INTRODUCTION

C'est en étudiant les conditions normales du parallélisme de deux droites que nous avons été amené à reconstruire les éléments de la théorie atomique. Celte théorie s'est trouvée en pleine contradiction avec l'hypothèse non euclidienne, et en parfait accord avec la géométrie classique, ce qui nous a décidé à condamner l'une en justifiant l'autre.

Nous nous sommes demandé ensuite si les propriétés de l'atome n'étaient pas incompatibles avec le procédé des limites et le calcul infinitésimal. Comme tout se tient et tout s'enchaîne

dans les principes de cette théorie, il nous a été facile de reconnaître que ces deux méthodes mathématiques, non seulement pouvaient s'accommoder de l'atome, mais qu'elles gagneraient beaucoup à l'introduction de cet élément dans ce qu'elles ont de fondamental. Nous avons même pu donner, en passant, une démonstration de l'axiome deLeibnitz, basée sur l'atome.

Nous obj cetera- t-on que ce recours aux atomes revient purement et simplement à remplacer une hypothèse par une autre hypothèse? Non; car l'atome n'a rien d'hypothétique, pas plus que son inverse l'indéfiniment grand ; ni l'un ni l'autre ne sont des produits de cette faculté « maîtresse d'erreur et de fausseté » dont parle Pascal, et tous les deux sont des êtres de raison. S'il est difficile de les imaginer, il est impossible de ne les pas concevoir. Peut-on concevoir, en effet, qu'une grandeur, variant d'une manière continue, diminue jusqu'à devenir zéro, sans passer par un état préalable dans lequel elle n'a rien de plus petit qu'elle, si ce n'est zéro? Dans cet état, quel qu'il soit, elle est l'atome des grandeurs de son espèce, et l'inverse de l'atome, qui est l'indéfiniment grand ou l'indéfini, s'obtient semblablement. Tel est el point de départ de notre théorie atomique.

Il n'est pas permis de dire que ralome d'une grandeur est zéro ; le zéro n'est une grandeur d'aucune espèce, c'est un symbole destiné à représenter toute espèce de grandeur, à l'état de néant, et le néant ne se spécifie ni ne se mesure. L'inverse de zéro, c'est l'infini, et le signe de l'infini n'est encore qu'un symbole destiné à représenter une grandeur dans un état, qu'il est aussi impossible de spécifier et de mesurer que le néant.

On conçoit parfaitement qu'une grandeur puisse augmenter ou diminuer de manière à devenir aussi grande ou aussi petite qu'on le veut, c'està-dire indéfiniment grande ou indéfiniment petite. L'indéfiniment grand et l'indéfiniment petit sont le résultat possible d'une opération, graphique ou arithmétique ; on peut les atteindre parla pensée, en doublant ou dédoublant sans cesse une grandeur finie prise pour point de départ ; cela revient à dire qu'on peut comprendre une multiplication ou une division poussée aussi loin qu'on le veut. ^'ous arrivez ainsi, et de mille manières différentes, à l'indéfini et à l'atome ; mais vous ne parvenez pas à l'infini, qui est sans bornes, sans extrémités, ni au zéro qui correspond à une quantité anéantie.

Au surplus, si des multiplications successives

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pouvaient vous conduire mentalement à l'infini, ou des divisions successives à zéro, il faudrait qu'on pût exjDrimer le résultat de toutes ces opérations mentales par une suite de termes sans fin, s'il n'y a pas d'atome ; or, nous verrons que Galilée, Gauchy et d'autres géomètres ont démontré qu'il est impossible d'admettre l'existence d'une série quelconque de termes infinie en nombre, sans se mettre en contradiction avec la supposition même qu'on a faite. Le zéro et l'infini sont donc deux symboles de résultats qui échappent atout algorithme, l'un par défaut d'étendue, l'autre par excès, et qui sont incapables d'éveiller dans l'esprit aucune idée de leur origine spéciale, puisque toutes les quantités y vont se confondre dans le même abîme de petitesse ou de grandeur. S'il existe des grandeurs à l'état d'atome, cet atome est lui-même une grandeur, qui ne peut être réduite à zéro par aucune division ; l'atome est donc indivisible, quoique possédant de l'étendue. Il en est de même de l'infini, qui a de l'étendue sans être divisible d'aucune façon. Gette propriété de l'atome et de l'infini correspond d'ailleurs à la propriété contraire de leurs inverses, qui est d'être divisibles l'un et l'autre d'une infinité de manières.

La méthode des indivisibles, auxquels nous sommes ainsi conduit, est-elle une nouveauté si étrange? Nous voyons bien que, dans les livres qui se publient aujourd'hui, on transporte souvent à l'infini un point, une droite, un plan et qu'on les en ramène, comme si l'intervalle de l'indéfini à l'infini n'existait pas. Mais où est la certitude ? Au xvii® et au xviii* siècle, les deux symboles, oo et o, étaient toujours employés avec une extrême circonspection. Leibnitz et Newton se sont défendus d'avoir voulu introduire des quantités nulles dans leurs calculs. Pour eux, le repos était un mouvement indéfiniment petit et la coïncidence une distance indéfiniment petite. Ils avaient compris qu'un repos absolu ou zéro, qu'une longueur éternelle ou infinie ne peut être l'objet, ni le but d'aucune opération précise. Les rapports qu'ils établissaient, entre leurs quantités évanouissantes, étaient considérés par eux avant l'instant où ces quantités deviennent nulles, autant dire quand elles sont à l'état d'atomes^ et, si l'on a pu représenter un coefficient différentiel

o par le quotient — , c'est uniquement parce que ce

quotient est le symbole de l'indétermination et, comme tel, équivaut à tout ce qu'on veut. Peut-

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on oublier, d'ailleurs, que les travaux de Leibnilz et Newton avaient été précédés de ceux de Gavalieri, Pascal, Descartes, Fermai, Wallis et Barrow, qui tous étaient des adeptes plus ou moins déguisés de la doctrine des indivisi blés.

Sans doute, les contemporains de Leibnitz furent séduits par la beauté du calcul qui venail d'être découvert, et, pendant plus d'un siècle, sans s'inquiéter des principes de la nouvelle méthode, les géomètres l'appliquèrent avec succès à des recherches de plus en plus nombreuses. Les indivisibles disparurent facilement sou-s les multiples applications de l'algèbre à la géométrie. 11 est vrai que la géométrie de Descartes s'appuie sur la continuité des courbes algébriques ; mais cette continuité ne contredit nullement la théorie des indivisibles, elle l'engendre forcément, avi contraire, en engendrant l'atome, ainsi qu'on le verra plus loin. On crut apercevoir cependant une sorte de corrélation entre la continuité d'une ligne et sa divisibilité à l'infini, bien que l'impossibilité de cette dernière eût été démontrée. Les philosophes s'emparèrent de la question, confondant la divisibilité indéfinie, qui est possible, avec la divisibilité k V infini^ qui est impossible, et finirent par

formuler une antinomie là où il n'y avait qu'une

harmonie méconnue.

A la fin du xviii^ siècle, on se moquait deRober-

val, déjà vieux, lorsqu'il conseillait et essayait de reprendre les axiomes de la géométrie et de les

démontrer. Les appels de Lagrange, qui avait la

conscience de cette situation faussée, ne suffirent

pas à remettre l'atome en honneur. Presque de

nos jours, on a vu Legendre faire de vains efforts

pendant trente années pour démontrer le postu-

latum d'Euclide, en se passant de l'atome. C'est

sur la négation de l'atome que repose aujourd'hui

tout le svstème de la oréométrie non euclidienne.

Quand donc nous venons dire aux géomètres : l'infini n'est pas l'indéfini, le zéro n'est pas l'atome, et, à prendre l'un pour l'autre, certainement vous vous trompez : quand nous conseillons aux analystes de s'arrêter à l'atome et de regarder la dérivée dune fonction comme le rapport de deux atomes correspondants, au lieu d'y voir celui de deux quantités nulles, ce n'est pas une innovation qu'on leur propose, mais un retour à la saine logique infinitésimale.

Pourquoi ne reviendrait-on pas franchement à l'atome, bien qu'il soit aujourd'hui abandonné à ce point que le fait seul d'en parler passe pour

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une nouveauté? On a beaucoup disserté dans ces derniers temps sur la banqueroute de la science. La banqueroute n'est pas à redouter pour elle, mais à la condition qu'on ne lui demande que ce qu'elle peut donner. Même les mathématiques ont des bornes, qu'il importe de respecter, si l'on ne veut pas s'égarer. Ces bornes sont l'atome, d'une part, et l'indéfini, de l'autre ; en deçà du premier et au delà du second, tout est mystérieux, et ce n'est qu'entre les deux que la science peut se mouvoir en pleine sécurité.

L'atome étant, quoi qu'on fasse et quoi qu'on dise, la seule base rationnelle de toute logique géométrique, nous tenons pour certain ce qui s'accorde avec lui et pour faux ce qui l'exclut. C'est ainsi que Thypothèse non euclidienne de Lobatschewsky, l'antinomie de Kant, la divisibilité à l'infini, admise par tant de géomètres, tous les paradoxes qui en résultent et qui sont inconciliables avec l'atome, doivent être qualifiés de pures chimères. Par contre, la géométrie d'Euclide,ralgèbreordinaire et l'analyse infinitésimale, qui s'accommodent parfaitement avec l'atome dans ce qu'elles ont de plus intime, forment par leur ensemble le vrai domaine des sciences exactes.

Quant à la multitude de spéculations sur l'in-

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fini, OÙ l'on est obligé, pour trouver un sens aux théorèmes qu'on rencontre, de commencer par enlever aux mots c/roiVe, longueur, distance, surface, leur signification habituelle, elles peuvent aussi se reléguer dans le pays des chimères, car elles n'ont rien de plus atomique que la géométrie de Lobatschewsky. Disons le mot qui leur convient : ce n'est pas de la science, c'est le roman de la science,