AUX CONTRADICTEURS DE L'ATOME

Nous ne nous dissimulons pas que, en raison de sa nouveauté même, notre théorie va susciter ou ressusciter de nombreuses contradictions. La première qu'on lui fera, et qui est déjà faite, c'est qu'il n'existe pas de grandeur, sans que cette grandeur ait quelque étendue, qu'elle ne peut pas avoir quelque étendue sans être divisible, et enfin qu'elle ne saurait être divisible sans que les parties ne soient moindres que la grandeur mémo. Il n'y a donc pas de grandeur à l'état d'atome.

Cette objection ruinerait tout notre travail ; mais, il faut savoir que cette objection repose sur une erreur, moitié philosophique, moitié mathématique, des plus communes, et aussi des plus

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complètes. Elle suppose en effet qu'une grandeur ne peut pas exister avec quelque étendue sans être divisible d'une manière ou d'une autre. C'est bien là, il est vrai, ce qui se produit d'ordinaire : vous amenez une droite, par exemple, en la faisant tourner autour d'un de ses points, à être perpendiculaire, puis oblique à une droite fixe ; le pied de la droite mobile aura parcouru dans l'intervalle une certaine distance sur la droite fixe. Il est clair que, si vous augmentez ou diminuez cette distance par un mouvement de plus, dans le même sens ou en sens contraire; on peut supposer l'accroissement correspondant assez petit pour qu'il soit une certaine partie aliquote de la distance entière. On pourra donc passer de cette partie aliquote à la distance entière par une multiplication, ou de la distance entière à la partie aliquole par une division ; en d'autres termes, cette distance est divisible d'une manière ou d'une autre. Mais il n'en est pas toujours ainsi ; si vous amenez la droite mobile, en continuant à la faire tourner autour du même point, à ne plus rencontrer la droite fixe, ce qui est toujours possible, la distance de son pied à celui de la perpendiculaire, après avoir augmenté, devient infinie, alors qu'un peu auparavant elle était simplement indéfiniment

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grande, c'est-à-dire aussi grande qu'on Je veut. Or, on ne peut pas dire qu'en devenant infinie elle a perdu l'étendue qu'elle avait, et vous admettez qu'il n'y a aucun moyen de passer de l'indéfini, si grand qu'il soit, à l'infini par une multiplication, ni de revenir de l'infini à l'indéfini par une division : l'indéfini multiplié par un nombre ne donne pas l'infini, et l'infini divisé par un nombre ne donne jamais l'indéfini. De même, si vous ramenez la droite mobile vers la perpendiculaire de manière à ce que la distance de leurs pieds, après avoir diminué, devienne nulle, ce qui est toujours possible, vous admettez qu'il n'y a aucun moyen de passer de la distance nulle à celle qui ne l'est pas, si petite soit-elle, par une multiplication, ni inversement par une division ; zéro multiplié par un nombre ne peut pas donner une quantité et une quantité divisée par un nombre ne devient jamais zéro. Une grandeur peut donc être augmentée autrement que par une multiplication et être diminuée autrement que par une division, ou, ce qui revient au même, une grandeur peut exister avec quelque étendue sans être divisible d'aucune manière.

S'il en est ainsi, vous ne pouvez pas dire : « Cette grandeur a quelque étendue, donc elle

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est divisible » ; c'est la réciproque de cette proposition qui seule est vraie et que vous pouvez affirmer, savoir : «Cette grandeur est divisible, donc elle a quelque étendue », Mais, rien ne vous autorise à soutenir que tout ce qui a de l'étendue est divisible, puisque nous venons de voir qu'il existe des grandeurs ayant quelque étendue qui ne sont le produit d'aucune multiplication et qui, par suite, ne sont susceptibles d'aucune espèce de division. Ces grandeurs indivisibles sont précisément celle qu'on désigne par le mot infini et celle que nous nommons V atome.

Il n'est pas inutile de rappeler, à ce sujet, qu'on nomme grandeurs mathématiques celles qui sont susceptibles d'augmentation ou de diminution. Cette définition est universellement acceptée, elle convient à tous les genres de grandeur et elle comprend tous les cas possibles dans chaque genre. Si l'on se borne à définir une grandeur comme une agrégation possible de parties, effectives ou idéales, on exclut évidemment de la définition les grandeurs qui n'ont pas de parties, telles que l'atome et l'infini, on fait alors de la géométrie mutilée ; ou bien, l'on est conduit à confondre l'indéfini avec l'infini, et l'alome avec le zéro, on fait alors de la géométrie confuse. La

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rigueur géométrique nous oblige à rejeter cette dernière définition comme incomplète, et à adopter la première qui est générale ; à regarder l'atome comme une grandeur qui peut augmenter, ainsi que toutes les autres, mais qui ne peut diminuer qu'en s'annihilant, et l'indéfini comme une grandeur qui peut diminuer, ainsi que toutes les autres, mais qui ne peut augmenter qu'en devenant infinie.

Ces deux propriétés de l'atome et de l'indéfini ont entre elles une corrélation manifeste et essentielle. Le zéro suppose l'atome comme l'infini entraîne l'indéfini, et rien n'est plus curieux que de voir à quel prix l'hypothèse non euclidienne est arrivée à supprimer l'intervalle de l'indéfini à l'infini, en supprimant l'atome.

Soit un point donné hors d'une droite et une sécante indéfinie allant du point à la droite, obtenue par une construction géométrique quelconque. Les géomètres non-euclidiens supposent qu'en continuant progressivement la construction faite jusque-là, on parviendra à atteindre une position de la sécante pour laquelle le point d'intersection sera transporté à l'infini, ce qui leur permet de considérer la parallèle comme la dernière des positions que peut prendre une sécante,

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sans cesser d'avoir un point commun avec la droite donnée. Mais rien ne justifie une telle supposition : cette supposition revient en efFet à admettre qu'on peut répéter la même opération, arithmétique ou géométrique, un nombre infini de fois, en acte ou en pensée, autrement dit que l'infini en nombre existe, succédant immédiatement à rindéfiniment grand. Or, il y a longtemps qu'on a fait justice d'une pareille prétention en démontrant qu il est impossible d' admettre V existence d'une série quelconque de nombres prolongée à V infini.

Considérons, par exemple, la suite naturelle des nombres entiers, i, 2, 3, 4i 5, etc. Lescarrés parfaits i, 4^ 9, 16, aS, etc., que renferme cette suite, sont en minorité ; de i à 10, il y en a trois ; de I à 100, dix; de i à 1000, trente et un ; et ainsi de suite. Si donc la suite est supposée prolongée à l'infini, les termes carrés y figureront en très grande minorité. Or, cette condition qui devrait avoir lieu, dans la supposition dont il s'agit, est incompatible avec la même supposition ; car, dans la suite naturelle des nombres entiers, prolongée à l'infini, on devra trouver certainement, avec chaque terme non carré, le carré correspondant de ce terme, et même le carré du carré, etc. Par

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conséquent, puisque l'hypothèse d'une série de nombres prolongée à l'infini implique contradiction, cette hypothèse doit être rejetée comme fausse.

La démonstration qui précède a été donnée pour la première fois par Galilée. Dans ses Leçons de physique générale ^d^\\.c\ij dit que cette proposition fondamentale, « qu'on ne saurait admettre l'existence d^une série composée d'un nombre infini de termes », peut se démontrer par les mathématiques de mille manières différentes; et il ajoute que « c'est précisément pour avoir admis l'existence de séries composées dun nombre infini de termes que de très habiles géomètres ont été conduits plusieurs fois à des résultats inexacts ».

C'est aussi pour la même raison que les noneuclidiens se sont trompés. La construction adoptée par Lobatschewsky, pour atteindre sa parallèle, ne peut pas la lui donner. Aucune construction géométrique n'est capable de nous conduire du fini à l'infini, à force d'être répétée, puisqu'on ne saurait admettre l'existence d'une série quelconque de nombres prolongée à l'infini. Par contre, si l'on a recours au mouvement d'une droite tournant autour d'un point, il n'en est pas de même. Tout d'abord, on a la certitude qu'on atteindra tous les

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points d'intersection que peut donner une construction géométrique, jusqu'aux plus éloignés, en réalisant avec la droite mobile et la droite fixe tous les angles possibles, jusqu'au plus petit, qui est l'atome d'angle. Ensuite, par un nouveau mouvement de la droite, si l'on passe de la position où la droite mobile fait l'angle atome à la position suivante, ce nouveau mouvement fait disparaître l'atome d'angle et le réduit à zéro ; en même temps, il produit dans la sécante un nouvel état, qui se traduit dans sa direction par le parallélisme et dans sa grandeur par l'infini. C'est cet intervalle inévitable et immense, de l'indéfini à l'infini, qui échappe à la construction géométrique, dont les non-euclidiens ne tiennent pas compte, en supprimant l'atome, et qui engendre toutes leurs erreurs de raisonnement.

C'est encore pour la même raison qu'on ne saurait admettre, comme vraie, l'hypothèse mystique de la divisibilité à l'infini. En effet, si cette expression veut dire quelque chose, elle signifie précisément qu'il est possible de concevoir une série d'opérations sans fin et aboutissant à zéro. L'aboutissement à zéro a été reconnu absurde, dès le début de cette étude, et la série sans fin n'est pas moins absurde, d'après le principe de Galilée.

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L'hypothèse de la divisibilité à l'infini demeure donc à l'état d'idée incompréhensible^, tandis que la conception de l'atome découle irrésistiblement de la raison.

Quant aux objections spéciales qu'on pourra faire à notre théorie atomique, telle qu'elle est exposée dans les cinq chapitres précédents, nous les acceptons volontiers, mais à titre provisoire, attendu que toutes les difficultés qu'elle soulève ne sont qu'apparentes et disparaissent à mesure qu'on s'y applique davantage.