CONCLUSION

Puisqu'il est impossible de concevoir qu'une grandeur variable s'évanouisse, sans passer auparavant par un état de petitesse extrême qui soit moindre que tous les autres, il est permis de désigner par un mot cet état inimaginable, mais concevable, dune grandeur. Nous l'avons appelé atome et défini par cette propriété, dont on ne peut pas le séparer, savoir que l'atome est la plus petite des grandeurs de son espèce.

En procédant ainsi, nous n'avons fait que nous conformer aux règles qui président à la confection de toutes les premières définitions de la géométrie. C'est, en effet, par un acte de l'entendement pur, traduisant une série d'abstractions successives.

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que l'esprit arrive à concevoir un volume, une surface, une ligne et un point géométriques. L'expérience nous montre des corps avec leurs trois dimensions, des épaisseurs de plus en plus minces, des largeurs de moins en moins grandes, mais rien de plus ; et l'œil n'a jamais vu une surface dépourvue d'épaisseur, une ligne sans largeur eL encore moins un point sans dimension. Si donc l'esprit conçoit de pareilles figures, qui échappent à tous nos sens, pourquoi ne concevrait-il pas de même un atome?

L'observation ne fournit jamais au géomètre que des images concrètes ; puis, il s'empare aussitôt de ces images, les dépouille de ce qu'elles ont de matériel et de particulier dans leur objet, et les amène ainsi à un état idéal, qu'on nomme abstrait, sous lequel seulement elles peuvent entrer dans les combinaisons intellectuelles. D'ailleurs, celte opération de l'esprit qui engendre les premières ligures géométriques, en épurant des images plus ou moins grossières, suffit à démontrer l'existence même de ces figures, elle donne le droit de les considérer comme autant de résultats possibles, de les distinguer les unes des autres et d'en faire l'objet d'une spéculation logique : c'est leur unique définition.

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Les choses ne se passent pas autrement avec l'atome. Nul n'a jamais vu une grandeur qui soit effectivement à l'état d'atome ; mais, tout le monde sait qu'il en existe dans un état voisin et de plus en plus voisin, tout le monde comprend qu'en diminuant une longueur indéfiniment on parvient à la réduire à Tétat d'atome avant celui de point mathématique. La définition de l'atome est donc, dans son origine, parfaitement semblable aux définitions générales de la géométrie, et elle a sa place marquée entre celle d'une ligne et celle d'un point.

Nous avons reconnu qu'à tout état atomique d'une grandeur variable correspond, en sens inverse, un état très grand, dans lequel elle devient la plus grande des grandeurs de son espèce. Pour qualifier cet état, nous nous sommes servi du terme « indéfini », malgré tout ce que le mot renferme de vague et d'indéterminé. Cependant cet état maximum est toujours déterminé par l'état minimum qui lui correspond, et les propriétés positives de l'un sont absolument toutes les inverses de l'autre. De même que l'indéfini est une grandeur distincte de l'infini, qui est infiniment plus grand, de même Tatome est une grandeur distincte de zéro, qui est infiniment plus petit.

Si l'on ne tient pas compte, dans la géométrie, de la distinction de l'atome et du zéro, on est forcé d'admettre la divisibilité infinie, qui est mathématiquement absurde; on est forcé aussi, faute de pouvoir expliquer la continuité d'une ligne à l'aide de simples zéros, de s'incliner devant l'antinomie paradoxale de Kant; on est forcé enfin, avec Lobatschewsky, d'accepter comme vraie l'hypothèse que la somme des angles de tout triangle est moindre que deux droits, et toutes les extravagances de la géométrie non euclidienne. Ces conséquences sont inévitables, avec la confusion de l'atome et du zéro.

Si, au contraire, on tient compte de la distinction de l'atome et du zéro, les conséquences sont toutes différentes: la divisibilité indéfinie, que tout le monde comprend, remplace la divisibilité infinie; l'antinomie de Kant n'a plus de raison d'être ; la géométrie classique se vérifie tout entière , car on démontre alors de maintes et maintes manières le célèbre postulatum d'Euclide, et, comme la définition de la ligne droite et celle du plan sont d'ailleurs établies sans conteste*, il n'en faut pas davantage pour que la géométrie eucli-

^ V. notre Essai de géométrie rationnelle.

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dienne devienne une science absolument rationnelle. -

Pour atteindre ce but, la définition de Tatome a suffi. Mais, après cela, si l'on essaie de formuler ainsi que nous l'avons fait, les éléments de la théorie de Tatome, on reconnaît sans peine que cette théorie peut expliquer, en le précisant, ce que deviennent certains rapports très usités en mathémathiques, comme le sinus et la tangente trigonométrique d'un angle, quand cet angle tend vers zéro et devient atome; qu'elle présente le môme avantage relativement au rapport constitutif de la dérivée d'une fonction, et, en général, dans toutes les questions de limite.

Nous devons donc conclure, d'une part, que l'atome, cet élément méconnu, oublié ou défiguré depuis un siècle et demi, resté la pierre de touche de toute vérité géométrique, et, d'autre part, que, dans toutes les branches des mathématiques, la simplicité et la rigueur n'ont rien à perdre au remplacement général du zéro par l'atome. Si la substitution de l'atome au zéro n'est pas toujours nécessaire, elle est utile partout.

Peut-être nous demandera-t- on pourquoi nous n'avons pas, dans cette étude, cherché à démontrer le postulatum d'Euclide à l'aide des théorèmes

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connus de la géométrie ordinaire, plutôt que d'en donner une démonstration basée sur l'atome. Notre réponse sera fort simple : pour démontrer ce postulatum, nous ne pouvions pas nous appuyer sur les théorèmes qui le précèdent et qui en sont indépendants, puisque ces théorèmes sont vrais dans les deux hypothèses ; nous ne pouvions pas davantage nous servir des théorèmes qui le suivent et qui en dépendent, puisque chacun de ces théorèmes suppose, au fond, le postulatum, et, par suite, se trouve contredit par l'hypothèse non euclidienne. Il ne restait qu'une ressource à la critique, c'était d'étudier le point de départ commun aux deux systèmes, dans la définition normale du parallélisme, et d'y découvrir la cause de la divergence qui s'est produite entre eux, à partir de là. Cette cause, c'est là que nous l'avons cherchée et que nous l'avons trouvée : une vue fausse de l'atome, et, par suite, de l'indéfini, voilà toute la genèse de la géométrie non euclidienne.

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