LE FINI, L'INDÉFINI ET L'INFINI

On est habitué à regarder les théorèmes de la géométrie comme étant l'expression de vérités certaines et immuables. Cependant tout le monde admet qu'au début de la science il est une proposition, connue sous le nom de postulatum d'Euclide, qui n'a pas encore reçu jusqu'à présent de démonstration. Depuis quelque temps, la situation particulière de ce postulatum indémontré a frappé certains esprits et les a décidés, en fin de compte, à ne lui accorder que les qualités ordinaires d'une simple hypothèse. Et, comme à une hypothèse il est toujours permis d'opposer une autre hypothèse, les néo-géomètres ont imaginé de construire tout un système qui répond à l'hy-

pothèse contraire du postulatum d'Euclide. Après eux, les pliilosophes se sont engagés dans la partie, et l'ont conduite beaucoup plus loin, par esprit d'extension. Je ne suivrai pas ces derniers ; il ne s'agit pas de faire de la philosophie proprement dite dans cette étude, mais seulement d'analyser d'une façon toute géométrique l'essence de ces deux hypothèses contraires, et de signaler les conséquences immédiates qui en ressortent.

Le postulatum d'Euclide revient à dire que, dans un triangle, la somme des angles égale deux angles droits. Il y a évidemment deux contreparties, savoir : dans un triangle, la somme des angles est plus grande que deux droits, ou bien cette somme est plus petite que deux droits. On sait d'ailleurs, depuis Legendre, que, si la somme des angles égale deux droits dans un triangle, il en est de même dans tous les triangles possibles ; on sait aussi que, si la somme des angles est plus petite que deux droits dans un triangle, il en est de même dans tous les triangles possibles ; d'où l'on peut conclure que, si la somme des angles était plus grande que deux droits dans un seul triangle, il en serait de même dans tous les triangles possibles.

Mais, Legendre ayant démontré que dans un

i8 iiYPOTiiï;si:s et atomes

triangle la somme des angles ne peut surpasser deux droits, cette dernière supposition doit être écartée, et il ne reste plus en réalité que deux hypothèses géométriques, qui s'excluent réciproquement : celle d'Euclide, qui remonte à 2800 ans, d'après laquelle la somme des angles est constante et égale à deux droits dans tous les triangles ; celle de Lobatschewsky, qui date de i84o, d'après laquelle la somme des angles est plus petite que deux droits dans tous les triangles, mais variable d'un triangle à l'autre, les petits ayant une somme plus grande que les grands, ce qui détruit a priori toute possibilité de la similitude, au sens ordinaire du mot.

Je commencerai par fixer le sens de certains termes qui reviendront continuellement dans cette étude et qui sont loin d'avoir une signification claire et précise pour tout le monde. Il s'agit des mots fini, indéfini, infini. Une ligne est dite finie, si elle s'étend à partir d'un de ses points jusqu'à une certaine extrémité ; elle est dite indéfinie, si elle peut augmenter ou diminuer à partir d'un de ses points autant qu'on le veut, sans cesser d'être finie, c'est-à-dire sans cesser d'avoir une extrémité ; elle est dite infinie, si elle n'est pas finie, ni indéfinie.

D'après cela, une ligne peut être indéfinie de deux manières, elle peut être indéfiniment petite ou indéfiniment grande ; remarquons d'ailleurs que cette expression n'était pas employée avec ce sens avant le xvii® siècle, elle n'a pris naissance qu'à l'époque de l'invention du calcul infinitésimal, c'est-à-dire à l'époque de Newton et de Leibnitz. Il y a aussi deux sortes d'infini, l'infîniment petit et l'infîniment grand, suivant que l'extrémité variable du fini a disparu en se rapprochant du point de départ ou en s'en éloignant au delà de toute distance ; autrement dit, une ligne qui devient infiniment petite se réduit à un point mathématique, et une ligne qui devient infiniment grande n'a plus d'extrémité. Le mot infini a donc pour nous un sens purement négatif par rapport aux deux autres.

Ces trois définitions s'appliquent à une ligne, mais elles peuvent évidemment convenir à toute espèce de grandeurs. Elles suffisent d'ailleurs à caractériser tous les modes d'étendue dont une figure quelconque est susceptible. Le fini est fourni par l'expérience ; nous ne touchons, nous ne voyons que des formes finies : du fini à l'indéfini, le rapport est facile à saisir ; l'imagination y suffit, puisque l'indéfini est une variété du fini.

Mais il n'en est pas de même de la différence entre l'indéjfîni et l'infini ; l'imagination ne suffit pas à les distinguer, bien que cette différence existe : l'expérience et l'imagination sont incapables de nous montrer ce qui n'a pas d'extrémité, et c'est seulement par un acte de la raison pure que nous concevons cet état d'une ligne qui est plus petite que tout ce qu'on peut imaginer d'indéfiniment petit, ou encore qui est plus grande que tout ce qu'on peut imaginer d^indéfiniment grand. Nous représentons, dans le calcul, l'un des résultats de cette conception par le symbole o et l'autre par c», mais nous ne pouvons atteindre par l'imagination que des quantités indéfiniment croissantes ou décroissantes.

Bien que les deux hypothèses géométriques que je vais examiner soient contradictoires, elles ne le sont qu'à partir du théorème relatif à la somme des angles d'un triangle. Il y a donc un certain nombre de propositions qui sont vraies dans l'une comme dans l'autre hypothèse : il y a d'abord toutes celles qui précèdent^ dans les Eléments ordinaires, le postulatum d'Euclide ; il y en a encore d'autres, ce sont celles qui ne dépendent pas absolument de ce postulatum. On dé-

montre, par exemple, qu'on peut mener d'un point extérieur à une droite donnée une oblique faisant avec la droite, à partir d'un angle droit, un angle aussi petit qu'on veut. La démonstration de ce théorème s'établit, dans les deux hypothèses, ainsi qu'il suit :

Soit 0 le point donné et MN la droite. Prenons MA = MO, AB=3A0, BC = BO, et ainsi de suite. Selon l'hypothèse qu'on aura choisie, on] aura successivement, l'angle droit étant l'unité d'angle :

AZJ,BZ-L,cz-L,etc. ;

\ et, en général, N ^ — ^.

Gomme il est possible de répéter la construction autant de fois qu'on le veut, la fraction — et,

par suite, l'angle N pourra devenir aussi petit qu'on voudra ; c'est ce qu'on exprime en disant que cet angle peut diminuer indéfiniment, l'indéiiniment petit étant ce qui devient aussi petit qu'on veut, sans cesser d'être fini.

Rapprochons maintenant cette proposition des trois définitions que j'ai rappelées plus haut, pour en découvrir l'exacte portée. Il est certain que l'angle obtenu par la construction précédente

peut diminuer indéfiniment ; mais cet angle peutil diminuer infiniment, c'est-à-dire devenir nul ou égal à zéro, il est permis de se poser la question. Supposons pour un instant qu'en prolongeant la construction précédente, effectivement ou par la pensée, on ait trouvé un angle égal à zéro; le sommet N de cet angle, si éloigné qu'il soit, appartiendra, en vertu de la construction même, à la droite donnée et à une oblique, ON par exemple ; et, dans le triangle ONG qui l'aura fourni, si l'angle N est supposé nul, l'angle NOG sera nul aussi, puisque le triangle est isocèle. Mais l'angle NOG ne peut être nul qu'à la condition que les deux droites, OG et ON, qui partent du point donné 0, se confondent en une seule et même droite ; or, si ces deux droites n'en font qu'une, elles devront rencontrer la droite donnée sous le même angle ; donc, si le premier angle N est nul, le second G doit l'être aussi, le troisième également, et, en remontant l'échelle des constructions qu'on a faites, on trouve que toutes les obliques menées du point 0 doivent faire avec la droite donnée des angles nuls, ce qui est absurde, le point O étant supposé extérieur à la droite donnée.

Gette conclusion paraît singulière au premier

abord. Je tiens pourtant à faire observer qu'elle est vraie, quelle que soit l'hypothèse qu'on choisisse, c'est-à-dire quelle que soit la somme des angles d'un triangle, pourvu qu'on accepte que deux droites d'un plan, qui partent du même point et font entre elles un angle nul, se confondent en une seule et même droite.

Je ferai observer encore qu'on peut arriver à la même conclusion par une considération prise à peu près en dehors de toute construction géométrique. Si vous regardez un objet, un crayon par exemple, d'une certaine distance, vous le voyez sous un angle qui est déterminé par les deux rayons visuels menés de l'œil aux extrémités de l'objet ; si le point d'où vous regardez s'éloigne dans une direction perpendiculaire à l'objet, l'angle diminue, et, si vous supposez que ce point s'éloigne indéfiniment, supposition qui est permise, l'angle diminuera lui-même indéfiniment. De là, à conclure que, si le point s'éloigne à V infini^ l'angle deviendra nul, il n'y a qu'un pas à faire. C'est précisément ce pas qu'il est impossible de franchir, si simple que cela paraisse. Un point, en efTet, ne peut pas être transporté à l'infini, en restant sur une droite , car, si cela était possible, ce point marquerait quelque part l'extrémité de

la droite, la droite alors ne serait pas infinie, puisqu'une ligne infinie n'a pas d'extrémité. Si l'on veut absolument donner un sens à cette manière de parler, il faut accorder qu'un point qui s' éloigne à V infini sur une droite est obligé pour y arriver de sortir de la droite, attendu qu'il ne peut pas y rester sans contradiction dans les termes. Nous verrons plus loin ce qu'on doit entendre par là, mais, pour le moment, il faut renoncer à trouver sur une droite un point situé à l'infini ; cette situation n'existe pas pour un point. Le fait de ne pas pouvoir se réduire à zéro par une construction géométrique n'est point particulier à l'angle, nous le retrouvons par le même raisonnement pour une longueur, arc de cercle ou ligne droite, qu'on divise en parties de plus en plus petites. Lorsqu'on divise avec le compas une longueur donnée en deux parties égales, puis chaque partie en deux autres, et ainsi de suite, il est clair qu'on peut obtenir des parties aussi petites qu'on le veut, c'est-à-dire indéfiniment petites ; il suffit de répéter l'opération, en pensée ou en acte, autant de fois qu'il est nécessaire. Mais sera-t-il possible d'obtenir de la sorte une partie infiniment petite, c'est-à-dire de longueur nulle ? Evidemment non ; en effet, si l'on parve-

nait à trouver au bout du compas mental cette partie de longueur nulle, que vous espérez, l'autre partie, qui lui est égale, serait aussi de longueur nulle, et les deux parties, qui forment ensemble la dernière longueur divisée, donneraient un total de longueur nulle ; l'avant-dernière aurait de même une longueur nuUe^ et, en remontant Téchelle des constructions qu'on aurait faites, on trouverait que toutes les lignes divisées seraient de longueur nulle, ce qui est absurde.

Au surplus, tous ces faits se traduisent mot à mot en chiffres, sans que rien y soit changé. La

série des nombres i, — , — , — ^ représente

exactement l'état des parties que vous obtenez par la division géométrique ; vous pourrez trouver un

nombre n, tel que — soit aussi petit qu'on le

voudra, mais il n'y a pas de nombre qui puisse

rendre — égral à zéro ; il faudrait un nombre in-

fini, et ce nombre n'existe pas. Si l'on dit, en algèbre, que - = o, lorsque n = oc, c'est uniquement pour avoir un symbole destiné à représenter le résultat d'une conception propre à l'esprit de généralisation de l'algèbre.

Que faui-il donc conclure strictement de là ? Le voici : la construction géométrique adoptée permet de mener, par un point extérieur à une droite, des obliques qui font avec la droite, à partir d'un angle droit, tous les angles aigus possibles, si petits soient-ils, mais elle ne peut pas en donner une qui fasse avec la droite un angle nul. Elle permet donc d'atteindre l'indéfîniment petit, tel que nous l'avons défini et tel aussi qu'on le considère dans le calcul infinitésimal, mais jamais sa limite, qui est zéro.

Est-ce à dire que cette limite n'existe pas ou que la conception algébrique de cette limite soit fausse ? Je me garderai bien de le soutenir ; il suffit, en effet, de recourir à l'idée de force, c'est-à-dire de mouvement, pour qu'on l'atteigne régulièrement et sûrement. Reprenons notre première proposition, et concevons qu'une droite, passant par le point donné, tourne autour decepoint, à partir de la position où elle est perpendiculaire sur MN. Elle passera successivement par toutes les positions, telles que OA, OB, OC. etc., des sécantes considérées dans la première proposition, jusqu'à celle dont l'écartement est indéfiniment grand et qui fait avec la droite donnée un angle indéfiniment petit, aussi petit que cet angle peut être,

sans cesser d'exister. Après quoi, le mouvement de rotation de la droite autour du point 0 pouvant se continuer, la droite mobile cessera de rencon^ trer la droite donnée ; cette circonstance arrivera nécessairement, quand la droite mobile aura tourné d'un angle droit dans l'hypothèse d'Euclide ; elle aura lieu un peu avant, dans l'hypothèse contraire.

Or, dans la position quelle qu'elle soit, où la droite mobile ne rencontre plus la droite donnée, elle ne peut pas s'écarter de la perpendiculaire d'une longueur indéfinie, si grande soit-elle, et son angle avec la droite donnée ne peut pas avoir une valeur indéfinie, si petite soit-elle, sans quoi la droite mobile se confondrait avec la sécante qui fait précisément ce petit angle avec la droite fixe. Il y a donc, de par la rotation, une position pour la droite dans laquelle son écartement de la perpendiculaire, après avoir été fini, puis indéfiniment grand, cesse de l'être, c'est-à-dire devient infini, et dans laquelle son angle avec la droite fixe, après avoir passé par une valeur finie, puis indéfiniment petite, cesse de l'être et devient nul ou zéro ; c'est la position que prend la droite mobile, dès qu'elle n'est plus sécante à la droite donnée.

On voit par là qu'à l'aide du mouvement nous

réalisons, dans les deux sens de la grandeur, les trois modes d'étendue dont une figure géométrique est susceptible, le fini, l'indéfini et l'infini ; tandis que nous n'en trouvons que deux, le fini et l'indéfini, par la construction géométrique.

Certes, nous ignorons a priori quel intervalle sépare de zéro l'élément microscopique d'une grandeur qui vient de naître ou qui va s'anéantir, cet intervalle est sans doute fort minime ; nous ignorons de même tout ce qui sépare une longueur indéfiniment grande de la longueur qu'elle prend quand elle s'étale dans l'infini, celui-là est peut-être immense. Mais nous sommes obligé par la raison de reconnaître que cet intervalle existe, à chacun des bouts de la grandeur, et que, pour le franchir, la règle et le compas ne suffisent pas, Tidée de force ou de mouvement est nécessaire.

Dans le cas qui nous occupe, le mouvement nous apprend qu'on peut mener par un point à une droite toutes les sécantes finies, puis indéfinies, que donne laconstruction géométrique, et enfin une on plusieurs non-sécantes infinies, que ne donne pas la construction géométrique ; il nous apprend aussi que ces obliques font avec la droite un angle aigu décroissant indéfiniment, tant qu'elles restent sécantes, et que cet angle ne devient nul ou

égal à zéro qu'avec des obliques non-sécantes. Il n'y a donc pas de droite qui soit sécante ou tangente à l'infini à une droite donnée, de telle façon du moins que ces deux droites aient un point commun ; il n'v a, à proprement parler, que des sécantes et des non-sécantes. En outre, l'intervalle qui sépare de zéro la plus petite valeur de l'angle correspond précisément à celui qui sépare de linfini la plus grande sécante, et il se traduit sur la droite donnée par un écartement s'étendant au delà de toute distance.