LE CENTRE D'OSCILLATION

§ 1. — Hatiin et histoire du problème.

Les recherches de Dynamique que nous avons citées jusqu'ici portent toutes sur le mouvement des corps assez petits pour pouvoir être coosidérés comme des points : elles ont toutes pour objet le mouvement du point matériel. Quand les corps ont des dimensions notables, on se trouve en présence de systèmes. Les problèmes de ia dynamique des systèmes ont naturellement été abordés après ceux de la dynamique du point.

Le premier problème ("*) et le plus simple de ce genre dont les géomètres se soient occupés est celui du centre d'oscillation. Ce problème a été fameux au commencement du siècle dernier (***) et même dès le milieu du précédeal, par les ellorts et les tentatives que les plus grands géomètres ont faits pour en venir à bout; et comme c'est principalement à ces tentatives qu'on doit les progrès immenses que la Dynamique a faits depuis, je crois devoir en donner ici une histoire succincte, pour montrer par quels degrés cette Science s'est élevée à la perfection où elle paraît être parvenue dans ces derniers temps.

Les lettres de Descartes offrent les premières traces des recheiches sur le centre d'oscillation {'"). On y voit que Mersenne

") Citation de Lagrange {Mécanique analytique, i' Partie, i" section). '*) Ceci était publié au début du x[x- siècle.

") Voir les lettres de l'anaée 164^ {Édition des Œuvres de Deicartes, par iDi et Tanaery, Correspondance, t. IV).

CHAPITHB III. — LK CBNTHB D OSCILLATION. iS?

avait proposé aux géomètres de déterminer la grandeur que doit avoir un corps de figure quelconque, pour que, étant suspendu par un point, il fasse ses oscillations daas le même temps qu'uo 61 de longueur donnée et chargé d'un seul poids à son extrémité. Descartes observe que cette question a quelque rapport avec celle du centre de gravité et que, de même que, dans un corps pesant qui tombe librement, il j a un centre de gravité autour duquel les efforts de la pesanteur de toutes les parties du corps se font équilibre, eu sorte que ce centre descend de la roéme manière que si le reste du corps était anéanti ou qu'il fût concentré dans le même centre ; aini'i. dans les corps pesants qui tournent autour d'un axe fixe, il doit y avoir un centre, qu'il appelle centre d'agitation, autour duquel les forces d'agitation de toutes les parties du corps se conlre-balancent, de manière que ce centre, étant libre de l'action de ces forces, puisse être mû comme il le serait si les autres parties du corps étaient anéanties ou concentrées dans ce même centre; que, par conséquent, tous les corps dans lesquels ce centre sera également éloigné de l'axe de rotation feront leur vibration dans le même temps.

D'après cette notion du centre d'agitation, Descartes donne une méthode générale de le déterminer dans les corps de figure quelcoque ; cette méthode consiste à chercher le centre de gravité des forces d'agitation de toutes les parties du corps, en estimant ces forces par les produits des masses multipliées par les vitesses, qui sont ici proportionnelles aux distances à l'axe de rotation, et en supposant que les parties du corps soient projetées sur le plan qui passe par son centre de gravité et par l'axe de rotaCÎOD, de manière qu'elles conservent leurs distances à cet axe.

Cette solution de Descartes devint un sujet de contestations entre lui et Roberval, Celui-ci prétendait qu'elle n'était bonne que lorsque toutes les parties du corps sont réellement ou peuvent être censées placées dans un même plan passant par l'axe de rotation, que dans ions les autres cas il ne fallait considérer que les mouvements perpendiculaires au plan passant par l'axe de rotation et par le centre de gravité du corps, et qu'on devait rapporter chaque particule au point où ce plan est rencontré par la direction du mouvement de cette particule, direction qui est toujours perpendiculaire au plan ment- par cette particule et par l'axe de rotation. Mais il est facile de prouver que, par rapport à l'axe de rotalion, les moments des forces estimées de cette manière sont

l58 UVHE II. — ÉTUDES DE DTNAMIQtlB.

toujours égaux à ceux des forces estimées suivant la méthode de Descartes ('").

Roberval prétendit, avec plus de fondemeal, que Descartes n'avait cherché que le centre de percussion, autour duquel les chocs ou les moments de percussion sont égaux, et que, pour trouver le vrai centre d'oscillation d'un pendule pesant, il fallait aussi avoir égard k l'aclion de la gravité, en vertu de laquelle le pendule se meut ("*). Mais, cette recherche étant supérieure à la

(■") Liigrange fait ici uae erreur. Ed réatiK l'objeciJoa de Roberral iuit

PienoDS, pour fixer les idées, une ligure plaae oscillaat autour d'un axe O perpeadiculaîre i sod plan, et toit OG passant par le ceotre de gravité. Le problème proposé est de composer toutes les forces d'agïtatioD, Ja force d'agilatioD du point M (ïlaat un vecteur égal i mv appliqué au poiat M. Pour faire celte composition,

Descartes prend les moineuts autour de O, et il cherche, sur OG, un point O' tel qu'une force appliquée eu ce point et égale ï la somme des forces d'agiution ait même moment par rapport k O que toutes les forces d'agitation. Cela revient, comme le fait remarquer Lagrange, à rabattre (Lagrauge dit projeter) M en M' sur OG par un arc de cercle MM', et à supposer que la force mv est appliquée en M' perpendiculairement i OG. Au contraire Roberval considère la force mv comme appliquée en I; il n'envisage que la composante de mv normale i OG, la composante suivant OG étant détruite par la fixité de O, el il détermine le point 0' par la condition qu'une force appliquée en ce point el égale i la somme des composantes des mv normales à OG ait m£nie moment que toutes les forces me.

On voit, par cette analyse, que Roberval compose plus correctement que Descartes les forces appliquées i un corps solide, et, effectivement, il trouve la position exacte du centre d'oscillation d'un secteur circulaire oscillant autour d'un axe perpendiculaire à son plan et passant par son centre. Il reste A voir pourquoi cette composition des forcei d'agitation est bien la solution du problème du centre d'oscillation. Ce qu'en dit Descaries est losufllsant pour le prouver et l'on va voir par ce qui va suivre que Roberval a bien compris cette insuffisance.

('") a La pesanteur du corps est une puissance, disait Roberval, l'agitation en est une autre, quoiqu'elle soit causée par la pesanteur, et chacune de ces puissances a sa force, sa direction et son centre propres et particuliers, qui servent i examiner le centre composé de ces dilTérentes puissances. ■ A quoi Descartes essayait de répondre : » Le mot de centre de gravité est relatif aux corps qui se

CHAPITIIE III. — LE CENTilB D'OSCILtATlON. iSg

Mécanique de ces temps-là, les géomètres continuèrent à supposer tacitement que le centre de percussion était le même que celui d'oscillation et Hii^gens fut le premier qiiï envisagea ce dernier centie sous son vrai point de vue. . . Ne pouvant résoudre ce problème par les lois connues du mouvement, il inventa un principe nouveau, mais indirect, lequel est devenu célèbre depuis sous le nom de conservation des forces vives.

2. Un fil, considéré comme une ligne inflexible sans pesanteur et sans masse, étant attaché par un bout à un point fixe et chargé, à l'autre bout, d'un petit poids qu'on puisse regarder comme réduit à un point, forme ce qu'on appelle un pendule simple; et la loi de:: vibrations de ce pendule dépend uniquement de sa longueur, c'est-à-dire de la distance entre le poids et le point de suspension. Mais, si à ce fil on attache encore un ou plusieurs poids à différentes distances du point de suspension, on aura alors un pendule com[iosé dont le mouvement devra tenir une espèce de milieu entre ceux des dilTërents pendules simples que l'on aurait si chacun de ces poids était suspendu seul au fil. Car, la force de la gravité tendant d'un côté à faire descendre tous les poids également dans le même temps, et de l'autre l'inflexibilité du fil les contraignant à décrire dans ce même temps des arcs inégaux et proportionnels à leurs distances du point de suspension, il doit se faire entre ces poids une espèce de compensation et de répartition de leurs mouvements; en sorte que les poids qui sont les plus proches du point de suspension hâteront tes vibrations des plus éloignés, et ceux-ci, au contraire, retarderont les vibrations des premiers. Ainsi il j aura dans le £1 un point où, un corps étant placé, son mouvement ne serait ni accéléré ni retardé par les autres poids, mais serait le même que s'il était seul suspendu au fil. Ce point sera donc le vrai centre d'oscillation du pendule composé, et un tel centre doit se trouver aussi dans tout corps solide, de quelque ligure que ce soit, qui oscille autour d'un axe horizontal.

Hu^gens vit qu'on ne pouvait déterminer ce centre d'une ma-

meuvent librement; dans le cas du pendule, c'est une chimère », et cepeadant, daaa sa solution, il se servait, lui aussi, du centre de gravité pour déterminer la droite OG où il rabattait ses points M. On voit que Roberval a tu beaucoup plus juste que Descartes en afllrmatit que rien ne permettait de dire que le centre

d'agitation coïncidait avec le centre d'oscillation : on sait aujourd'hui qu'il en est bien ainsi, mais Descartes ne l'a nullement démontré.

l6o LIVRR II. — ÈTDDBB DB DTNAUIQUB.

nîere rigoureuse sans connaître la loi suivant laquelle les différents poids du pendule composé altèrent mutuellement les mouvements qtie la gravité tend à leur imprimer à chaque instant; mais, au lieu de chercher à déduire celte loi des principes Toadamentaux de la Mécanique, il se contenta d'y suppléer par un principe indirect, lequel consiste à supposer que, si plusieurs poids, attachés comme l'on voudra à un pendule, descendent par ta seule action de la gravité, et que, dans un instant quelconque, ils soient détachés et séparés les uns des autres, chacun d'eux, en vertu de la vitesse acquise pendant sa chute, pourra remonter à une telle hauteur que le centre commun de gravité se trouvera remonté à la même hauteur d'où il était descendu. Ala vériléHuygens n'établit pas ce principe immédiatement, mais il le déduit de deux hypothèses qu'il croit devoir être admises comme des demandes de Mécanique : l'une, c'est que le centre de gravité d'un système de corps pesants ne peut jamais remonter à une hauteur plus grande que celle d'oi^ il est tombé, quelque changement qu'on fasse à la disposition mutuelle des corps, parce que, autrement, le mouvement perpétuel ne serait plus impossible; l'autre, c'est qu'un pendule composé peut toujours remonter de lui-même à la même hauteur d"où il est descendu librement. Au reste, Huygens remarque que le même principe a lieu dans le mouvement des corps pesants liés ensemble d'une manière quelconque, comme aussi dans le mouvement des tluides.

On ne saurait deviner ce qui a donné à cet auteur l'idée d'un tel principe; mais on peut conjecturer qu'il y a été conduit par le théorème que Galilée avait démontré sur la chute des corps pesants, lesquels, soit qu'ils descendent verticalement ou sur des plans inclinés, acquièrent toujours des vitesses capables de les faire remonter aux mêmes hauteurs d'où ils étaient tombés. Ce théorème, généralisé et appliqué au centre de gravité d'un système de corps pesants, donne le principe d'Huygens.

Quoi qu'il en soit, ce principe fournit une équation entre la hauteur verticale d'où le centre de gravité du système est descendu dans un temps quelconque et les différentes hauteurs verticales auxquelles les corps qui composent le système pourraient remonter avec leurs vitesses acquises, et qui, par les théorèmes de Galilée, sont comme les carrés de ces vitesses. Or, dans un pendule qui oscille autour d'un axe horizontal, les vitesses des différents points sont proportionnelles à leurs distances de l'axe; ainsi on peut ré-

CHAPITKB III. — LE CUHTRE D'OSGtLLATtON. l6l

duîre l'équation à deux seules inconnues, dont l'une soit la descente du centre de gravité du pendule dans un temps quelconque, et dont l'autre soit la hauteur à laquelle un point donné de ce pendule pourrait remonter par sa vitesse acquise. Mais la descente du centre de gravité détermine celle de tout autre point du pendule; donc on aura une équation entre la hauteur d'où un point quelconque du pendule est descendu et celle à laquelle il pourrait remonter par sa vitesse due à cette chute. Dans le centre d'oscillation, ces deux hauteurs doivent être égales, parce que les corps libres peuvent toujours remonter à la même hauteur à'oii ils sont tombés; et l'équation fait voir que cette égalité ne peut avoir lieu que dans un point de ta ligne perpendiculaire à l'axe de rotation et passant par le centre de gravité du pendule, lequel soit éloigné de cet axe de la quantité qui provient en multipliant tous les poids qui composent le pendule par les carrés de leurs distances à l'axe et divisant la somme de ces produits par la niasse du pendule multipliée parla distance de son centre de gravité au même axe. Cette quantité exprimera donc la longueur d'un pendule simple dont le mouvement serait égal à celui du pendule composé.

Cette théorie d'Huygens est exposée dans l'fiorologium oscillatorium (lÔ^i) et elle y est accompagnée d'un grand nombre de savantes applications (*'*). Elle n'aurait rien laissé à désirer si elle n'avait pas été appuyée sur un principe précaire, et il restait toujours à démontrer ce principe pour la mettre hors de toute atteinte.

En 1681 parurent, dans le Journal des Savants de Paris, quelques mauvaises objections contre cette théorie, auxquelles Huygens ne répondit que d'une manière vague et peu satisfaisante. Mais cette contestation, ajant excité l'attention de Jacques Bernouilli, lui donna occasion d'examiner à fond la théorie d'Huygens et de chercher à la rappeler aux premiers principes de la Dynamique. 11 ne considère d'abord que deux poids égaux attachés à une ligne inflexible et droite, et il remarque que la vitesse que le premier poids, celui qui est le plus près du point de suspension, acquiert en décrivant un arc quelconque doit être moindre que celle qu'il aurait acquise en décrivant librement le même arc, et qu'en même temps la vitesse acquise par l'autre poids doit être

(■") Nous ciloDs plus toia de nombreax fragments de VHorologium oicillato-

l6a LIVRB It. — ÉTUDES DE DTNAHIQUB.

plus grande que celte qu'il aurait acquise en parcoiirant le même arc librement. La vitesse perdue par le premier poids s'est donc communiquée au second, et, comme cette communication se t'ait par le moyen d'un levier mobile autour d'un point fixe, elle doit suivre la loi de l'équilibre des puissances appliquées à ce levier, de manière que la perte de vitesse du premier poids soit au ^ain de vitesse du second dans la raison réciproque des bras de levier, c'est-à-dire des distances au point de suspension. De là, et de ce que les vitesses réelles des deux poids doivent être elles-mêmes dans la raison directe de ces distances, on détermine facilement ces vitesses et, par conséquent, le mouvement du pendule.

3. Tel est ie premier pas qui ait été fait vers la solution directe de ce fameux problème. L'idée de rapporter au levier les forces résultantes des vitesses gagnées ou perdues par les poids est très fine et donne la clef de la vraie tbéortc; mais Jacques Bernouilli s'est trompé en considérant les vitesses acquises pendant un temps quelconque fini, au lieu qu'il n'aurait dû considérer que les vitesses élémentaires acquises pendant un instant et les comparer avec celles que la gravité tend à imprimer pendant le même instant. C'est ce que L'Hôpital a fait depuis dans un écrit inséré dans le Journal de Hotterdamàe 1690. Il suppose deux poids quelconi|u es attachés au fil inflexible qui fait le pendule composé, et il établit l'équilibre entre les quantités de mouvement perdues et gagnées par ces poids dans un instant quelconque, c'est-à-dire entre les différences des quantités de mouvement que les poids acquièrent réellement dans cet instant, et de celles que la gravité tend à leur imprimer. Il détermine, par ce moyen, le rapport de l'accélération instantanée de chaque poids à celle que la gravité seule tend à lui donner et il trouve le centre d'oscillation en cherchant le point du pendule pour lequel ces deux accélérations seraient égales. Il étend ensuite sa théorie à un plus grand nombre de poids; mais il regarde pour cela les premiers comme réunis successivement dans leur centre d'oscillation, ce qui n'est plus si direct ni ne peut être admis sans démonstration {"*)■

Cetteanaljsefit revenir Jacques Bernouilli sur la sienne et donna enfin lieu à la première solution directe et rigoureuse du pro-

e ajouter que cette méthode <

— LE CENTRE D OSCILLATION. l6ï

blême des cenlres d'oscillalîon, solutioD qui mérite d'autant plus l'altentioD des géomètres qu'elle contient le germe de ce principe de Dynamique qui est devenu si fécond entre les mains de d'Alembert.

L'auteur considère ensemble les mouvements que la gravité imprime à chaque instant aux corps qui composent le pendule, et, comme ces corps, à cause de leur liaison, ne peuvent les suivre, il conçoit les mouvements qu'ils doivent prendre comme composés des mouvements imprimés et d'autres mouvements, ajoutés ou retranchés, qui doivent se contre-ba lancer, et en vertu desquels le pendule doit demeurer en équilibre. Le problème se trouve ainsi ramené aux principes de Statique et ne demande plus que le secours de l'analjse. Jacques Bernouilli trouva, par ce moyen, des formules générales pour les cenlres d'oscillation des corps de figure quelconque, en lit voir l'accord avec le principe d'Huygens et démontra l'identité des cenlres d'oscillation et de percussion. Cette solution avait été ébauchée, dès 1691, dans les Actes de Leipsick; mais elle n'a été donnée d'une manière complète qu'en 1703, dans les /Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris {'■">).

9. Pour ne rien laisser à désirer sur cette histoire du problème du centre d'oscillation, je devrais rendre compte de la solution que Jean Bernouilli en adonnée ensuite dans les mêmes Mémoires et qui, ayant été donnée aussi à peu près en même temps par Taylor dans l'Ouvrage intitulé MeCkodus incrementorum, a été l'occasion d'une vive dispute entre ces deux géomètres; mais, quelque ingénieuse que soit l'idée sur laquelle est fondée celle nouvelle solution et qui consiste à réduire tout d'un coup le penduie composé en pendule simple, en substituant à ses différents poids d'autres poids réunis dans un seul point, avec des masses et des pesanteurs fictives telles qu'elles produisent les mêmes accélérations angulaires et les mêmes moments par rapport à l'axe de rotation et que la pesanteur totale des poids réunis soit égale à leur pesanteur naturelle, on doit néanmoins avouer que cette idée n'est ni si

1 un passage du Mémoire de Jacques Bernouilli. s de Lagrange, qu'on pourrait rallacher les travaui scîllation au courant énergétique et ceux de Jacques : levier, au courant siatiqne (Chap. I, g 3)-

l6j LIVIE II. — ËTUnsa DE DTNAIIIQDR.

Datiirelle ai si lumineuse que celle de l'équilibre entre les quantités de mouvement acquises et perdues (*'*).

On trouve encore dans la Phoronomia d'Herman, publiée en 1516, une nouvelle manière de résoudre le même problème, et qui est (ondée sur cet autre principe, que les forces motrices dont les poids qui forment le pendule doivent être animés pour

( "*) Voici qoElquei indications sur cette solution de Jean Beroonilti. . Prenons l'eieoiple suivant : deux poids A et A', de masses m et m', portés j

une verge OAA', oscillent autour de O. Bemouillî remarque que le moment de la pesanteur de m par rapport i. O est le m£me que celui d'un poids de

masse m ^t placé en un point P arbitraiTemeiit choisi sur la verge, et soumis

OP ) une pesanteur g -^r-- Il remplace alors les deuï poids A et A' par deux

poids m — ^ et m' ^ placés en P et soumis reapeclitemenl aux pesan-