OR'—— 7+B

OR = r VA? + B?=— TC, Gi y OF

Par conséquent, à un facteur constant près, le segment RR' représente le coefficient À, du terme en cos, OR le coefficient B, du terme en sin0, OR l'amplitude et J' OR la phase.

En faisant en sorte que, dans l'intervalle d’une période, le disque fasse successivement 1,2... 7 tours, on obtient

autant de courbes y, et par suite les différentes valeurs

des A, B, G, ©1; À Bo Co Do, MA

Description. — L'appareil est disposé de la façon suivanLe :

Un chariot F ( Jig. 118), dont la grande dimension est parallèle à yy/', repose sur trois roues W et peut se déplacer parallèlement à l’axe des abscisses en roulant sur la feuille de dessin sur laquelle est tracée la courbe C à analyser.

Le long du grand côté TT” du chariot F peut rouler à l’aide de galets gg un petit chariot F’ portant le style P et un axe aa/ parallèle à Ox; sur cet axe sont montées deux roulettes 7, r! de même diamètre dont l’une, 7", entraîne la rotation de celui-ci en roulant sur le côté T1” pendant le déplacement du chariot F’, tandis que l’autre, 7, repose sur le disque ainsi qu’il a été dit précédemment.

On pourra donc avec le style P suivre le contour de la

courbe C, par suite du double mouvement résultant du

déplacement de F parallèlement à Ox, et de celui de F! par rapport à F parallèlement à O y.

L'appareil comporte trois disques d,, d,, ds. Le disque

di, dont l’axe est supporté par le bras B du grand côté,

reçoit son mouvement de rotation proportionnel au déplacement suivant Ox, c’est-à-dire à 0, à l’aide d’un train d’engrenages actionné par un arbre { supportant Îles roues W,. La face supérieure de ce disque est munie d’un doigt pénétrant dans une rainure tracée sur la face inférieure du disque d, et suivant un diamètre.

La face supérieure de d; porte une seconde rainure creusée suivant un diamètre perpendiculaire au premier. Dans cette rainure pénètre un doigt fixé à la face inférieure du plateau d, sur la face supérieure duquel repose la roulette r. De cette façon le plateau d;, tourne du même angle que d,, et en même temps un point quel-

conque de d3 peut devenir centre de rotation du point de

contact du plateau et de la roulette, point dont le mouvement élémentaire doit être parallèle à O y, c’est-à-dire faire l’angle 0 avec la direction du plateau primitivement parallèle à Oy.

L'arbre / porte à chaque extrémité des roues(W) dont les diamètres sont dans les rapports 1, +, +, .... En les faisant rouler sucecessivement sur des rails plats posés sur la feuille du dessin, on a les différents mouvements 0, 20, 38, ... et

par suite les moyens de calculer A, B,C,0,, As B> Co®o,

Compteurs harmoniques.

On désigne généralement sous le nom de compteurs harmoniques des appareils destinés à effectuer l'opération inverse de celle des analyseurs, c’est-à-dire à donner la somme des termes des différentes harmoniques simples constituant un phénomène, chacune d'elles étant déterminée en amplitude et en phase.

Ces appareils, imaginés par Lord Kelvin, ne sont guère utilisés que pour la prédiction de la hauteur des marées.

Is sont d’un prix élevé et d’une construction compli-

quée ; nous n'insisterons pas sur leur description.

Dérivateurs.

L'étude des intégrateurs amène logiquement à se demander s'il n’est pas possible de construire des appareils permettant d'effectuer l'opération inverse de l’intégration, c’est-à-dire de déterminer la dérivée d’une fonction donnée par une courbe.

Contrairement à ce qui se passe en analyse, le pro-

blème de la dérivation est beaucoup plus difficile à résoudre mécaniquement que celui de l'intégration; et cela se comprend assez facilement si l’on remarque que le premier revient à tracer une langente à une courbe, tandis que le second se réduit à la détermination d’une longueur. Or, la détermination de la tangente en un point d’une courbe est en général très imprécise, sauf dans certains cas très particuliers où elle peut se faire par une construction géométrique simple.

Abdank-Abakanowiez signale les difficultés qu’on rencontre alors dans ce cas.

La moindre erreur dans la direction de la tangente peut produire, en effet, une différence considérable dans la grandeur correspondante de l’ordonnée de la courbe différentielle qui présentera par suite un tracé très irrégulier.

Dans l'intégration mécanique, au contraire, un écart dans le parcours de la courbe produit seulement un pivotement de la roulette qui est sans influence appréciable sur la régularité du trait de la courbe intégrale.

Ceci explique les insuccès qu’on a éprouvés chaque fois qu'on a tenté de résoudre le problème de la dérivalion mécanique.

Parnu les recherches qui ont été faites dans ce but, il convient de citer celles de M. Mestre, qui a proposé, en 1889, un appareil devant servir à la fois de dérivateur et

d’intégrateur (!); étudié par M. Napoli dans les Ateliers

(:) Voir, pour la description de l'appareil projeté par M. Mestre Les intégraphes et la courbe intégrale, par Abdank-Abakanowiez, Gauthier-Villars, Paris, 1886,

de construction d’Instruments de précision de la Compagnie de l'Est, il n’a pu donner de résultats satisfaisants. On peut signaler également des appareils dus à Helle- Shaw, et appelés difjérentiateurs, qui servent en réalité à comparer entre elles deux vitesses uniformes dont l’une est connue. | Nous n'insisterons pas sur la description de ces appa-

reils.

Généralités.

On désigne généralement sous le nom d’intégrateurs composés une catégorie d'appareils destinés à déterminer l'intégrale d’une équation différentielle. Le problème ainsi posé n’a reçu que des solutions particulières, et, étant donnée la diversité des types d’équation qu’on peut rencontrer, il semble difficile de réaliser pratiquement des appareils capables de résoudre la question dans le cas le plus général.

Néanmoins, Lord Kelvin a fait à la Société royale de Londres une Communication dans laquelle il a exposé une méthode pour intégrer des équations de forme qnelconque, eu utilisant le principe disque, sphère et cylindre, déjà

appliqué à la construction des analyseurs harmoniques.

En réalité, ces appareils ne sont pas entrés dans la pratique.

Amsler, dans ses recherches sur l'intégration mécanique, avait envisagé la question des intégrateurs composés ; 1l a donné un appareil répondant à un cas particulier, que nous allons décrire avant d'indiquer deux méthodes qui ont fait l'objet de Communications à l’Académie des Sciences.

Appareils d'Amsler.

Ces appareils sont destinés à évaluer les intégrales de

la forme

(1) net PAL ad

Y étant considérée comme une fonction de +; on fait un

changement de variable en posant

dz = x" dx.

Dans le cas particulier où rñ —2, m—1, l’intégrale(1)

i fours dx

On peut l’évaluer de la façon suivante :

prend la forme

Posant

Mi=0 4slû2, on a successivement

V4 at sin? — 24? — 24? cos2a,

Jrxdr= ie [x de 2e f x cos22 de.

Le long d’une courbe fermée, VE dx = 0; il reste donc à calculer mécaniquement fx cos 2 à dx.

L'appareil d'Amsler, établi dans ce but, comprend

essentiellement deux chariots GC, C/ pouvant se déplacer ) [ P

Fig. 119.

parallèlement à Ox, en roulant dans la rainure d’une règle métallique comme dans beaucoup d'appareils précédemment décrits.

Le chariot C porte une tige T, terminée par un style et pouvant se déplacer parallèlement à Oy. Un disque D, disposé sur ce chariot, est solidaire d’une lge / articulée en mavec une seconde tige /’ de même longueur rehée à T; ce disque engrène avec une roue d de diamètre moitié moindre et munie en son centre d’une roulette intégrante. L'ensemble est disposé de façon que l'axe de celte roulette fasse avec Ox un angle — 24 quand les

deux tiges /, l' font avec ce même axe l’angle a.

Le chariot C’ porte un disque D’ sur lequel repose la roulette intégrante de la roue d. Il peut être mis en mouvement par une crémaillère R en prise avec une roue dentée r qui se déplace en même temps que CG, en roulant sur une crémaillère fixe parallèle à Ox.

Le disque D’ recoit en outre un mouvement de rotation par l’intermédiaire d’une roue 7’ qui lui communique une rotation proportionnelle à x, à l’aide d’un train d’engrenages.

Supposons que le point de contact de la roulette et du disque D’ soit au centre de ce dernier quand le style de la uge T est sur l'axe des x.

Quand lestyle sera sur un pointde la courbe d’abscisse r, la distance du point de contact au centre O’ sera Cx (C constante), et si l’on déplace alors Le style de dx, le disque D’ tournant d'un angle proportionnel à dx, le ‘point de contact de la roulette décrit Cx dx. Le développement de cette dernière, projecuon de Cx dx sur son plan, sera par suite

Grdrcos2a,

auquel il faut ajouter le développement résultant du mouvement relatif du disque et de la roulette, c’est-à-dire

E f sin AT.

Le déplacement du style suivant Oy ne produit pas de rotation de la roulette, puisque, du fait de ce mouvement, elle pivole autour de son point de contact.

La rotation de la roulette est donc au total

HD ef { > COS2 4 dx = fin rade).

On peut obtenir directement l’intégrale f sinoa dx

par l’un des dispositifs décrits antérieurement. La valeur

Fig. 120.

de l’intégrale Jz cos 2 a dx est par suite complètement

déterminée.

Méthode de M. Pétrovitch.

L'appareil suivant, présenté par M. Pétrovitch à l'Académie des Sciences (!), fournit un procédé d'intégration graphique de certaines équations différentielles.

Soient C, C’ deux cylindres verticaux de même diamètre, tournant par l’action d’un mécanisme d’horlogerie avec une vitesse uniforme autour de leurs axes. Ces deux cylindres sont placés au-dessus d’un vase B, formé de deux faces planes parallèles au plan de la figure, de deux

autres faces cylindriques perpendiculaires à ce plan et

(1) Communication de M. Michei Pétroviteh, présentée à l’Académie des Sciences par M. Appell, séance du 17 mai 1897.

d’une face inférieure plane horizontale. Ce vase contient du mercure qui peut s’écouler par un orifice O pratiqué dans la face inférieure. Le long des cylindres C et C' peuvent se déplacer verticalement deux tiges f, f” portant à leur partie supérieure deux styles 7, r/ et à leur partie inférieure, la tige f un corps M de forme prismatique, la uge f' un flotteur s.

On conçoit que la forme du corps M, celle du vase B et la largeur de lorifice étant fixées, la loi de variation de la hauteur du niveau avec le temps dépende de la façon dont on immerge le corps M, c’est-à-dire de la loi de déplacement de la tige f pendant ce même temps.

Cette loi pourra être représentée, par exemple, par une courbe y tracée sur le cylindre C, les temps étant comptés sur la périphérie de la base du cylindre, les déplacements suivant les génératrices, à partir du plan inférieur du vase.

Désignons alors par & l'aire de la section horizontale

du corps M, par z la distance de la base du cylindre C au plan du niveau du mercure, y celle de ce même plan à la face inférieure du vase, (7) l’aire de la section horizontale du vase au niveau y, et + la distance du style 7° à la face inférieure.

Assujeltissons la pointe 7 à se trouver constamment sur 7, et prenons pour unité de longueur celle de l’are parcouru par un point quelconque du cylindre dans

l'unité de temps; on aura à chaque instant æ = f{ 19

Si, pendant le temps dt, nous immergeons le corps M, en faisant descendre la tige f de dx, la uige f” va monter de dy, et par l’orifice O s'écoule une quantité de mercure égale à uQ V2 27 de (Q étant l'aire de l’orifice, et le coefficient de contraction du mercure).

Or, la quanuté de liquide qui s’est élevée au-dessus du niveau y est égale à la différence entre la quantité déplacée par le corps M, quand celui-ci sera immergé de dx, et celle qui s’est écoulée par Porifice.

On a donc

[P(y) — a] dy = a dz — 1 ÿy dt, eu posant

Mais

d’où [b(y) — a] dy = a( dx — dy)— Xÿy dt.

L'équation différentielle du problème est donc | d 7 (1) PISE + A VY — a f'(E) = 0.

L'intégrale y —+o(t), qui pour &—0 prend la valeur y = H, hauteur initiale du mercure, représente la loi de variation de cette hauteur avec le temps; l'extrémité 7’ de la tige f”’ tracera donc cette intégrale sur le cylindre (.

On a ainsi l'intégration graphique de toutes les équations de la forme (1).

On peut d’ailleurs faire varier D(y), &, f(t), c'est-àdire la forme du vase, celle du corps M et la loi de déplacement de ce dernier; la section Q de lorifice pourra également être une fonction du temps. Il sera dès lors possible, en disposant de ces coeflicients, d'identifier l’équation (1) avec un nombre assez considérable de types d'équations différentielles.

En particulier, si

Po ——,

iVy léquation (1) prend la forme d’une équation de Raiccati

du rie AXE) — À u?.

Cet appareil donne lieu pratiquement à certaines difficultés de réalisation, en particulier pour la construction du récipient dont les faces cylindriques ont une section dépendant de la forme de la fonction D (y). De plus, il se produit des effets de capillarité qui sont de nature à

altérer les résultats.

Intégrateur à lame coupante de M. l'ingénieur Jacob.

Le principe de la lame coupante, déjà utilisé dans la construction du planimètre de Prytz, permet d'effectuer l'intégration numérique d’un certain nombre d'équations linéaires. Dans une Note communiquée à l’Académie des Sciences (‘}), M. Jacob, ingénieur général d’Artüllerie navale, a montré comment on pouvait en particulier, à l’aide de ce procédé, intégrer l’équation de Riceati et celle d’Abel.

Ces dernières sont de la forme

JY'=Ay?+ By +cC.

On peut d'ailleurs ramener à ce type les suivantes :

Y'(ay +É)=Ay+By+cG, J'=(ay +8)(Ay?+ By +0),

dans lesquelles &, 6, A, B, C sont des fonctions de la variable données algébriquement, ou simplement par leurs valeurs numériques.

La partie essentielle de l'appareil est une tige horizontale AB( fig. 122), portant à son extrémité À une pointe verticale Aa; le long de la partie AB peut coulisser un manchon M ouquel est fixée la lame coupante, ou mieux une roulette à bords tranchants, dont l’usure est moins rapide. Ce manchon peut être fixé en un point de la tige AB à

l'aide d’une vis de pression.

(1) Note de M. Jacob, présentée à l’Académie des Sciences par M. Maurice Lévy, séance du 29 avril 1905.

La distance ab—9 est la base de l'appareil. Pour l'intégration de l'équation de Riccati, le manchon est fixe et abest constant; pour l'intégration de l’équation d’Abel, le manchon est mobile et ab — 2 varie d’après une loi que

détermine une coulisse-guide de forme convenable.

L'appareil étant placé sur une feuille de dessin et la lame coupante ayant mordu dans le papier, si avec la pointe a on suit une courbe D (directrice), la droite ab enveloppe une courbe E à laquelle elle est tangente en 6.

Soient æ, y les coordonnées du point a sur la directrice rapportée à deux axes de coordonnées rectangulaires ; æ1, Y1, celles du point à sur la courbe enveloppe E; w, l'angle de la base avec l’axe des x (fig. 123).

On a

T = T1+ p COS,

; Y=}FitTesmu, avec ; dy sin (2) D dx; cos

Différentiant (1) 1l vient, en tenant compte de (2),

dx = dr; — 9 sinw dw + do cosw, dy = dy:1+ p cosw dw + do sinw,

(3) o dw + dx sin w — dy cosw = 0.

Si l’on exprime les coordonnées +, y de la directrice en

fonction d'une même variable 4, l'équation (3) devient

du NS ;

O0 =— + æ, SINUW — y, COS = 0.

Ï dt t F. Lt Fig. 12%

Posons [82] tang— — u; ) on a du du dt i— : Ju — = —— ;, COS = ——— 7) SN OS?

dé Luz ENT 1 + u?

d’où r du Pate ; (4) PET ARR EU RUES NES

Si 5 est constant, (4) est une équation de Riceat.

Si so — lu, l'étant une constante, c'est une équation

d’Abel.

En mesurant l’angle w, on connaîtra la valeur numé-

. tu) . .

rique &# = tang — de l'intégrale de (4).

Supposons qu'on se donne la valeur initiale 44, et la valeur w, de la fonction w. On connaît par suite le point Zo, Yo de la directrice et l’angle de la base avec Oz ; pour calculer l’intégrale, on place la pointe 4 au point ainsi déterminé et l’on donne à la tige AB l’inclinaison voulue; on suit alors la directrice dans le sens convenable et l’on mesure w correspondant aux valeurs de € pour lesquelles on veut connaître u.

Si une équation de Riccati ou d’Abel est donnée sous sa forme générale, on commence par réduire l’équation

de Riccati à l’une des formes u'=Au?+Bu—A,

par la substitution y = uw, et l'équation d’Abel à la forme uu'= Au? Bu — A,

par la même substitution ; dans ce dernier cas, À est déterminé par une équalion linéaire introduisant une constante dont on peut disposer suivant les conditions du problème.

Pour déterminer la directrice, on identifie l'équation réduite avec (4); on a alors deux relations donnant l'expression des coordonnées x et y, et l’on construit la courbe à l’aide de quadratures.

Si Péquation de Riccati se ramenait à la forme u'= Au?+ Bu +A, dans un intervalle donné, on la comparerait à celle qui

donne l’angle de la base avec la tangente à la directrice.

Cet intégromètre permet de résoudre numériquement

les questions qu'on rencontre en Arullerie, principalement dans les problèmes de balistique intérieure et extérieure et dans l’étude du développement des pressions d’un explosif agissant comme torpille.

Il permei également d’effectuer l'intégration de l’hodographe; il a été construit, pour la Commission d’expériences de Gâvre, un appareil basé sur ce principe et destiné à déterminer le mouvement d’un point dans un

milieu résistant.