparaîtra bientôt, est l'équation fondamentale de la Science qui étudie les rapports entre la chaleur et le travail, c'est-à-dire de la Thermodynamique.

(') Il faul donc, comme il a été dit dans la note de la page m, les aupposer converLies eo kïlogrammètres, ou multipliées pai' ^i5 environ, si on les dooac exprimées en calories.