III. — Arithmétique binaire
Leibniz est moins heureux avec son « arithmétique dyadique ou binaire, qu'il avait déjà découverte vers 1679 3, et dont il a défendu les prétendus avantages jusqu'à l'obstination : tant il est vrai qu'en mathématique, comme en poésie, le génie ne se connaît lui-même que d'une manière fort imparfaite !
L'arithmétique binaire est un art de compter où n'interviennent que trois éléments : le zéro, l'unité et leur valeur de position. « Je n'y employé point, dit Leibniz, d'autres caractères que 0 et 1, puis allant à deux, je recommence. C'est pourquoi deux s'écrit ici par 10, et deux fois deux ou quatre par 100, et deux fois quatre ou huit par 1.000, et deux fois huit ou seize par 10.000, et ainsi de suite3. »
« Ce qu'il y a de surprenant dans ce calcul, ajoute-t-ii
1. V. sur ce point, Loiis Couturat, La logique de Leibniz, p. 429-430, F. Alcan, Paris, 1901.
2. Il faut noter ici qu'avant de parler de sa nouvelle arithmétique, Leibniz y a pensé pendant « de longues années » (V. III, 657, 661) : « Molitus hoc sum ante multos annos » ; — Cf. IV, 265. 11 avait déjà conçu ce système le 15 mars 1679 (V. Cout., Op., 574).
3. Gerh., VII, 223-224; 11, 338 (L. à L'IIospital, 4 avril 1701); III, 657 (L. à Joli. Bemoulli, 5 avril 1701); III, 94-95 (L. à Jac. Bernoulli, 28 nov. 1704); — F. Car., r, 164-168 {Animadvers. ad Weig.).
un peu plus loin, c'est que cette arithmétique par 0 et 1 se trouve contenir le mystère des lignes d'un ancien Roi et Philosophe nommé Fohy, qu'on croit avoir vécu il y a plus de quatre mille ans et que les Chinois regardent comme le Fondateur de leur Empire et de leurs sciences. Il y a plusieurs figures linéaires qu'on lui attribue, elles reviennent toutes à cette arithmétique ». « La ligne entière — signifie
[pour lui] l'unité ou 1 » ; « une ligne brisée signifie le
zéro ou 0 », et sur ces deux éléments s'édifie toute la science du calcul. Les Chinois ignorent maintenant le rapport qui s'établissait autrefois entre ces lignes et les nombres; ils l'ont oublié. Mais le « R. P. Bouvet, jésuite français célèbre, qui demeure à Pékin », « a déchiliré l'énigme de Fohy1 et à l'aide de ce que je lui avais communiqué » de ma nouvelle arithmétique2.
Leibniz se réjouit d'avoir un témoignage en faveur de l'idenlité de son arithmétique avec celle des anciens Chinois : son sens mystique se réveille à cette idée. Mais, évidemment, là ne réside pas la raison principale pour laquelle il prête un intérêt si vif à ce qu'il regarde comme une simple réinvention. S'il défend le calcul binaire avec tant de ferveur, c'est surtout à cause des avantages qu'il présente, d'après lui, dans les opérations mathématiques.
Il y voit un nouvel outil, et des plus heureux, à mettre au service du calcul différentiel. Il croit que son mode de numération ne permet pas seulement de pousser à l'infini les progressions décroissantes, mais encore d'y réussir de manière à ce que « les expressions par les rompus3 » en disparaissent entièrement et ne laissent plus sous le regard que des dégradations continues ; il croit aussi que l'arithmétique binaire fournit des périodes de nombres qui sont sem-
1. On a contesté depuis ce temps l'interprétation du R. P. Bouvet (V. Fsrd. Hoefer, Histoire des Mathématiques, p. 47; G. Milhaud, Nouvelles études sur l'histoire de la pensée scientifique, p. 48, F. Alcan, Paris, 1911). Mais il se pourrait encore que la vérité fût de son côté. On connaît si peu de chose de définitif sur les origines de la Chine.
