LIVRB I. — ÉTUDES DB STATIQUE

sont poini en équilibre; et celui qui est suspendu à la plus grande longueur est porté en^bas;

3" Si des graves suspendus â de certaines longueurs sont en

quelques considérations générales sur le» procédés par lesquels l'esprit humain constitue une scieoce physique.

Au dëbul, l'espril conçoit un certain nombre d'idées vagues, qui lui sont fournies par l'obserration et l'expérience, dont il élabore plus ou moins les résultat*. Ces idées vagues sont donc i la fois des produilsde la nature des choses et de la nature de l'esprit. D'ailleurs, l'esprit humain ayant été façonné par les choses, une partie de l'apport de l'esprit peut, en dernière analyse, remonter également nu monde extérieur. Mais il peut, et même il doit, aussi y avoir, dans ces idées, quelque chose de propre t l'esprit rt A ses formes. C'est aux philosophes criticisles A faire le départ. Pour nous, il nous suflit, pour afnrmer la double influence •lu monde extérieur et de l'esprit humain, que les idées vagues conçues par l'intelligence à propos d'un objet extérieur aient leur origine non seulement dans des expériences portant directement sur ledit objet mais encore dans tes conceptions rie l'esprit, que ces conceptions de l'esprit soient a priori ou qu'elles découlent d'expériences faites sur d'autres objets. Dans le cas particulier qui nous occupe ici, l'idée rague conçue par Archimède es't l'idée de graves égaux.

On admet, dans la science moderne, que ces idées vagues doivent éire reconstruites avec précision par des déjiniiiom. En matière physique, les meilleures définitions sont celles qui reposent sur des expériences. Il faut imaginer des expériences, vérifier ce qu'elles donnent et traduire leurs résultats par des définitions et des lois. Ici, par exemple, voici comment on peut modifier le mode d'exposition d'Arehiméde. On lira les demandes et les propositions 1 et II en ayant dans l'esprit qu'Archimëde étudie, selon la remarque de Peyrard, des surfaces ou des solides remplis d'une même matière homogène, dont la gravité par conséquent se mesure naturellement par leur aire ou par leur volume. Cela fait, on imaginera, après la proposition II, la définilion suivante : • Pour les graves hétérogènes, noua dirons qu'ils sont égaux si, suspendus à des longueurs égales, ils sont en équilibre, inégaux si, suspendus à des longueurs égales, ils ne sont pas en équilibre. » Pour que cette déllnition soit acceptable, il faut que soient remplies (es conditions suivantes : i" Deux graves quelconques en équilibre ou non en équilibre sur un levier à bras égaux sont encore en équilibre ou non en équilibre sur un levier i bras plus longs; a° Deux graves équilibrant un troisième s'équilibrent entre eux. (C'est là une condition imposée par l'esprit i la notion d'égalité.) 3- Si deux graves s'équilibrent, en enlevant une partie du premier, ils ne s'équilibrent plus et le second s'abaisse. On admettra ces trois propositions comme une extension expérimenlale des demandes.

Quand l'esprit suit cette voie, nous dirons qu'il adopte le procédé expérimental.

La nécessité des définitions est une idée moderne, une idée de science avancée. Les premiers chercheurs ne la voyaient pas aussi nettement que nous. Encore aujourd'hui, il n'est pas rare de la voir sacrifiée, au début d'une science nouvelle. L'esprit humain procède alors comme ici Archimède. L'idée vague de graves égaux, il l'adopte comme claire sans la préciser par une définition, et il raisonne avec elle. Si cette idée a été bien choisie, si elle est bien conforme i la nature des choses, les raisonnements ainsi conduits ont beau, au point de vue logique, pécher par la base : ils sont exacts et utiles. Le méiitu du suvaut a résidé dans le choix heureux de sa notion primordiale. Une telle adoption d'une

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équilibre, el si l'on ajoute quelque chose à l'un de ces graves, ils ne sont plus en équilibre; et celui auquel on ajoute quelque chose est porté en bas;

idée vague cocnme idée précise est favorisée par la tendaDce réaliste de l'eEprit.

une réalité, nous dirions preiique une subalance. Aussi appellerons-Dous ce procédé de l'esprit le procédé métaphytique.

La recoustruclion précise d'une notion vague par noe série d'eipériences directe! est parfois impossible. On peut néanmoins conserver celle notion sans avoir recours au procédé métaphysique, en employant ce que nous appellerons le procédé for met. On remplace la notion physique vague par un être abutrait. déllni more geometrica : c'est une reconstruction logique et non plus expérimentale. Entre les êtres abstraits ainsi créés, on pose, par convention, des relations qui sont une expression plus ou moins approchée, plus ou moins dénaturée, des idées vagues qu'on ^e Fait des choses, mais qui sont logiquement arbitraires : ces relations sont ce que M. Poincaré appelle des Principti. On constitue ainsi un langage logique, un moule qui, s'il est habilement construit, pourra servir i représenter les faits. Ici, par exemple, on pourrait interpréter comme suit les développements d'Archimède : t Je fais correspondre à chaque grave un nombre X que j'appelle grandeur de ce grave, et je pose en principe que deui graves ayant même \ sont en équilibre aux extrémités des bras égaux d'un levier, que deux graves, au contraire, ayant des X différents, ne sont pas en équilibre dans ces conditions. Je graïe de plus petit \ s'abaissant. < Le procédé expérimental pur s'inlerdirait de parler du nombre X avant d'avoir montré comment on peut l'obtenir par des eïpériences. Le procédé formel accepte de tirer quelques conséquences logiques des conventions précédentes, de constituer une théorie des graves et des leviers abstrait», avant de vérifier par l'expérience que cette théorie peut servit à représenter les propriétés des leviers réels : il recule la vérification expérimentale.

L'analyse des notions de force et de masse nous montrera plus cliiirement que l'exemple actuel de la théorie du levier ces divers procédés de l'esprit.

Une science achevée ne peut admettre comme valables que le procédé expérimental et le procédé foimel. Le procédé métaphysique doit en être éliminé. Il n'est pas douteux toutefois que, bien souvent encore, le savant l'emploie involontairement et il peut être utile comme muyen de découverte.

Remarquons d'ailleurs que l'esprit mélange en général ces divers procédés de

Cielle. Il arrive souvent qu'on reconstruit expérimentalement une notion vague, au début d'une théorie, en imaginant des expériences simples, assurément possibles, mais au fond difficiles à exécuter, qui n'ont jamais été exécutées en fait et dont on postule les résultats : on réserve la vérilication expérimentale réelle pour des conséquences plus ou moins lointaines de la théorie. C'est ainsi que la loi de l'égalité de l'accélémlion de la pesanteur pour tous les corps ne se vériQe guère directement; mais on en vérifie une cun séquence, l'indépendance de la durée d'oscillation des pendules vis-A-vis de la matière constituant ces pendules. Une semblable manière de faire est intermédiaire entre te procédé expérimental et le procédé formel. A la vérité, il parait impossible, dans une science quelconque, de ne pas mélanger ces deux procédés.

Nous rencontrerons fréquemment chez les premiers mécaniciens l'emploi du procédé métaphysique. Il suffira souvent d'ajouter i. leurs raisonnements des définitions logiques ou expérimentales pour en faire une théorie moderne.

lO tlVKE t. — ÉTVDBS DE STATIQUE.

4" Semblablemenl, si l'on retranche quelque chose d'un de ce» graves, ils ne sont plus en équilibre; et celui dont on n'a rien retranché est porté en bas;

5° Si deux figures planes semblables sont appliquées exactement l'une sur l'autre, leurs centres de gravité seront placés l'un sur l'auue Oi

6° Les centres de gravité des ligures inégales et semblables sont semblablemenl placés, . ,.

y' Si des grandeurs suspendues à de certaines longueurs sont en équilibre, des grandeurs égales aux premières suspendues aux mêmes longueurs seront encore en équilibre;

8° Le centre de gravité d'une figure quelconque dont le contour est concave du même cdté, se trouve nécessairement en dedans de la ligure (•).

(■} Il est probable qu'Archimède aviiild^nni le centre de |;ravité dans un Traité qui ne nous est pas parvenu. L'Aleiandrin Pappus est le seul auteur ancien dont nous ayons une délioltion du centre de gravité. Celle d'Arcliiniède devait sans doute itre analogue. Pappus suspend un corps par un aie np, et fait remarquer que le plan venieal passant par n^ coupe le corps i en deux parties équilibres, qui se tiendronten quelque sorte suspendues de parlet d'aulredu plan, étant, égales enlre elles par le poids >. Si l'on suspend ensuite le corps par un autre aie a'P', le plan vertical de a'p' coupera le précédent; s'il lui était parallèle, en elTet, ■ chacun des deui plans diviserait le corps en deux parties qui seraient ï la Fois de poids égal et de poids inégal, ce qui est absurde v. Suspendons maintenant le corps successivement par deux points y tl Y ' l*^ deux verticales correspondantes yGet r'G' se coupent, sinon on pourrait, par chacune d'elles, faire passer un plan coupant le corps en deux parties équilibres, ces deux plans étant parallèles, ce qui est impossible. C'est le point de concours de toutes les lignes telle» que fS, lesquelles doivent se couper deux ï deux, qui est le centre de gravité.

Nous savons bien aujourd'hui que deux parties du corps n équilibre! t ne sont pas égales en poids. Mais Pappus n'évite pas toujours cette confusion. On peut se demander d'ailleurs si la notion de parties équilibi-es ne présuppose pas celle de levier. Assurément ces deux notions sont les mêmes. Il n'y a pourtant pas cercle vicieux i parler du centre de fraviié au début d'un traité du levier. On peut présenter ainsi les choses : ■ L'expérience (aidée plus ou moins par les considérations de Pappus) nous montre ou tend A nous montrer qu'il y a dans un corps quelconque un point tel que, si l'on suspend le corps par ce point, il reste en équilibre en quelque position qu'on le place (c'est ainsi que Guido Ubaldo, Stevin et Galilée définiront plus tard le centre de gravité). Admettons que ce point existe en elTet; s'il existe, on peut le trouver par les raisonnements d'Archimède, qui ramènent les cas compliqués aux cas simples. ■

(') Archimède n'énonce nulle part la restriction que les verticales doivent être traitées comme parallèles. Elle est cependant indispensable, noua le savons aujourd'hui, pour que le centre de gravité existe. Mais, chez Archimède, la notion de ce centre est expérimentale et il n'est pas étonnant qu'il n'ait pas vu la oéceasité de la restriction ci-dessus. On peut remarquer, avec M. Duhem, que, dans

Cela posé, je procède ainsi qu'il suit :

Proposition I. — Lorsque des graves suspendus à des longueurs égales sont en équilibre, ces graves sont égaux entre eux.

Car s'ils étaient inégaux, après avoir ôté du plus grand son excès, les graves restants ne seraient pas en équilibre, puisque l'on aurait âté quelque chose d'un des graves qui sont en équilibre (Dem., 4°)- Donc, lorsque des graves suspendus à des longueurs égales sont en équilibre, ces graves sont égaux entre eux.

Proposition 11. — Des graves inégaux suspendus à des longueurs égales ne sont pas en équilibre; et le grave qui est le plus grand est porté en bas.

Car a^ant ôlé l'excès, ces graves seront en équilibre, parce que des graves égaux suspendus à des longueurs égales sont en équilibre (Df.h., i"). Donc, si l'on ajoute ensuite ce qui a été àté, le plus grand des deux graves sera porté en bas, car on aura ajouté quelque chose à un des graves qui sont en équilibre (Dem., 3°).

Proposition III. — Des graves inégaux suspendus à des longueurs inégales peuvent être en équilibre ('"), et alors le plus grand sera suspendu à la plus petite longueur.

Que A, B soient des graves inégaux, eL que A soit le plus grand. Que ces graves, suspendus aux longueurs AF, PB, soient en équi-

libre. 11 faut démontrer que la longueur AT est plus petite que la longueur TB.

Que la longueur AT ne soit pas la plus petite. Retranchons l'excès de A sur B. Puisque l'on a Até quelque chose d'un des

son Traité des eorpi flottant», Arcbimède a parlé de la convergence de: cale* sans voir qu'elle rendait inexacts quelques-uas de ses énoncés.

(") Ce point n'est pas démootré dans ce qui snil. C'est une conséque l'existence du centre de graTÎté admise comme postulat expérimental.

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graves qui sont en équilibre, le grave B sera porté en bas (Dem., 4")- Mais ce grave ne sera point porté en bas ; car si FA est égal à FB, il y aura équilibre (Dem., t°); et si TA est plus grand que PB, ce sera au contraire le grave A qui sera porté en bas; puisque des graves égaux suspendus à des longueurs inégales ne restent point en équilibre, et que le grave suspendu à la plus grande longueur est porté en bas (Dem., 2°). Donc FA est plus petit que FB. Donc, si des graves suspendus àdes longueurs inégales sonten (équilibre, il esl évideni que ces graves seront inégaux, et que le plus grand sera suspendu à h plus petite longueur.

Proposition IV. — Si deux grandeurs égales n'ont pas le même centre de gravité, le centre de gravité de la grandeur composée de ces deux grandeurs est le point placé au milieu de la droite qui joint les centres de gravité de ces deux grandeurs.

Que le point A soit le centre de gravité de la grandeur A, et le point B le centre de gravité de la grandeur B. Ayant mené la

droite AB, partageons cette droite en deux parties égales au point F. Je dis que le centre de gravité de la grandeur composée des deux grandeurs A, B est le point F.

Car, si le point F n'est pas le centre de gravité de la grandeur qui est composée des deux grandeurs A, B, supposons, sî cela est possible, que ce soit le point A. Il est démontré que le centre de gravité est dans la droite AB (")■ Puisque le point A est le centre de gravité de la grandeur composée des deux grandeurs A, B, le point A étant soutenu, les grandeurs A, Bseronten équilibre. Donc les grandeurs A, B, suspendues aux longueurs AA, AB sont en équilibre. Ce qui ne peut être, car des grandeurs égales sus-

(") Cette propasitioa n'< restent d'Archioiède.

it démontrée nulle part dans les Ouvrages qui

pendues à des longueurs inégules ne sont point en équilibre (Deh., 2°). Il est donc évideiiL que le poiiii F est le centre de gravité de la grandeur qui est composée des grandeurs A, B.

Proposition V. — Si les centres de gravité de trois grandeurs sont placés dans une même droite; si ces grandeurs ont la même pesanleur, et si les droites placées en Ire les centres de graviié sont égales, le centre de gravité de la grandeur composée de toutes ces grandeurs sera le point qui est le centre de gravité de la grandeur du milieu.

[C'est une conséquence de ce qui précède moyennant le postulat, tacitement admis, de la note 12.]

Il suit évidemment de là que, si les centres de gravité de tant de grandeurs que l'on voudra et d'un nombre impair, sont dans la même ilroite, si celles qui sont également éloignées de celle qui est au milieu ont la même pesanteur, et si les droites comprises enire les centres de graviié sont égales, le centre de gravité de )a grandeur composée de toutes les grandeurs sera le point qui est le centre de gravité de la grandeur du milieu.

Si ces grandeurs sont d'un nombre pair, si leurs centres de gravité sont dans la même droite, si celles du milieu et celles qui sont également éloignées de part et d'autre des grandeurs du milieu ont la même pesanteur, et si les droites placées entre les centres de gravité sont égales, le centre de gravité de la grandeur composée de toutes ces grandeurs sera le point placé au milieu de la droite qui joint les centres de gravité.

Proposition VI. — Des grandeurs commensurables sont en équilibre, lorsqu'elles sont réciproquement proportionnelles aux longueurs auxquelles ces grandeurs sont suspendues.

Soient les grandeurs commensurables A, B; que leurs centres de gravité soient les points A, B; soit une certaine longueur Ei, et que la grandeur A soit à la grandeur B comme la longueur AT est à la longueur TE. Il faut démontrer que le centre de gravité de la grandeur composée des deux grandeurs A, B est le point V.

Puisque A est à B comme AF est à FË, et que les grandeurs A, B sont commensurables, les droites FA, FE seront aussi commensurables Donc les droites EF, F4 ont une commune mesure.

Que celle commune mesure soit N, Supposons que chacune des droites AH, AK soit égale à la droite EF et que la droite EA suit égale à la droite AF. Puisque la droite AH est égale à la droile FE,